Đang tải bài học…

AP Statistics

tổng biên

marginal totals

Tổng biên (marginal totals) là tổng của từng hàng hoặc từng cột trong bảng hai chiều, cho biết số quan sát ở mỗi nhóm của một biến.

Trong bảng hai chiều (two-way table), mỗi ô thể hiện số lượng quan sát thuộc đồng thời một hạng mục của biến hàng và một hạng mục của biến cột. Khi cộng tất cả các ô trong cùng một hàng, ta thu được tổng biên hàng; khi cộng tất cả các ô trong cùng một cột, ta thu được tổng biên cột. Gọi $n_{ij}$ là tần số ô tại hàng $i$ , cột $j$ ; tổng biên hàng là $R_i = \sum_j n_{ij}$ và tổng biên cột là $C_j = \sum_i n_{ij}$ . Vì mỗi quan sát được đếm đúng một lần, tổng của mọi tổng biên hàng luôn bằng tổng của mọi tổng biên cột, và cả hai cùng bằng tổng số quan sát $n$ trong toàn bảng.

Nhờ đó, tổng biên cho phép ta tách riêng phân phối của từng biến ra khỏi mối liên hệ giữa hai biến. Chẳng hạn, chia mỗi tổng biên hàng cho $n$ ta được phân phối biên (marginal distribution) của biến hàng — một bản tóm tắt một biến hoàn chỉnh, không phụ thuộc vào cách biến cột được phân nhóm. Do đó, trước khi khảo sát mối liên hệ giữa hai biến phân loại, nhà thống kê thường đọc tổng biên để nắm quy mô tương đối của từng nhóm.

Tuy nhiên, tổng biên chỉ phản ánh cấu trúc một biến nên không cho biết hai biến có liên quan hay độc lập. Ngược lại, chính tổng biên lại là nguyên liệu để tính tần số kỳ vọng (expected counts) trong kiểm định Chi-square về tính độc lập: tần số kỳ vọng của ô $(i,j)$ bằng $\frac{R_i \cdot C_j}{n}$ . Vì vậy, hiểu rõ tổng biên là bước đệm không thể bỏ qua trước khi bước vào suy luận thống kê cho dữ liệu phân loại hai chiều.

Ký hiệu

R_i

C_j

n

Trực giác: Hãy tưởng tượng một cuốn sổ điểm có hàng là tên học sinh và cột là tên môn học; tổng cuối mỗi hàng cho biết tổng điểm một em, tổng cuối mỗi cột cho biết tổng điểm cả lớp ở một môn — đó chính là các tổng biên nằm ở "lề" của bảng.

Công thức

n_{i+}=\htmlClass{fp-1}{\sum_{j} \htmlClass{fp-0}{n_{ij}}}

Dùng để tính tổng số quan sát trong một hàng của bảng hai chiều, từ đó xác định tổng biên hàng.

Trong đó

n_{ij}

số quan sát thuộc hàng i và cột j

n_{i+}

tổng biên của hàng i

n_{+j}=\htmlClass{fp-1}{\sum_{i} \htmlClass{fp-0}{n_{ij}}}

Dùng để tính tổng số quan sát trong một cột của bảng hai chiều, tức tổng biên cột.

Trong đó

n_{ij}

số quan sát thuộc hàng i và cột j

Thử nghiệm tương tác

Bấm vào viền tổng của bảng — xem tổng biên nào đang làm mẫu số

Hay hiểu sai

Tổng biên không đủ để kết luận hai biến có liên hệ với nhau.

Phân bố biên luôn chia cho tổng chung, không chia cho tổng hàng hay tổng cột.

Tổng chung không phải là tổng hàng cộng tổng cột.

Không được đưa các ô tổng biên vào phép cộng khi tính thống kê khi bình phương.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học khảo sát toàn bộ 250 học sinh khối 11 và khối 12 về phương tiện các em thường dùng để đến trường. Kết quả được ghi vào bảng hai chiều (two-way table) dưới đây, trong đó mỗi ô là số học sinh thuộc đồng thời một khối lớp và một loại phương tiện. | | Xe đạp | Xe buýt | Xe máy | |---|---|---|---|Khối 11684527Khối 12423830 Phần thân bảng chưa có dòng và cột tổng; nhiệm vụ đầu tiên là bổ sung chúng.

