Đang tải bài học…

AP Statistics

tương quan

correlation

Tương quan (correlation) là một đại lượng thống kê đo mức độ và chiều của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng.

Tương quan được biểu diễn bằng hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ , một con số không có đơn vị nhận giá trị trong khoảng $-1 \leq r \leq 1$ . Khi $r > 0$ , hai biến có xu hướng tăng cùng chiều; khi $r < 0$ , một biến tăng thì biến kia có xu hướng giảm. Giá trị $r = 0$ không nhất thiết có nghĩa là hai biến không liên hệ với nhau — nó chỉ cho biết không có mối quan hệ tuyến tính.

Công thức tính $r$ dựa trên điểm số chuẩn hóa của từng biến:

$r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)$

Trong đó $\bar{x}$ , $\bar{y}$ là trung bình mẫu và $s_x$ , $s_y$ là độ lệch chuẩn (standard deviation) của từng biến. Vì mỗi số hạng đã được chuẩn hóa, $r$ không thay đổi khi ta đổi đơn vị đo hay hoán đổi vị trí hai biến cho nhau.

Độ lớn của $r$ cho biết mức độ chặt chẽ của mối quan hệ: $|r|$ gần 1 nghĩa là các điểm dữ liệu xếp sát đường thẳng, trong khi $|r|$ gần 0 cho thấy đám mây điểm phân tán rộng. Tuy nhiên, hệ số tương quan rất nhạy cảm với giá trị ngoại lai (outlier) — một điểm bất thường duy nhất có thể kéo $r$ tăng hoặc giảm đáng kể, thậm chí đảo ngược chiều tương quan. Vì vậy, trước khi kết luận dựa vào $r$ , người ta luôn quan sát biểu đồ phân tán (scatterplot) để kiểm tra hình dạng thực sự của dữ liệu. Ngoài ra, $r$ chỉ mô tả mối quan hệ chứ không khẳng định nguyên nhân — tương quan cao không có nghĩa là biến này gây ra sự thay đổi ở biến kia.

Ký hiệu

• $r$ — hệ số tương quan mẫu
• $r^2$ — hệ số xác định (coefficient of determination), bằng bình phương của $r$

Trực giác: Hệ số tương quan giống như kim la bàn kèm độ lệch: kim chỉ chiều (dương hay âm), còn độ lớn của góc lệch cho biết quan hệ mạnh hay yếu — nhưng la bàn không nói ai đi trước ai, tức không phản ánh quan hệ nhân quả.

Công thức

r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)

Dùng khi cần đo mức độ và chiều của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng; $r$ luôn nằm trong $[-1,\,1]$ .

Trong đó

r

hệ số tương quan (correlation coefficient), không có đơn vị

n

cỡ mẫu

x_i,\, y_i

giá trị quan sát thứ

i

của từng biến

\bar{x},\, \bar{y}

trung bình mẫu của từng biến

s_x,\, s_y

độ lệch chuẩn (standard deviation) mẫu của từng biến

b = r\frac{s_y}{s_x}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1896Francis GaltonKarl PearsonAuguste Bravais

Ý niệm hiện đại về tương quan được Francis Galton hình thành trong thập niên 1880 khi nghiên cứu di truyền, còn công thức tính được Karl Pearson công bố năm 1896 và từ đó trở thành chuẩn mực.

Nửa sau thế kỷ 19, câu hỏi lớn của sinh học là các đặc điểm của cha mẹ truyền sang con cái theo quy luật nào. Galton, một nhà khoa học đa ngành và là anh em họ của Charles Darwin, muốn đo xem hai đại lượng thay đổi cùng nhau chặt đến mức nào chứ không chỉ nói chung chung rằng chúng "có liên hệ". Từ nhu cầu ấy, ông đặt nền cho cả hồi quy (regression) lẫn tương quan. Ít lâu sau, Pearson xây dựng cách xử lý toán học chặt chẽ và năm 1896 công bố công thức được dùng rộng rãi cho đến nay. Nhờ đó, một ý tưởng sinh ra từ bài toán di truyền trở thành công cụ đo lường chung của thống kê ứng dụng.

