AP Statistics

đường hồi quy

regression line

Còn gọi: đường thẳng hồi quy · đường dự đoán · line of regression · line of best fit

Đường hồi quy là đường thẳng mô tả xu hướng tuyến tính giữa hai biến định lượng, dùng để dự đoán biến phản hồi từ biến dự báo.

Đường hồi quy (regression line) là đường thẳng mô tả xu hướng tuyến tính giữa hai biến định lượng, dùng để dự đoán giá trị của biến phản hồi từ biến dự báo. Khi các điểm trên biểu đồ phân tán kéo dài theo một hướng gần thẳng, ta cần một đường duy nhất đi sát qua đám mây điểm đó nhất. Phương trình của đường có dạng $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ , trong đó $b_1$ là độ dốc và $b_0$ là tung độ gốc.

Do đó, phương pháp bình phương tối thiểu chọn $b_1$ và $b_0$ sao cho tổng bình phương các phần dư — khoảng cách thẳng đứng từ mỗi điểm đến đường — đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dốc được tính bằng $b_1 = r \cdot \dfrac{s_y}{s_x}$ , với $r$ là hệ số tương quan (correlation coefficient), còn $s_y$ và $s_x$ là độ lệch chuẩn của hai biến; từ đó suy ra $b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$ . Nhờ công thức này, đường luôn đi qua điểm trung bình $(\bar{x},\, \bar{y})$ của tập dữ liệu, nên khi $x = \bar{x}$ thì giá trị dự đoán đúng bằng $\bar{y}$ .

Vì vậy, đường hồi quy chỉ đáng tin trong phạm vi $x$ đã quan sát. Ngoại suy ra ngoài vùng dữ liệu là rủi ro vì quan hệ tuyến tính có thể không còn đúng. Ngoài ra, một điểm có đòn bẩy — tức hoành độ nằm xa $\bar{x}$ — có thể kéo đường lệch khỏi xu hướng chung, nên ta luôn phải kiểm tra đồ thị phần dư trước khi tin vào các hệ số.

Ký hiệu

\hat{y} = b_0 + b_1 x

Trực giác: Giống như căng một sợi chỉ qua những chiếc đinh ghim trên bảng: sợi chỉ tự tìm vị trí mà mọi chiếc đinh đều nằm gần nó nhất.

Công thức

b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}

Dùng khi có sẵn các thống kê tóm tắt — trung bình, độ lệch chuẩn, hệ số tương quan — để tính nhanh độ dốc mà không cần phần mềm.

Trong đó

b

độ dốc (slope) của đường hồi quy

r

hệ số tương quan (correlation coefficient)

s_y

độ lệch chuẩn của biến phản hồi

s_x

độ lệch chuẩn của biến giải thích

\hat{y} = a + bx

Phương trình đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least squares regression line), dùng để dự đoán giá trị phản hồi từ giá trị của biến giải thích.

Trong đó

Khái niệm này sinh ra từ đâu

cuối thế kỷ 19 (bài báo năm 1886)Francis Galton (1822–1911)

Thuật ngữ "hồi quy" do Sir Francis Galton, một nhà bác học người Anh, đưa ra vào cuối thế kỷ 19 khi ông nghiên cứu tính di truyền của chiều cao giữa cha mẹ và con cái.

Vào những năm 1870, Galton muốn biết các đặc điểm được truyền từ đời này sang đời khác như thế nào, nên ông thu thập số liệu chiều cao của cha mẹ và của con họ. Ông vẽ các cặp số ấy lên biểu đồ phân tán (scatterplot) rồi kẻ một đường thẳng đi qua đám điểm để tóm tắt mối liên hệ. Nhờ đường thẳng đó, ông có thể dự đoán chiều cao của con khi biết chiều cao của cha mẹ, và đây chính là nền móng của hồi quy tuyến tính ngày nay. Điều làm Galton ngạc nhiên là con của những người rất cao thường không cao bằng cha mẹ, mà nhích về phía mức trung bình. Ông công bố phát hiện này trong một bài báo năm 1886.

Thử nghiệm tương tác

Kéo một điểm ở rìa phải — nhìn đường hồi quy bị bẻ nghiêng theo

Hay hiểu sai

Hệ số góc là mức thay đổi dự đoán, không phải mức thay đổi thật của từng cá thể.