aTính các tổng biên theo hàng và theo cột, đồng thời kiểm tra tổng chung (grand total) của bảng.
bLập phân bố biên (marginal distribution) của biến phương tiện đi lại dưới dạng phần trăm và diễn giải kết quả.
cSo sánh tỉ lệ đi xe đạp trong từng khối với tỉ lệ đi xe đạp của toàn trường, rồi nêu nhận xét về mối liên hệ giữa hai biến.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Bảng & đồ thị cho hai biến phân loại” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikiểm định độ phù hợp

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

giá trị quan sátobserved values

Khác nhau ở đâuGiá trị quan sát là số đếm trong từng ô bên trong bảng, còn tổng biên là tổng cộng dọc theo hàng hoặc cột ngoài rìa

Hay nhầm khikhi tính tần số kỳ vọng, học sinh dễ lấy nhầm số trong ô thay vì lấy tích của hai tổng biên chia cho tổng chung

tổng biên của cột j

Bấm vào viền tổng của bảng — xem tổng biên nào đang làm mẫu số

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Viết rõ mẫu số của mọi tỉ lệ lấy ra từ bảng.

Nhớ công thức tần số kỳ vọng đi thẳng từ tổng biên: $E_{ij} = R_i C_j / n$ .

Phân biệt "và" với "biết rằng" ngay khi đọc đề xác suất trên bảng.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Cộng theo từng hàng để có tổng biên của biến khối lớp. Khối 11 có

68+45+27=140

học sinh, còn khối 12 có

42+38+30=110

học sinh. Hai số này cho biết quy mô của mỗi khối trong mẫu khảo sát, hoàn toàn không phụ thuộc vào phương tiện các em dùng.

2Bước 2: Cộng theo từng cột để có tổng biên của biến phương tiện: xe đạp

68+42=110

, xe buýt

45+38=83

, xe máy

27+30=57

. Bảng đầy đủ vì vậy có thêm một dòng và một cột viền ngoài, và chính vị trí nằm ở lề bảng đã sinh ra tên gọi của loại tổng này.

3Bước 3: Kiểm tra tính nhất quán bằng cách cộng hai bộ tổng biên theo hai hướng khác nhau. Theo hàng ta được

140+110=250

, theo cột ta được

110+83+57=250

; hai kết quả trùng nhau nên bảng không có lỗi cộng. Đây là bước kiểm tra mà học sinh hay bỏ qua, dù nó chỉ tốn vài giây và giúp phát hiện ngay một ô bị chép sai.

4Bước 4: Ở ý (b), lấy từng tổng biên cột chia cho tổng chung

n=250

110/250=0{,}44

83/250=0{,}332

và

57/250=0{,}228

. Vậy 44% học sinh đi xe đạp, 33,2% đi xe buýt và 22,8% đi xe máy, và ba tỉ lệ này cộng lại đúng bằng

100\%

vì mỗi học sinh chỉ được xếp vào một loại phương tiện duy nhất.

5Bước 5: Sang ý (c), ta chuyển từ tổng biên sang phân bố có điều kiện (conditional distribution) bằng cách chia mỗi ô cho tổng biên của hàng chứa nó. Trong khối 11, tỉ lệ đi xe đạp là

68/140\approx0{,}486

, tức khoảng 48,6%; trong khối 12, tỉ lệ đó chỉ là

42/110\approx0{,}382

, tức khoảng 38,2%. Mẫu số ở đây là 140 và 110 chứ không phải 250, và đó chính là chỗ dễ mất điểm nhất khi làm bài.

6Bước 6: So sánh hai tỉ lệ vừa tính với mức chung 44% của toàn trường. Nếu khối lớp và phương tiện đi lại không liên hệ với nhau thì cả hai tỉ lệ có điều kiện sẽ xấp xỉ 44%, nhưng thực tế một bên cao hơn còn một bên thấp hơn khá rõ. Do đó dữ liệu gợi ý rằng học sinh khối 12 ít đi xe đạp hơn khối 11, tuy nhiên muốn kết luận chắc chắn thì phải làm thêm kiểm định độc lập chi bình phương.

