AP Statistics

tần số tương đối đồng thời

joint relative frequency

Còn gọi: joint relative frequency

Tần số tương đối đồng thời là tỉ lệ số quan sát rơi vào một ô cụ thể của bảng hai chiều so với tổng số quan sát toàn bảng.

Khi hai biến phân loại được trình bày cùng lúc trong một bảng hai chiều (two-way table), mỗi ô của bảng ghi lại số lần hai đặc điểm xuất hiện đồng thời trên cùng một cá thể. Tần số tương đối đồng thời (joint relative frequency) chính là tỉ lệ của con số đó so với tổng số quan sát trong toàn bộ bảng, chứ không so với tổng của riêng một hàng hay một cột. Công thức được viết như sau:

$p_{ij} = \dfrac{n_{ij}}{n}$

trong đó $n_{ij}$ là tần số ở ô nằm trên hàng $i$ , cột $j$ , còn $n$ là tổng số quan sát của cả bảng, nhờ đó $p_{ij}$ cho biết trong toàn bộ mẫu có bao nhiêu phần, thường đổi ra phần trăm, vừa mang đặc điểm hàng $i$ vừa mang đặc điểm cột $j$ .

Tuy nhiên, điểm cần phân biệt là tần số tương đối đồng thời nhìn vào toàn bảng, trong khi tần số tương đối biên (marginal relative frequency) chỉ xét tổng theo một hàng hoặc một cột riêng lẻ, còn tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency) lại giới hạn mẫu số vào đúng nhóm đang quan tâm. Do đó cùng một ô dữ liệu có thể cho ba con số khác nhau tùy vào việc ta chọn tổng nào làm mẫu số, và học sinh dễ nhầm lẫn nếu không đọc kỹ đề hỏi tỉ lệ trên tổng nào. Vì vậy, nhờ nắm chắc sự khác biệt này, học sinh mới đọc đúng bảng phần trăm và lập luận chính xác khi xét tính độc lập giữa hai biến phân loại, một bước quan trọng dẫn tới kiểm định Chi-square sau này.

Chính vì tần số tương đối đồng thời phản ánh mối liên hệ đồng thời giữa hai đặc điểm, nó thường là bước đầu tiên để phát hiện một xu hướng thú vị trước khi đi sâu vào phân tích có điều kiện. Ngược lại, nếu chỉ dừng ở tần số tương đối đồng thời mà không so sánh với tần số tương đối có điều kiện, người đọc dễ rút ra kết luận sai về quan hệ giữa hai biến.

Ký hiệu

p_{ij} = n_{ij}/n

Trực giác: Giống như hỏi trong cả trường có bao nhiêu phần trăm học sinh vừa là nữ vừa thích môn Toán, tính trên tổng số học sinh toàn trường.

Công thức

\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f_{ij}}}{\htmlClass{fp-1}{n}}}

Dùng khi đọc một ô cụ thể trong bảng hai chiều (two-way table) và cần diễn giải nó dưới dạng tỉ lệ trên tổng số quan sát, khác với tần số tương đối biên (marginal relative frequency) vốn chia theo tổng hàng hoặc tổng cột.

Trong đó

f_{ij}

số cá thể tại giao điểm hàng

i

và cột

j

n

tổng số cá thể trong toàn bộ bảng

Thử nghiệm tương tác

Bấm ô 42 học sinh — đổi mẫu số, con số nhảy từ 0,21 sang 0,68

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Tần số tương đối đồng thời luôn chia cho tổng toàn bảng, không chia cho tổng hàng hay tổng cột.

Đừng dùng tần số tương đối đồng thời để kết luận hai biến có liên hệ.

Tổng tất cả các tần số tương đối đồng thời trong bảng bằng 1, không phải mỗi hàng bằng 1.

Ô ở lề bảng không phải tần số tương đối đồng thời.

Mẹo phòng thi

Viết rõ mẫu số ra giấy trước khi chia, dù chỉ một dòng.

Diễn giải kết quả bằng một câu có ngữ cảnh, đủ ba yếu tố: tỉ lệ, hai đặc điểm, và tổng thể.

