Đang tải bài học…

AP Statistics

bảng hai chiều

two-way table

Còn gọi: contingency table · bảng liên hợp · bảng chéo · bảng dự phòng · bảng tần số hai chiều · bảng tần số hai biến · two-way frequency table

Bảng hai chiều (two-way table) là bảng sắp xếp dữ liệu của hai biến phân loại, một biến theo hàng, biến kia theo cột, mỗi ô ghi tần số.

Khi nhà thống kê muốn khảo sát mối quan hệ giữa hai biến phân loại trong cùng một nhóm quan sát, họ sắp xếp dữ liệu vào một bảng hai chiều. Mỗi ô trong bảng chứa tần số — tức là số cá thể thỏa mãn đồng thời cả hai đặc trưng tương ứng của hàng và cột. Nhờ cách bố trí này, toàn bộ thông tin của hai biến hiện diện trong một bảng duy nhất, thay vì nằm rải rác ở hai bảng riêng lẻ.

Từ bảng hai chiều, người ta có thể rút ra ba loại phân phối tần số. Phân phối biên (marginal frequency) là tổng theo từng hàng hoặc từng cột, phản ánh phân bố của mỗi biến khi xét riêng. Ngược lại, phân phối có điều kiện (conditional frequency) chỉ xét một tập con — chẳng hạn, trong số những học sinh chọn xem truyền hình, bao nhiêu phần trăm là học sinh lớp 11. Nếu phân phối có điều kiện của một biến không thay đổi khi ta cố định các giá trị khác nhau của biến kia, thì hai biến đó được coi là độc lập với nhau; ngược lại, sự chênh lệch giữa các phân phối có điều kiện là dấu hiệu cho thấy có mối liên hệ.

Để kiểm định chính thức xem hai biến phân loại có độc lập không, thống kê học sử dụng kiểm định Chi-square với giá trị thống kê $\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}$ , trong đó $O$ là tần số quan sát và $E$ là tần số kỳ vọng khi giả sử độc lập. Giá trị $\chi^2$ càng lớn, bằng chứng chống lại giả thuyết độc lập càng mạnh. Vì vậy, bảng hai chiều không chỉ là phương tiện mô tả dữ liệu mà còn là bước chuẩn bị dữ liệu không thể thiếu trước khi tiến hành suy luận thống kê.

Ký hiệu

• $O_{ij}$ : tần số quan sát ở hàng $i$ , cột $j$
• $E_{ij} = \dfrac{(\text{tổng hàng } i)(\text{tổng cột } j)}{n}$ : tần số kỳ vọng tương ứng.

Trực giác: Hãy hình dung một tờ bảng điểm danh kép: hàng ghi tên môn thể thao yêu thích, cột ghi khối lớp — mỗi ô điền số học sinh thỏa cả hai, và chỉ cần nhìn lướt qua các cột là thấy ngay khối nào có sở thích khác biệt.

Công thức

\htmlClass{fp-1}{f_{ij}} = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n_{ij}}}{n}}

Dùng khi cần chuyển bảng đếm thô thành bảng tần số tương đối (relative frequency table) để so sánh tỉ lệ giữa các ô.

Trong đó

f_{ij}

tần số tương đối của ô tại hàng i, cột j

n_{ij}

số quan sát tại hàng i, cột j

n

tổng số quan sát trong toàn bảng

f_{j|i} = \frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}}

Dùng khi tính tần số có điều kiện (conditional frequency): tỉ lệ các quan sát thuộc cột j trong số những quan sát đã thuộc hàng i, giúp so sánh phân phối của một biến khi cố định giá trị của biến còn lại.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1749Karl Pearson

Bảng hai chiều gắn liền với công trình của Karl Pearson, người công bố bài báo giới thiệu kiểm định khi bình phương (chi-squared test) được thiết kế riêng để phân tích dữ liệu sắp xếp theo dạng bảng hai chiều.

Từ rất sớm, việc thống kê đã mang nghĩa thu thập và phân loại dữ liệu về dân số, thương mại hay tôn giáo của một nhà nước, nên nhu cầu xếp các con số đếm được vào những ô ngăn nắp xuất hiện trước cả khi có lý thuyết đi kèm. Điều còn thiếu là một cách trả lời câu hỏi: hai cách phân loại ấy có liên quan với nhau không, hay bảng chỉ đang phản ánh sự tình cờ? Karl Pearson lấp chỗ trống đó khi công bố kiểm định khi bình phương, một quy trình đặt ra chính để xử lý dữ liệu bày theo bảng hai chiều. Nhờ đó, bảng đếm chuyển từ chỗ chỉ để mô tả sang chỗ làm căn cứ suy luận.

Thử nghiệm tương tác

Cùng một ô 400 — bấm đổi cách đọc và nhìn mẫu số thay đổi

Hay hiểu sai

Mẫu số là nhóm mà câu hỏi giới hạn, không phải tổng cả bảng.