Diễn giải hệ số góc mà không nhắc tên hai biến và đơn vị thì coi như chưa trả lời.

Đường hồi quy luôn đi qua $(\bar{x}, \bar{y})$ — đây là công cụ giải toán, không chỉ tính chất học thuộc.

"Bình phương tối thiểu" nghĩa là cực tiểu hóa tổng bình phương phần dư, không phải tổng phần dư.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu về vĩ độ (số độ về phía bắc xích đạo) và nhiệt độ thấp trung bình trong năm (đơn vị độ F) của một mẫu ngẫu nhiên gồm các thành phố ở châu Âu. Từ dữ liệu này, phần mềm cho ra đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares) có phương trình

\hat{y} = 65.5 - 0.70x

, trong đó

x

là vĩ độ và

\hat{y}

là nhiệt độ thấp trung bình được dự đoán. Trong mẫu có thành phố Paris nằm ở vĩ độ

48

độ bắc, với nhiệt độ thấp trung bình quan sát được là

30.2

độ F.

aGiải thích ý nghĩa của hệ số góc (slope) trong ngữ cảnh bài toán.
bDự đoán nhiệt độ thấp trung bình của một thành phố ở vĩ độ 48 độ bắc.
cTính và giải thích phần dư (residual) ứng với Paris.
d

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Mô hình hồi quy tuyến tính” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến giải thích

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

đường hồi quy bình phương tối thiểuleast-squares regression line

Khác nhau ở đâuĐường hồi quy bình phương tối thiểu là một trường hợp cụ thể của đường hồi quy, được xác định bằng tiêu chí tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư; còn đường hồi quy là tên gọi chung cho bất kỳ đường thẳng nào mô tả xu hướng tuyến tính

Hay nhầm khiđề thường viết tắt "regression line" mà thực ra muốn nói đến đường bình phương tối thiểu, khiến thí sinh dùng hai tên thay thế nhau mà không nhận ra sự khác biệt về tiêu chí xây dựng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 15, 154, 194.

1Bước 1: Trước hết cần đọc đúng vai trò của hai số trong phương trình. Hệ số

-0.70

đứng cạnh

x

cho biết đường thẳng đi xuống bao nhiêu đơn vị

y

khi

x

tăng một đơn vị, còn

65.5

là giá trị của

\hat{y}

khi

x = 0

. Vì

x

đo bằng độ vĩ và

y

đo bằng độ F, mỗi khi vĩ độ tăng thêm

1

độ thì nhiệt độ thấp trung bình được dự đoán giảm

0.70

độ F. Câu trả lời cho ý (a) phải nêu đủ ba thành phần: từ "dự đoán", con số kèm đơn vị, và ngữ cảnh thành phố châu Âu — nói "vĩ độ làm nhiệt độ giảm" là sai vì đó là ngôn ngữ nhân quả, mà dữ liệu quan sát thì không cho phép kết luận nhân quả.

2Bước 2: Sang ý (b), ta chỉ việc thay

x = 48

vào phương trình:

\hat{y} = 65.5 - 0.70(48) = 65.5 - 33.6 = 31.9

Kết quả này nói rằng với một thành phố nằm ở vĩ độ

48

độ bắc, đường hồi quy dự đoán nhiệt độ thấp trung bình khoảng

31.9

độ F. Đây là giá trị dự đoán chứ không phải giá trị thật, nên khi viết câu trả lời phải giữ chữ "predicted".

3Bước 3: Phần dư được định nghĩa là hiệu giữa giá trị quan sát và giá trị dự đoán, tức

e = y - \hat{y}

. Với Paris,

e = 30.2 - 31.9 = -1.7

Dấu âm mang thông tin quan trọng: nó cho biết điểm dữ liệu nằm phía dưới đường hồi quy. Vì vậy lời giải ý (c) là mô hình đã dự đoán cao hơn thực tế

1.7

độ F, nghĩa là Paris lạnh hơn

1.7

độ F so với mức mà mô hình dự đoán cho một thành phố ở vĩ độ đó.