Gặp bảng hai chiều, hãy khoanh sẵn ba tổng: tổng hàng, tổng cột và tổng toàn bảng.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học khảo sát toàn bộ 200 học sinh khối 11 và khối 12 về phương tiện các em dùng để đến trường. Kết quả được ghi vào bảng hai chiều (two-way table) dưới đây, các ô là số học sinh: | | Xe đạp | Xe buýt | Đi bộ | Tổng | |---|---|---|---|---|Lớp 11483022100Lớp 12364519100Tổng847541200

aTính tần số tương đối đồng thời của ô "lớp 12 và đi xe buýt" rồi diễn giải con số đó trong ngữ cảnh.
bSo sánh con số vừa tìm với tần số tương đối biên của cột "xe buýt" và với tần số tương đối có điều kiện của "xe buýt" trong nhóm học sinh lớp 12. Ba con số này khác nhau ở chỗ nào?
cChứng tỏ rằng tổng của tất cả các tần số tương đối đồng thời trong bảng bằng 1, và giải thích vì sao điều đó luôn đúng.

1Bước 1: Xác định đúng ô và đúng mẫu số. Ô "lớp 12 và đi xe buýt" chứa 45 học sinh, còn tổng thể khảo sát là 200 học sinh. Tần số tương đối đồng thời luôn lấy tổng của cả bảng làm mẫu số, nên

45/200 = 0.225

. Diễn giải: trong toàn bộ 200 học sinh được khảo sát, có

22.5\%

em vừa học lớp 12 vừa đi xe buýt — tức là ô này mô tả đồng thời hai đặc điểm của cùng một nhóm học sinh.

2Bước 2: Tính hai loại tần số tương đối còn lại để thấy chỗ khác biệt. Tần số tương đối biên (marginal relative frequency) của cột xe buýt lấy tổng cột chia cho tổng bảng:

75/200 = 0.375

, nghĩa là

37.5\%

học sinh toàn trường đi xe buýt, không phân biệt khối lớp. Tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency) của xe buýt trong riêng khối 12 lại lấy tổng hàng làm mẫu số:

45/100 = 0.45

, tức

45\%

học sinh lớp 12 đi xe buýt.

3Bước 3: Đối chiếu ba con số. Cả ba đều có cùng tử số hoặc cùng chủ đề "xe buýt", nhưng mẫu số khác nhau nên câu trả lời cho ba câu hỏi khác nhau:

0.225

trả lời "bao nhiêu phần của cả trường vừa lớp 12 vừa đi xe buýt",

0.375

trả lời "bao nhiêu phần của cả trường đi xe buýt", còn

0.45

trả lời "trong riêng lớp 12, bao nhiêu phần đi xe buýt". Do đó khi làm bài, việc đầu tiên phải làm là đọc xem đề lấy nhóm nào làm "toàn thể".

4Bước 4: Cộng sáu ô của bảng sau khi chia cho 200:

48 + 30 + 22 + 36 + 45 + 19 = 200

, nên tổng các tần số tương đối đồng thời là

200/200 = 1

. Điều này luôn đúng vì mỗi học sinh được xếp vào đúng một ô duy nhất của bảng, không em nào bị bỏ sót và không em nào bị đếm hai lần. Vì vậy bảng tần số tương đối đồng thời chính là cách phân chia trọn vẹn

100\%

mẫu thành các ô rời nhau.

Tần số tương đối đồng thời của ô "lớp 12 và xe buýt" là $45/200 = 0.225$ : có $22.5\%$ trong số 200 học sinh được khảo sát vừa thuộc khối 12 vừa đi xe buýt. Con số này khác với $75/200 = 0.375$ (tần số tương đối biên, tính trên cả trường không phân khối) và khác với $45/100 = 0.45$ (tần số tương đối có điều kiện, chỉ tính trong nội bộ khối 12), vì ba con số dùng ba mẫu số khác nhau. Cuối cùng, sáu tần số tương đối đồng thời cộng lại đúng bằng 1 do mỗi học sinh chỉ nằm ở một ô.