Câu hỏi gộp nhiều dòng thì tử số và mẫu số đều phải gộp theo.

So sánh số đếm thô không kết luận được gì về mối liên hệ (association) giữa hai biến.

Đổi chỗ điều kiện là đổi luôn câu hỏi.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một cuộc khảo sát chọn ngẫu nhiên 2.000 người và hỏi mỗi người loại nước ép trái cây mà họ thích nhất. Kết quả được ghi lại theo hai biến phân loại: nhóm tuổi (người lớn hay trẻ em) và loại nước ép ưa thích, trình bày trong bảng dưới đây. | | Cam | Nho | Nam việt quất | Táo | Tổng | |---|---|---|---|---|---|Người lớn600500501501.300Trẻ em40010050150700Tổng1.0006001003002.000

aTrong số trẻ em được khảo sát, tỉ lệ chọn nước cam là bao nhiêu?
bTìm phân bố tần số tương đối biên (marginal relative frequency distribution) của loại nước ép ưa thích.
cTrong số những người chọn nước nho, tỉ lệ là người lớn bằng bao nhiêu? So sánh con số này với tỉ lệ người lớn trong toàn bộ mẫu và nêu nhận xét.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Bảng & đồ thị cho hai biến phân loại” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikiểm định độ phù hợp

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

bảng liên hợpcontingency table

Khác nhau ở đâuBảng liên hợp là tên gọi tổng quát hơn dùng trong thống kê suy luận, còn bảng hai chiều nhấn mạnh cấu trúc hàng–cột khi trình bày dữ liệu phân loại

Hay nhầm khiđề thường dùng hai tên thay nhau trong cùng một bài; thí sinh cần nhận ra đây là cùng một loại bảng, không phải hai đối tượng khác nhau

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 54, 154, 217.

f_{j|i}

tần số tương đối có điều kiện của cột j khi biết hàng i

n_{ij}

số quan sát tại hàng i, cột j

n_{i\cdot}

tổng số quan sát của hàng i (tổng biên hàng)

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi "hai chiều" mô tả đúng cấu trúc chứ không phải một điển tích nào: mỗi cá thể trong bảng được phân loại đồng thời theo hai biến phân loại (categorical variable), một biến chạy theo hàng và một biến chạy theo cột. Chính vì có hai hướng phân loại cắt nhau mà mỗi ô trong bảng mang một ý nghĩa kép, và cũng vì thế mà bảng cho phép so sánh tần số quan sát với tần số kỳ vọng (expected counts) theo cả hai hướng. Cần nhớ thêm rằng bản thân chữ "thống kê" bắt nguồn từ tiếng Đức Statistik do Gottfried Achenwall đặt ra năm 1749 với nghĩa "khoa học về nhà nước", và được Sir John Sinclair đưa vào tiếng Anh năm 1791; nói cách khác, ngay từ gốc, ngành này đã là chuyện sắp xếp và phân loại số liệu — đúng việc mà bảng hai chiều làm.

Cùng một ô 400 — bấm đổi cách đọc và nhìn mẫu số thay đổi

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết phân số đầy đủ ra giấy trước khi bấm máy tính.

Câu hỏi về mối liên hệ phải trả lời bằng ít nhất hai tỉ lệ so sánh kèm kết luận.

Cẩn thận với bảng bị cắt bớt hoặc thiếu ô — hãy điền cho đủ trước khi tính.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết cần đọc đúng cấu trúc bảng. Biến ở hàng là nhóm tuổi với hai giá trị, biến ở cột là loại nước ép với bốn giá trị, còn mỗi ô bên trong là số người vừa thuộc hàng đó vừa thuộc cột đó. Hàng "Tổng" và cột "Tổng" chứa các tần số biên, và ta luôn nên kiểm tra chúng trước khi tính:

600+500+50+150=1300

400+100+50+150=700

, và

1300+700=2000

. Bảng nhất quán, nên có thể yên tâm dùng các tổng này làm mẫu số.

2Bước 2 — ý (a): Câu hỏi giới hạn phạm vi vào riêng nhóm trẻ em, nghĩa là ta chỉ làm việc trong một hàng của bảng. Do đó mẫu số không phải 2.000 mà là tổng của hàng trẻ em, tức 700 người, còn tử số là ô giao giữa hàng trẻ em và cột nước cam, tức 400 người. Vậy

\dfrac{400}{700}\approx 0{,}5714

. Khoảng 57,14% trẻ em trong mẫu chọn nước cam là loại ưa thích nhất.

