Đang tải bài học…

AP Statistics

dữ liệu hai biến

bivariate data

Dữ liệu hai biến (bivariate data) là tập dữ liệu trong đó mỗi đơn vị quan sát được ghi nhận đồng thời hai đặc trưng, nhằm tìm hiểu mối quan hệ giữa chúng.

Trong thống kê mô tả (descriptive statistics), người ta thường bắt đầu bằng việc xem xét từng biến riêng lẻ. Tuy nhiên, nhiều câu hỏi thực tiễn đòi hỏi phải xét hai đặc trưng cùng lúc — chẳng hạn, liệu số giờ ôn tập có liên quan đến điểm thi hay không. Khi đó, mỗi đối tượng trong mẫu cung cấp một cặp giá trị, và toàn bộ tập hợp các cặp đó được gọi là dữ liệu hai biến (bivariate data).

Tùy vào bản chất của hai biến, cách phân tích sẽ khác nhau. Nếu cả hai biến đều là biến phân loại, dữ liệu thường được tóm tắt trong bảng hai chiều (two-way table) rồi biểu diễn bằng biểu đồ thanh ghép hoặc biểu đồ thanh xếp chồng. Ngược lại, nếu cả hai biến đều là biến định lượng (quantitative variable), người ta vẽ biểu đồ phân tán và mô tả mối quan hệ qua bốn yếu tố: dạng (tuyến tính hay phi tuyến), chiều hướng (đồng biến hay nghịch biến), độ mạnh (yếu, vừa hay mạnh), cùng với bất kỳ điểm bất thường nào như giá trị ngoại lai.

Khi mối quan hệ có dạng tuyến tính, bước phân tích tiếp theo thường là xây dựng đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) và tính hệ số tương quan $r$ , trong đó $-1 \le r \le 1$ . Giá trị $r$ gần $\pm 1$ cho thấy mối liên hệ tuyến tính chặt chẽ, trong khi $r$ gần $0$ cho thấy mối liên hệ yếu hoặc không tồn tại. Do đó, dữ liệu hai biến không chỉ mô tả từng biến đơn lẻ mà còn đặt nền tảng cho toàn bộ chương phân tích hồi quy trong AP Statistics.

Trực giác: Giống như theo dõi cùng lúc cả nhiệt độ lẫn lượng kem bán được mỗi ngày — một con số không đủ, phải có đủ cặp mới thấy được xu hướng.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

cuối thế kỷ 18Pierre-Simon LaplaceSir John Sinclair

Việc phân tích đồng thời hai đại lượng đo trên cùng một đối tượng gắn với nhà toán học và thiên văn học người Pháp Pierre-Simon Laplace vào cuối thế kỷ 18, khi ông tìm quy luật liên hệ giữa các số liệu quan sát được. Bản thân chữ "statistics" chỉ bước vào tiếng Anh năm 1791 qua Sir John Sinclair.

Nhu cầu ghép hai đại lượng lại với nhau sinh ra từ thiên văn học và từ việc đếm dân. Năm 1787, khi khảo sát chuyển động của Sao Thổ và Sao Mộc, Laplace đã tổng quát hóa phương pháp của Mayer bằng cách dùng những tổ hợp tuyến tính khác nhau trên cùng một nhóm phương trình, tức là buộc nhiều số đo phải nói chuyện với nhau thay vì xét riêng lẻ. Cũng chính Laplace, năm 1802, ước lượng dân số nước Pháp là 28.328.612 người bằng cách dựa vào số ca sinh của năm trước cùng số liệu điều tra dân số của ba cộng đồng: ông đã nối số sinh với số dân, một cặp hai đại lượng, để suy ra cái chưa biết.

Thử nghiệm tương tác

Xáo lại cách ghép cặp — hai cột số vẫn thế, nhưng r sụp về 0

Hay hiểu sai

Đề hỏi phần biến thiên KHÔNG giải thích được thì phải lấy $1-r^2$ , không phải $r^2$ .

$r$ và $r^2$ là hai đại lượng khác nhau, đừng dùng lẫn.

Hệ số xác định đo tỉ lệ biến thiên được giải thích; $r$ đo độ mạnh và chiều.

Đường hồi quy bình phương tối thiểu tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư, không phải tổng khoảng cách.

Đại lượng làm nhỏ nhất là $\sum (y_i-\hat{y}_i)^2$ , với $y_i$ quan sát và $\hat{y}_i$ dự đoán.

Đổi vai trò hai biến thì $r$ giữ nguyên nhưng đường hồi quy đổi khác.

Hệ số tương quan đối xứng: hồi quy $y$ theo $x$ hay ngược lại đều cho cùng $r$ và $r^2$ .