2Ví dụ 2/2

Một cuộc thăm dò lấy mẫu ngẫu nhiên 500 người trưởng thành ở một thành phố, hỏi ý kiến của họ về đề xuất xây tuyến xe buýt nhanh. Kết quả được công bố ngay dưới dạng tần số tương đối đồng thời (các ô cộng lại bằng 1.00): | | Ủng hộ | Phản đối | Không ý kiến | Tổng | |---|---|---|---|---|Nam0.180.220.060.46Nữ0.300.160.080.54Tổng0.480.380.141.00

aCó bao nhiêu người nam phản đối đề xuất trong mẫu này?
bNếu giới tính và ý kiến là độc lập, tần số tương đối đồng thời của ô "nữ và ủng hộ" phải bằng bao nhiêu? So sánh với giá trị quan sát được.
cDựa vào bảng, hãy nêu bằng chứng cho thấy có mối liên hệ giữa giới tính và ý kiến.

1Bước 1: Đi ngược từ tỉ lệ về số đếm. Vì mọi ô đều lấy 500 làm mẫu số, ta chỉ cần nhân ngược: số người nam phản đối là

0.22 \times 500 = 110

. Kiểm tra nhanh cho yên tâm:

0.46 \times 500 = 230

người nam, và

90 + 110 + 30 = 230

, khớp với tổng hàng.

2Bước 2: Viết điều kiện độc lập bằng ký hiệu. Hai biến độc lập (independent) khi tần số tương đối đồng thời của mỗi ô đúng bằng tích hai tần số tương đối biên tương ứng:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

. Với ô "nữ và ủng hộ", tích đó là

0.54 \times 0.48 = 0.2592

. Đây là tỉ lệ mà ta kỳ vọng thấy nếu ý kiến hoàn toàn không phụ thuộc giới tính.

3Bước 3: So sánh với thực tế. Bảng cho giá trị quan sát là

0.30

, cao hơn giá trị kỳ vọng

0.2592

khoảng

0.041

, tương ứng khoảng

0.041 \times 500 \approx 21

người. Vì quan sát lệch rõ khỏi tích hai biên, ta kết luận hai biến không độc lập trong mẫu này.

4Bước 4: Củng cố bằng tỉ lệ có điều kiện, vì đề AP thường đòi so sánh phần trăm chứ không chỉ nêu một phép nhân. Trong nhóm nam, tỉ lệ ủng hộ là

0.18/0.46 \approx 0.391

; trong nhóm nữ là

0.30/0.54 \approx 0.556

. Hai tỉ lệ này cách nhau hơn 16 điểm phần trăm, một khoảng chênh khó quy cho dao động ngẫu nhiên với cỡ mẫu 500.

Trong mẫu có $0.22 \times 500 = 110$ người nam phản đối. Nếu giới tính và ý kiến độc lập thì ô "nữ và ủng hộ" phải chiếm $0.54 \times 0.48 = 0.2592$ , nhưng giá trị quan sát là $0.30$ , cao hơn hẳn. Cùng với việc tỉ lệ ủng hộ trong nhóm nữ ( $\approx 55.6\%$ ) vượt xa nhóm nam ( $\approx 39.1\%$ ), dữ liệu cho thấy có mối liên hệ giữa giới tính và ý kiến về tuyến xe buýt nhanh ở thành phố này.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyBảng & đồ thị cho hai biến phân loạiXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyThống kê mô tả cho hai biến phân loạiXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoá AP Statistics

Cần trướcbảng hai chiều

Dẫn tớikiểm định chi bình phương về tính độc lập

Liên quantần số tương đối tần số tương đối biên xác suất đồng thời

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency)conditional relative frequency

Khác nhau ở đâuTần số tương đối đồng thời lấy tổng toàn bảng làm mẫu số. Tần số tương đối có điều kiện chỉ lấy tổng của một hàng hoặc một cột làm mẫu số.

Hay nhầm khiKhi đề hỏi "trong số học sinh nam, bao nhiêu phần trăm chọn môn A" thì phải chia cho tổng cột nam, chứ không chia cho tổng toàn bảng.

tần số tương đối biên (marginal relative frequency)marginal relative frequency

Khác nhau ở đâuTần số tương đối đồng thời mô tả một ô bên trong bảng, ứng với hai biến cùng lúc. Tần số tương đối biên mô tả một hàng hoặc một cột, tức chỉ một biến duy nhất.

Hay nhầm khiKhi đọc bảng có sẵn cột "Tổng", thí sinh hay lấy nhầm số ở lề thay vì số trong ô giao nhau.