Các tổng biên theo hàng là 140 (khối 11) và 110 (khối 12); theo cột là 110 (xe đạp), 83 (xe buýt) và 57 (xe máy), với tổng chung 250 học sinh. Phân bố biên của phương tiện cho thấy trong toàn trường có 44% học sinh đi xe đạp, 33,2% đi xe buýt và 22,8% đi xe máy. Khi tách riêng từng khối, tỉ lệ đi xe đạp là 48,6% ở khối 11 nhưng chỉ 38,2% ở khối 12; hai con số này lệch khỏi mức chung 44% theo hai hướng ngược nhau, nên dữ liệu cho thấy dấu hiệu về mối liên hệ giữa khối lớp và phương tiện đến trường.

2Ví dụ 2/2

Một trạm y tế theo dõi 200 người trong một mùa dịch cúm, ghi lại việc họ có tiêm vắc-xin hay không và cuối mùa có mắc cúm hay không. Kết quả như sau: trong 120 người đã tiêm có 12 người mắc cúm, còn trong 80 người chưa tiêm có 24 người mắc cúm. Trạm y tế muốn xét xem tình trạng tiêm chủng và việc mắc cúm có độc lập với nhau hay không.

aLập bảng hai chiều đầy đủ kèm các tổng biên.
bDùng tổng biên để tính tần số kỳ vọng (expected count) cho cả bốn ô nếu giả thuyết độc lập là đúng, rồi kiểm tra điều kiện về cỡ mẫu của kiểm định chi bình phương.

1Bước 1: Điền các ô còn thiếu từ dữ kiện đã cho. Nhóm đã tiêm gồm 120 người nên số người tiêm mà không mắc cúm là

120-12=108

; tương tự, nhóm chưa tiêm gồm 80 người nên số người chưa tiêm và không mắc cúm là

80-24=56

. Đến đây bảng đã có đủ bốn ô ở phần thân.

2Bước 2: Cộng theo cột để có tổng biên của biến tình trạng bệnh: số người mắc cúm là

12+24=36

, số người không mắc là

108+56=164

. Kiểm tra chéo cho thấy

36+164=200

và

120+80=200

, đúng bằng tổng chung, nên bảng nhất quán và có thể dùng để tính toán tiếp.

3Bước 3: Nhắc lại công thức tần số kỳ vọng dưới giả thuyết độc lập, trong đó

R

là tổng biên hàng,

C

là tổng biên cột và

n

là tổng chung:

E=\frac{R\times C}{n}

Công thức này nói rằng nếu hai biến không liên quan gì đến nhau thì mỗi hàng phải chia số người của mình cho các cột theo đúng tỉ lệ chung

C/n

của toàn bảng.

4Bước 4: Áp dụng cho ô "đã tiêm và mắc cúm":

E=\dfrac{120\times36}{200}=21{,}6

. Làm tương tự cho ô "chưa tiêm và mắc cúm" ta được

E=\dfrac{80\times36}{200}=14{,}4

, cho ô "đã tiêm và không mắc" ta được

E=\dfrac{120\times164}{200}=98{,}4

, và cho ô cuối cùng là

E=\dfrac{80\times164}{200}=65{,}6

5Bước 5: Kiểm tra lại bằng chính các tổng biên:

21{,}6+98{,}4=120

và

14{,}4+65{,}6=80

khớp với tổng biên hàng, còn

21{,}6+14{,}4=36

khớp với tổng biên cột. Vì vậy bảng tần số kỳ vọng luôn giữ nguyên các tổng biên của bảng quan sát, và đây là cách kiểm tra nhanh nhất xem mình có nhân nhầm hàng với cột hay không.

6Bước 6: Cuối cùng, đối chiếu với điều kiện của kiểm định: mọi tần số kỳ vọng phải đạt ít nhất 5. Giá trị nhỏ nhất trong bốn ô là 14,4, lớn hơn 5, nên điều kiện được thỏa mãn dù ô quan sát nhỏ nhất chỉ có 12 người. Lưu ý rằng điều kiện này đặt lên tần số kỳ vọng chứ không đặt lên tần số quan sát.

Bảng đầy đủ có các ô 12, 108, 24, 56 với tổng biên hàng là 120 và 80, tổng biên cột là 36 và 164, tổng chung 200 người. Lấy tích tổng biên hàng và tổng biên cột rồi chia cho 200, ta được các tần số kỳ vọng lần lượt là 21,6 và 98,4 cho nhóm đã tiêm, 14,4 và 65,6 cho nhóm chưa tiêm. Tất cả đều lớn hơn 5 nên điều kiện về cỡ mẫu của kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thỏa mãn, và có thể tiến hành kiểm định trên bộ dữ liệu này.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.