Tương quan mạnh trên dữ liệu hai biến không chứng minh quan hệ nhân quả.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một chuỗi 10 cửa hàng ghi lại hai số liệu của cùng một tháng:

x

là số giờ phát quảng cáo trên đài phát thanh địa phương và

y

là doanh thu (đơn vị: triệu đồng). Biểu đồ phân tán cho thấy dạng tuyến tính, chiều thuận, mức độ mạnh và không có điểm nào tách hẳn khỏi đám mây điểm. Các thống kê tóm tắt thu được là

\bar{x} = 12

s_x = 3

\bar{y} = 48

s_y = 9

và

r = 0.8

. Riêng cửa hàng A có

x = 15

giờ quảng cáo và doanh thu thực tế

y = 60

triệu đồng.

aTừ các thống kê tóm tắt, hãy lập phương trình đường hồi quy bình phương tối thiểu dự đoán doanh thu theo số giờ quảng cáo.
bTính hệ số xác định và cho biết bao nhiêu phần trăm biến thiên của doanh thu KHÔNG được giải thích bởi quan hệ tuyến tính với số giờ quảng cáo.
cTính phần dư của cửa hàng A và nêu rõ đại lượng nào được đường hồi quy làm cho nhỏ nhất.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Đồ thị quan hệ hai biến định lượng (scatterplot)” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

dữ liệu đơn biến (univariate data)univariate data

Khác nhau ở đâuDữ liệu đơn biến chỉ ghi một biến trên mỗi đối tượng và tập trung vào phân phối, trong khi dữ liệu hai biến ghi hai biến nhằm tìm mối liên hệ giữa chúng

Hay nhầm khiđề cho một bảng số liệu nhiều cột và hỏi cách phân tích phù hợp — cần xác định xem bài đang hỏi về phân phối của từng biến riêng lẻ hay về quan hệ giữa hai biến

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 154.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nói thẳng ra cấu trúc của dữ liệu: tiền tố "bi-" nghĩa là hai, còn "variate" là đại lượng biến thiên, nên "bivariate data" chỉ loại dữ liệu mà trên mỗi cá thể hay mỗi đối tượng quan sát người ta ghi lại hai biến chứ không phải một. Vì vậy nó đối lập với dữ liệu một biến (univariate data), nơi mỗi đối tượng chỉ có một số đo và ta không thể hỏi câu hỏi "hai đại lượng này đi cùng nhau như thế nào". Chính vì có đủ hai tọa độ cho mỗi đối tượng mà ta mới vẽ được biểu đồ phân tán (scatterplot). Rộng hơn, chữ "statistics" bao quanh khái niệm này lại có gốc chẳng liên quan gì tới toán. Nó bắt nguồn từ tiếng Latinh mới statisticum collegium ("hội đồng nhà nước") và tiếng Ý statista ("chính khách"); dạng tiếng Đức Statistik do Gottfried Achenwall đưa ra năm 1749 vốn chỉ việc phân tích số liệu về nhà nước. Mãi đầu thế kỷ 19 từ này mới mang nghĩa thu thập và phân loại dữ liệu nói chung, sau khi Sir John Sinclair nhập nó vào tiếng Anh năm 1791 trong bộ Statistical Account of Scotland.

Xáo lại cách ghép cặp — hai cột số vẫn thế, nhưng r sụp về 0

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Dù $r$ gần $1$ , chỉ kết luận nhân quả khi dữ liệu đến từ thí nghiệm phân nhóm ngẫu nhiên.

Mẹo phòng thi

Vẽ hoặc tưởng tượng biểu đồ phân tán trước khi tin vào con số $r$ .

Khi diễn giải $r^2$ , viết đủ mẫu câu chuẩn bằng tiếng Anh.

Đọc kỹ hệ số góc và giải nghĩa nó theo đơn vị thật, kèm chữ "predicted".

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Nhận diện cấu trúc dữ liệu trước khi tính. Mỗi cửa hàng đóng góp một cặp số

(x, y)

đo trên cùng một đơn vị quan sát, nên đây là dữ liệu hai biến định lượng và công cụ phù hợp là biểu đồ phân tán cùng đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line). Biến

x

là biến giải thích, còn

y

là biến phản hồi vì ta muốn dự đoán doanh thu từ thời lượng quảng cáo.

2Bước 2: Tính hệ số góc rồi tính tung độ gốc. Công thức

b = r\dfrac{s_y}{s_x}

cho

b = 0.8 \times \dfrac{9}{3} = 0.8 \times 3 = 2.4

, nghĩa là mỗi giờ quảng cáo tăng thêm gắn với mức tăng dự đoán khoảng

2.4

triệu đồng doanh thu. Vì đường hồi quy luôn đi qua điểm

(\bar{x}, \bar{y})

nên

a = \bar{y} - b\bar{x} = 48 - 2.4 \times 12 = 48 - 28.8 = 19.2

. Vậy phương trình dự đoán là

\hat{y} = 19.2 + 2.4x

3Bước 3: Bình phương hệ số tương quan để có hệ số xác định (coefficient of determination):

r^2 = 0.8^2 = 0.64

. Con số này nói rằng khoảng

64\%

biến thiên của doanh thu giữa các cửa hàng được giải thích bởi quan hệ tuyến tính với số giờ quảng cáo. Do đó phần biến thiên KHÔNG được giải thích là