3Bước 3 — ý (b): Phân bố biên của loại nước ép chỉ dùng hàng tổng ở đáy bảng, bỏ qua hoàn toàn việc người trả lời là người lớn hay trẻ em. Chia lần lượt từng tổng cột cho cỡ mẫu

n=2000

, ta được

\dfrac{1000}{2000}=0{,}50

cho cam,

\dfrac{600}{2000}=0{,}30

cho nho,

\dfrac{100}{2000}=0{,}05

cho nam việt quất và

\dfrac{300}{2000}=0{,}15

cho táo. Bốn tỉ lệ này cộng lại đúng bằng

0{,}50+0{,}30+0{,}05+0{,}15=1

, đây là dấu hiệu cho thấy phép tính không sót nhóm nào.

4Bước 4 — ý (c): Lần này phạm vi bị giới hạn theo cột: ta chỉ xét 600 người đã chọn nước nho, trong đó có 500 người lớn, nên tỉ lệ cần tìm là

\dfrac{500}{600}\approx 0{,}8333

. Đây là một tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency), và muốn biết nó có "bất thường" hay không thì phải so với tỉ lệ người lớn của cả mẫu là

\dfrac{1300}{2000}=0{,}65

. Chênh lệch

0{,}8333-0{,}65\approx 0{,}18

khá lớn, cho thấy việc biết một người chọn nước nho đã làm thay đổi đáng kể khả năng người đó là người lớn.

Trong mẫu khảo sát, khoảng 57,14% trẻ em chọn nước cam là loại ưa thích nhất. Xét chung cả 2.000 người thì nước cam chiếm 50%, nước nho 30%, nước táo 15% và nam việt quất chỉ 5%, nên cam là loại phổ biến nhất. Riêng trong nhóm chọn nước nho, có tới khoảng 83,33% là người lớn, cao hơn hẳn tỉ lệ người lớn 65% của toàn mẫu; điều này gợi ý rằng sở thích nước ép và nhóm tuổi có mối liên hệ (association) chứ không độc lập với nhau.

2Ví dụ 2/2

Người ta khảo sát 57 học sinh của một trường trung học để xem các em có đi làm thêm ngoài giờ học hay không. Kết quả được phân loại theo hai biến: tình trạng việc làm (có việc làm hay không có việc làm) và khối lớp (khối 11 hay khối 12), như bảng sau. | | Có việc làm | Không có việc làm | Tổng | |---|---|---|---|Khối 11121830Khối 12151227Tổng273057

aTính tỉ lệ học sinh có việc làm trong từng khối lớp.
bDựa trên các tỉ lệ vừa tính, hãy mô tả mối liên hệ giữa tình trạng việc làm và khối lớp.

1Bước 1: Ta kiểm tra lại các tổng để chắc chắn bảng đọc đúng: khối 11 có

12+18=30

học sinh, khối 12 có

15+12=27

học sinh, cộng lại đúng

30+27=57

. Theo chiều cột, số học sinh có việc làm là

12+15=27

và số không có việc làm là

18+12=30

, cũng cho tổng 57. Vì hai khối có sĩ số khảo sát khác nhau, so sánh trực tiếp số đếm 12 với 15 sẽ dẫn đến kết luận sai; bắt buộc phải chuyển sang tỉ lệ.

2Bước 2 — ý (a): Khi câu hỏi so sánh các khối với nhau, ta lấy mỗi hàng làm một phạm vi riêng và chia theo tổng hàng đó. Với khối 11:

\dfrac{12}{30}=0{,}400

, tức 40,0% học sinh có việc làm. Với khối 12:

\dfrac{15}{27}\approx 0{,}5556

, tức khoảng 55,6% học sinh có việc làm. Hai con số này chính là hai phân bố có điều kiện được rút gọn về một cột đáng quan tâm.

3Bước 3 — ý (b): Nếu hai biến độc lập thì tỉ lệ có việc làm ở mỗi khối phải xấp xỉ bằng tỉ lệ chung của cả mẫu là

\dfrac{27}{57}\approx 0{,}4737

, nghĩa là hai cột trong một biểu đồ cột chồng (segmented bar chart) sẽ được chia gần giống hệt nhau. Thực tế thì

0{,}400

và

0{,}5556

nằm về hai phía của

0{,}4737

và cách nhau khoảng 15,6 điểm phần trăm, tức là biết học sinh thuộc khối nào có làm thay đổi khả năng em đó đi làm thêm. Tuy nhiên đây chỉ là bằng chứng về sự liên hệ trong mẫu; dữ liệu quan sát kiểu này không cho phép kết luận rằng lên khối 12 là nguyên nhân khiến học sinh đi làm thêm.

Có 40,0% học sinh khối 11 và khoảng 55,6% học sinh khối 12 trong mẫu đi làm thêm ngoài giờ học. Vì hai tỉ lệ có điều kiện này khác nhau đáng kể, dữ liệu cho thấy tình trạng việc làm và khối lớp có mối liên hệ: học sinh khối 12 có xu hướng đi làm thêm nhiều hơn học sinh khối 11. Dù vậy, đây là một khảo sát quan sát nên ta chỉ được nói đến sự liên hệ, không được suy ra quan hệ nhân quả.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.