Thử nghiệm tương tác

Kéo đám điểm và nhìn r đổi — rồi thử một đường cong xem r nói gì

Hay hiểu sai

Tương quan mạnh không chứng minh biến này gây ra biến kia.

Giá trị $r$ gần $1$ hoặc $-1$ không bảo đảm mô hình tuyến tính là phù hợp nhất.

Tương quan âm không có nghĩa là mối liên hệ yếu.

Hệ số tương quan bằng $0$ không đồng nghĩa với việc hai biến không liên quan.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một xưởng làm phô mai thủ công theo dõi ảnh hưởng của thời tiết lên quá trình lên men. Trong năm ngày sản xuất, người ta ghi lại nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị °C) tại kho ủ và độ pH của mẻ phô mai đo sau 24 giờ. Dữ liệu thu được như sau: nhiệt độ 20, 22, 24, 26, 28; độ pH tương ứng 5,2; 5,1; 5,0; 4,8; 4,6. Biểu đồ phân tán của năm điểm này cho thấy các điểm nằm gần như trên một đường thẳng đi xuống.

aTính hệ số tương quan giữa nhiệt độ cao nhất trong ngày và độ pH của phô mai, rồi cho biết đại lượng này nói gì về mối liên hệ giữa hai biến.
bNếu nhiệt độ được ghi lại bằng độ Fahrenheit thay vì độ Celsius (theo công thức $F = 1{,}8C + 32$ ) thì giá trị hệ số tương quan thay đổi ra sao? Giải thích.

1Bước 1: Trước hết ta tìm tâm và độ phân tán của mỗi biến. Trung bình nhiệt độ là

\bar x = 120/5 = 24

, các độ lệch

x_i-\bar x

lần lượt bằng

-4, -2, 0, 2, 4

nên

\sum (x_i-\bar x)^2 = 40

và

s_x = \sqrt{40/4} = \sqrt{10} \approx 3{,}162

. Tương tự, trung bình độ pH là

\bar y = 24{,}7/5 = 4{,}94

, các độ lệch

y_i-\bar y

bằng

0{,}26;\ 0{,}16;\ 0{,}06;\ -0{,}14;\ -0{,}34

, do đó

\sum (y_i-\bar y)^2 = 0{,}232

và

s_y = \sqrt{0{,}232/4} \approx 0{,}2408

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Hệ số tương quan r” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến định lượng

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mối liên hệ (association)association

Khác nhau ở đâuMối liên hệ là khái niệm chung, có thể phi tuyến tính hoặc liên quan đến biến phân loại; tương quan thường hẹp hơn và chỉ mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng.

Hay nhầm khiĐề hỏi 'có mối liên hệ nào' nhưng học sinh chỉ tính hệ số tương quan và bỏ qua dạng cong hoặc các giá trị ngoại lai làm sai lệch kết luận.

hệ số tương quan (correlation coefficient)correlation coefficient

Khác nhau ở đâuTương quan là khái niệm về mối quan hệ giữa hai biến, còn hệ số tương quan là con số từ −1 đến 1 dùng để đo lường mức độ và chiều của mối quan hệ đó.

Hay nhầm khiKhi đề yêu cầu mô tả tương quan, học sinh chỉ đưa ra giá trị r mà không giải thích hướng, độ mạnh và dạng của mối quan hệ.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 154, 176, 194.

Dùng khi tính hệ số góc của đường hồi quy bình phương nhỏ nhất từ các số liệu tóm tắt; cho thấy $r$ và hệ số góc luôn cùng dấu.

Trong đó

b

hệ số góc của đường hồi quy

r

hệ số tương quan

s_y,\, s_x

độ lệch chuẩn mẫu của biến phụ thuộc và biến giải thích

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên đầy đủ của chỉ số trong đề thi là hệ số tương quan Pearson (Pearson product-moment correlation coefficient), và chính cái tên này khiến nhiều học sinh tưởng Pearson là người nghĩ ra khái niệm. Thực tế, người hình dung ra ý niệm tương quan hiện đại là Galton trong thập niên 1880, còn dạng công thức toán học thì đã được Auguste Bravais rút ra và công bố từ năm 1844. Pearson là người xử lý phần toán một cách chặt chẽ và công bố công thức tính năm 1896, nên cái tên gắn với ông chứ không gắn với hai người đi trước. Vì vậy, cách đặt tên này thường được nhắc đến như một ví dụ điển hình của định luật Stigler (Stigler's Law) — quy luật nói rằng phát hiện khoa học hiếm khi mang tên người thật sự tìm ra nó đầu tiên.