1 - r^2 = 0.36

, tức khoảng

36\%

; đây chính là kiểu hỏi mà đề thi hay giăng bẫy, vì nhiều thí sinh trả lời nhầm thành

0.64

4Bước 4: Thay

x = 15

vào phương trình:

\hat{y} = 19.2 + 2.4 \times 15 = 19.2 + 36 = 55.2

triệu đồng. Phần dư (residual) là

e = y - \hat{y} = 60 - 55.2 = 4.8

triệu đồng, mang dấu dương nên cửa hàng A bán được nhiều hơn mức mô hình dự đoán. Tiêu chuẩn xác định đường hồi quy là làm cho tổng bình phương các phần dư

\sum (y_i - \hat{y}_i)^2

đạt giá trị nhỏ nhất, chứ không phải tổng khoảng cách vuông góc hay tổng trị tuyệt đối của các phần dư.

Đường hồi quy dự đoán doanh thu theo thời lượng quảng cáo là $\hat{y} = 19.2 + 2.4x$ . Khoảng $64\%$ biến thiên doanh thu giữa các cửa hàng được giải thích bởi quan hệ tuyến tính với số giờ quảng cáo, nên vẫn còn khoảng $36\%$ biến thiên do các yếu tố khác gây ra. Cửa hàng A có phần dư $+4.8$ triệu đồng, tức doanh thu thực tế cao hơn dự đoán $4.8$ triệu đồng, và đường hồi quy này được chọn vì nó làm tổng bình phương các phần dư nhỏ nhất.

2Ví dụ 2/2

Một trường trung học khảo sát toàn bộ 200 học sinh khối 11 về việc tham gia câu lạc bộ thể thao, đồng thời ghi lại giới tính của từng em. Kết quả: trong 100 học sinh nam có 60 em tham gia và 40 em không tham gia; trong 100 học sinh nữ có 45 em tham gia và 55 em không tham gia.

aTính tần suất biên của nhóm học sinh có tham gia câu lạc bộ thể thao.
bTính tần suất của việc tham gia câu lạc bộ theo từng giới tính và cho biết dữ liệu có gợi ý mối liên hệ giữa hai biến hay không.

1Bước 1: Sắp số liệu vào bảng hai chiều (two-way table) để thấy rõ cấu trúc. Mỗi học sinh được ghi hai đặc điểm phân loại là giới tính và việc tham gia câu lạc bộ, nên đây vẫn là dữ liệu hai biến, chỉ khác ở chỗ cả hai biến đều là biến định tính. Cột tổng cho

60 + 45 = 105

em tham gia và

40 + 55 = 95

em không tham gia, cộng lại đúng bằng

200

học sinh.

2Bước 2: Tần suất biên chỉ nhìn vào một biến duy nhất và bỏ qua biến còn lại. Ta lấy tổng dòng chia cho cỡ mẫu:

105/200 = 0.525

. Vậy khoảng

52.5\%

học sinh khối 11 của trường có tham gia câu lạc bộ thể thao, không phân biệt nam hay nữ.

3Bước 3: Muốn xét liên hệ giữa hai biến thì phải dùng tần suất có điều kiện (conditional relative frequency), tức chia cho tổng của riêng nhóm đang xét chứ không chia cho

200

. Với học sinh nam ta có

60/100 = 0.60

, còn với học sinh nữ ta có

45/100 = 0.45

. Hai tỉ lệ này được tính trên hai mẫu số khác nhau, nên chúng so sánh được với nhau một cách công bằng.

4Bước 4: So sánh hai tần suất có điều kiện để kết luận. Chênh lệch

0.60 - 0.45 = 0.15

, tức tỉ lệ tham gia ở nam cao hơn ở nữ khoảng 15 điểm phần trăm, là khá rõ so với cỡ mẫu 100 em mỗi nhóm. Nếu hai biến không liên hệ thì hai tỉ lệ này phải xấp xỉ bằng nhau và xấp xỉ tần suất biên

0.525

; ở đây điều đó không xảy ra, và trên biểu đồ cột chồng tỉ lệ ta sẽ thấy hai cột chia đoạn ở hai độ cao khác nhau.

Khoảng $52.5\%$ học sinh khối 11 tham gia câu lạc bộ thể thao. Tuy nhiên tỉ lệ tham gia ở nam là $60\%$ trong khi ở nữ chỉ là $45\%$ , nên dữ liệu gợi ý có mối liên hệ giữa giới tính và việc tham gia câu lạc bộ thể thao ở nhóm học sinh được khảo sát. Cần lưu ý rằng đây là một khảo sát quan sát, do đó kết luận chỉ dừng ở mức liên hệ chứ không cho phép nói giới tính là nguyên nhân.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.