4Bước 4: Cuối cùng, ý (d) kiểm tra xem giá trị

x = 0

có nằm trong khoảng dữ liệu hay không. Mẫu chỉ gồm các thành phố châu Âu, mà châu Âu nằm hoàn toàn ở phía bắc, vĩ độ thấp nhất cũng vào khoảng

35

độ; do đó

x = 0

nằm rất xa vùng dữ liệu đã quan sát. Dùng phương trình ở đó là ngoại suy (extrapolation), và ta không có bằng chứng nào cho thấy quan hệ tuyến tính còn đúng ngoài phạm vi mẫu. Nói cách khác, con số

65.5

độ F chỉ là điểm cắt trục tung về mặt đại số, không nên hiểu như một dự đoán đáng tin cho vùng xích đạo.

2Ví dụ 2/2

Một chuỗi cửa hàng tạp hóa muốn so sánh doanh thu hằng ngày ở hai chi nhánh A và B. Doanh thu mỗi ngày, tính bằng đô la, được ghi lại trong

10

ngày ở mỗi cửa hàng. Đường hồi quy bình phương tối thiểu tìm được là

\hat{y} = -3\,000 + 1.2x

, trong đó

x

là doanh thu mỗi ngày ở cửa hàng A và

y

là doanh thu mỗi ngày ở cửa hàng B. Trung bình doanh thu

10

ngày ở cửa hàng A là

10\,000

đô la, độ lệch chuẩn (standard deviation) của doanh thu ở cửa hàng A là

1\,500

đô la, và hệ số tương quan giữa hai biến là

r = 0.8

aTính trung bình doanh thu 10 ngày ở cửa hàng B.
bTính độ lệch chuẩn của doanh thu hằng ngày ở cửa hàng B.

1Bước 1: Chìa khóa của ý (a) là một tính chất mà mọi đường hồi quy bình phương tối thiểu đều thỏa mãn: nó luôn đi qua điểm trung bình

(\bar{x}, \bar{y})

. Nhờ đó, thay vì phải biết từng ngày doanh thu bao nhiêu, ta chỉ cần thế

\bar{x}

vào phương trình là thu được

\bar{y}

. Đây là lý do đề chỉ cho trung bình của một biến mà vẫn hỏi được trung bình của biến kia.

2Bước 2: Thay

\bar{x} = 10\,000

vào phương trình đường hồi quy:

\bar{y} = -3\,000 + 1.2(10\,000) = -3\,000 + 12\,000 = 9\,000

Vậy trung bình doanh thu mỗi ngày ở cửa hàng B trong

10

ngày đó là

9\,000

đô la. Lưu ý rằng ở đây ta viết

\bar{y}

chứ không phải

\hat{y}

: điểm

(\bar{x}, \bar{y})

nằm đúng trên đường thẳng nên giá trị dự đoán tại

\bar{x}

trùng với trung bình thật của

y

, một trường hợp đặc biệt chứ không phải quy tắc chung.

3Bước 3: Sang ý (b), ta dùng công thức nối hệ số góc với hệ số tương quan và hai độ lệch chuẩn:

b = r\,\frac{s_y}{s_x}

Công thức này nói rằng hệ số góc chính là hệ số tương quan sau khi đổi từ đơn vị chuẩn hóa về đơn vị gốc của hai biến. Biến đổi để rút

s_y

, ta được

s_y = \dfrac{b\,s_x}{r}

4Bước 4: Thế các số đã cho vào:

s_y = \frac{1.2 \times 1\,500}{0.8} = \frac{1\,800}{0.8} = 2\,250

Có thể kiểm tra ngược lại cho chắc:

0.8 \times \dfrac{2\,250}{1\,500} = 0.8 \times 1.5 = 1.2

, đúng bằng hệ số góc trong đề. Vì

b > r

nên

s_y

buộc phải lớn hơn

s_x

, và kết quả

2\,250 > 1\,500

phù hợp với nhận xét đó.

(a) Vì đường hồi quy bình phương tối thiểu luôn đi qua $(\bar{x}, \bar{y})$ , trung bình doanh thu mỗi ngày ở cửa hàng B là $-3\,000 + 1.2(10\,000) = 9\,000$ đô la. (b) Từ $b = r s_y / s_x$ ta có $s_y = 1.2 \times 1\,500 / 0.8 = 2\,250$ , nghĩa là độ lệch chuẩn của doanh thu hằng ngày ở cửa hàng B là $2\,250$ đô la — doanh thu ở B biến động mạnh hơn ở A.