Kéo đám điểm và nhìn r đổi — rồi thử một đường cong xem r nói gì

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Diễn giải tương quan phải nêu đủ hướng, độ mạnh, dạng tuyến tính và tên hai biến trong ngữ cảnh.

Hỏi vì sao $r$ cao vẫn chưa đủ, hãy nêu hai điều: phần dư và mô hình thay thế.

Đừng lẫn $r$ với hệ số xác định (coefficient of determination) $r^2$ và với hệ số góc.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Hệ số tương quan (correlation coefficient) là trung bình của các tích điểm chuẩn hóa:

r = \frac{1}{n-1}\sum \frac{x_i-\bar x}{s_x}\cdot\frac{y_i-\bar y}{s_y} = \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{(n-1)\,s_x s_y}.

Công thức này nói rằng mỗi quan sát đóng góp một phần dương khi nó lệch cùng phía ở cả hai biến, và đóng góp một phần âm khi nó lệch ngược phía.

3Bước 3: Thay số vào tử thức:

(-4)(0{,}26) + (-2)(0{,}16) + 0(0{,}06) + (2)(-0{,}14) + (4)(-0{,}34) = -1{,}04 - 0{,}32 + 0 - 0{,}28 - 1{,}36 = -3{,}00

. Mẫu thức bằng

4 \times 3{,}162 \times 0{,}2408 \approx 3{,}046

. Vậy

r \approx -3{,}00/3{,}046 \approx -0{,}985

4Bước 4: Khi diễn giải, ta phải nói đủ ba điều và luôn gắn với ngữ cảnh: chiều, dạng và độ mạnh. Dấu âm cho biết nhiệt độ càng cao thì độ pH càng thấp; độ lớn

|r|

gần 1 cho biết các điểm bám rất sát một đường thẳng. Cần nhấn mạnh rằng

r

chỉ đo mối liên hệ tuyến tính, và bản thân nó không cho phép kết luận nhiệt độ gây ra thay đổi pH, vì đây là dữ liệu quan sát chứ không phải thí nghiệm có phân bổ ngẫu nhiên.

5Bước 5: Với ý (b), hãy để ý rằng trong công thức ở Bước 2 chỉ xuất hiện các điểm chuẩn hóa

(x_i-\bar x)/s_x

. Khi đổi sang độ Fahrenheit, cả tử số

x_i-\bar x

lẫn mẫu số

s_x

đều được nhân với

1{,}8

, nên mỗi điểm chuẩn hóa giữ nguyên. Do đó

r

không có đơn vị và không đổi khi ta biến đổi tuyến tính một biến bằng hệ số dương.

Hệ số tương quan bằng $r \approx -0{,}985$ : giữa nhiệt độ cao nhất trong ngày và độ pH của phô mai có mối liên hệ tuyến tính âm rất mạnh, nghĩa là những ngày nóng hơn thường đi kèm mẻ phô mai có pH thấp hơn (chua hơn). Vì $r$ được tính từ các điểm chuẩn hóa nên nó không mang đơn vị; đổi nhiệt độ sang độ Fahrenheit vẫn cho $r \approx -0{,}985$ .

2Ví dụ 2/2

Một nhà thực vật học nghiên cứu lá cây dương lá rung. Ông đo chiều dài lá (cm) và diện tích bề mặt lá (cm²) của năm chiếc lá, thu được: chiều dài 2; 4; 6; 8; 10 với diện tích tương ứng 1,2; 4,8; 10,8; 19,2; 30,0. Ông tính được hệ số tương quan rất cao và định kết luận ngay rằng mô hình tuyến tính là mô hình phù hợp nhất cho mối quan hệ này.

aTính hệ số tương quan giữa chiều dài lá và diện tích bề mặt lá.
bTìm đường hồi quy bình phương tối thiểu, tính các phần dư, và giải thích vì sao giá trị hệ số tương quan cao ở ý (a) không đủ để khẳng định mô hình tuyến tính là phù hợp nhất.

1Bước 1: Với biến chiều dài,

\bar x = 30/5 = 6

, các độ lệch là

-4, -2, 0, 2, 4

nên

\sum (x_i-\bar x)^2 = 40

. Với biến diện tích,

\bar y = 66{,}0/5 = 13{,}2

, các độ lệch là

-12{,}0;\ -8{,}4;\ -2{,}4;\ 6{,}0;\ 16{,}8

, do đó

\sum (y_i-\bar y)^2 = 144 + 70{,}56 + 5{,}76 + 36 + 282{,}24 = 538{,}56

2Bước 2: Tổng các tích chéo bằng

(-4)(-12{,}0) + (-2)(-8{,}4) + 0(-2{,}4) + (2)(6{,}0) + (4)(16{,}8) = 48 + 16{,}8 + 0 + 12 + 67{,}2 = 144

. Áp dụng

r = \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar y)^2}} = \frac{144}{\sqrt{40}\sqrt{538{,}56}} = \frac{144}{146{,}77} \approx 0{,}981.

Kết quả này rất gần

1

, và hệ số xác định (coefficient of determination) tương ứng là

r^2 \approx 0{,}963

, tức khoảng 96,3% biến thiên của diện tích được mô hình tuyến tính giải thích.

3Bước 3: Hệ số góc của đường hồi quy là

b = 144/40 = 3{,}6

và tung độ gốc là

a = 13{,}2 - 3{,}6(6) = -8{,}4

, nên

\hat y = -8{,}4 + 3{,}6x

. Lần lượt thay

x = 2, 4, 6, 8, 10

ta được các giá trị dự đoán

-1{,}2;\ 6{,}0;\ 13{,}2;\ 20{,}4;\ 27{,}6

4Bước 4: Phần dư (residual) là

y_i - \hat y_i

, cho lần lượt

2{,}4;\ -1{,}2;\ -2{,}4;\ -1{,}2;\ 2{,}4

. Tổng của chúng bằng

0

đúng như mong đợi, nhưng thứ tự thì rất đáng ngờ: dương, âm, âm, âm, rồi lại dương. Trên biểu đồ phần dư (residual plot), năm điểm này xếp thành một đường cong hình chữ U rõ rệt chứ không rải ngẫu nhiên quanh trục hoành.

5Bước 5: Từ đó rút ra bài học then chốt: hệ số tương quan chỉ đo độ mạnh của xu hướng tuyến tính, nó không kiểm tra được rằng dạng liên hệ có đúng là đường thẳng hay không. Một quan hệ cong nhưng đơn điệu và dốc đều vẫn cho

r

rất gần

1

; ở đây dữ liệu thực chất tuân theo

y = 0{,}3x^2

, một mô hình phi tuyến khớp hoàn hảo. Vì vậy muốn kết luận về tính phù hợp của mô hình, ta phải nhìn biểu đồ phân tán và biểu đồ phần dư, chứ không chỉ nhìn một con số.

Hệ số tương quan bằng $r \approx 0{,}981$ , cho thấy chiều dài lá và diện tích bề mặt lá có xu hướng tuyến tính dương rất mạnh. Tuy nhiên các phần dư $2{,}4;\ -1{,}2;\ -2{,}4;\ -1{,}2;\ 2{,}4$ tạo thành hình chữ U, dấu hiệu của một dạng liên hệ cong; giá trị $0{,}981$ (hay $0{,}94$ như nhà thực vật học đo được) chỉ nói rằng đường thẳng khớp khá tốt, chứ không nói rằng không có mô hình nào khớp tốt hơn. Do đó chưa thể khẳng định mô hình tuyến tính là phù hợp nhất cho quan hệ giữa chiều dài và diện tích lá.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.