tần số tương đối biên

Tần số tương đối biên luôn lấy tổng toàn bảng (grand total) làm mẫu số.

Nhiều học sinh thấy chữ "biên" là nghĩ tới hàng hoặc cột rồi chia tổng hàng cho chính tổng hàng đó, và tất nhiên kết quả ra $1$ — vô nghĩa. Công thức đúng là $R_i/n$ hoặc $C_j/n$, trong đó $R_i$ là tổng của hàng thứ $i$, $C_j$ là tổng của cột thứ $j$, còn $n$ là tổng số cá thể trong toàn bảng hai chiều (two-way table). Nói cách khác, mẫu số luôn cố định là $n$ cho mọi tần số tương đối biên của cùng một bảng; chỉ có tử số thay đổi theo hàng hay cột mà ta đang xét.

Không thể kết luận hai biến có liên hệ chỉ bằng các tần số tương đối biên.

Đây là lỗi mất điểm nặng ở câu tự luận, vì các giá trị biên chỉ mô tả riêng từng biến một cách tách rời, giống như hai bảng tần số riêng biệt đặt cạnh nhau. Muốn xét liên hệ, bắt buộc phải so sánh các tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency), tức là $n_{ij}/R_i$ trong từng hàng, rồi xem các dãy tỉ lệ đó có khác nhau rõ rệt hay không. Nếu chúng gần như trùng nhau thì hai biến gần như độc lập; nếu khác nhau đáng kể thì có bằng chứng về liên hệ.

Một ô trong bảng chia cho $n$ là tần số tương đối đồng thời, không phải biên.

Tần số tương đối đồng thời (joint relative frequency) có dạng $n_{ij}/n$ và mô tả tỉ lệ cá thể thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện, chẳng hạn "vừa là nam vừa chọn ban khoa học". Ngược lại, giá trị biên chỉ nhắc tới một biến duy nhất và bằng tổng của cả một hàng hoặc cả một cột chia cho $n$. Do đó, một tần số tương đối biên luôn bằng tổng các tần số tương đối đồng thời nằm trên hàng hoặc cột tương ứng — kiểm tra quan hệ này là cách nhanh nhất để biết mình có nhặt nhầm ô hay không.

Tổng các tần số tương đối biên bằng $1$ theo từng biến, không phải cho cả bảng.

Khi cộng tất cả giá trị biên của biến hàng ta được $\sum_i R_i/n = 1$, và khi cộng tất cả giá trị biên của biến cột ta cũng được $\sum_j C_j/n = 1$. Vì vậy, nếu học sinh gom chung cả hai nhóm lại rồi thấy tổng ra $2$ thì đó không phải lỗi tính toán mà là hiểu sai bản chất. Mỗi biến được phân hoạch riêng trên cùng một tập cá thể, nên mỗi biến "dùng hết" $100\%$ một lần.

Viết rõ phân số bằng số cụ thể trước khi bấm máy tính.

Giám khảo chấm theo cách trình bày, nên một dòng như $\frac{240}{600}=0.40$ cho thấy bạn chọn đúng tử số và đúng mẫu số, trong khi chỉ ghi "40%" thì mất điểm quá trình nếu kết quả sai. Thói quen này cũng giúp chính bạn tự kiểm tra: nếu mẫu số không phải tổng toàn bảng thì lập tức biết mình đang tính nhầm sang loại tỉ lệ khác.

Bám vào cụm từ trong đề để biết đang hỏi biên hay có điều kiện.

Những cụm như "of all students", "what proportion of the people surveyed" báo hiệu mẫu số là toàn bộ cá thể, tức là giá trị biên; còn "among the males", "given that the student passed", "of those who…" giới hạn lại một nhóm con và bắt buộc phải chia cho tổng của nhóm đó. Chỉ cần gạch chân giới từ và mệnh đề giới hạn ngay khi đọc đề, bạn đã tránh được phần lớn lỗi chọn sai mẫu số.

Khi diễn giải kết quả, phải nêu đủ ngữ cảnh chứ không chỉ đọc con số.

Một câu trả lời đạt điểm tối đa thường có dạng "khoảng $40\%$ của tất cả $600$ học sinh được khảo sát chọn ban khoa học", nghĩa là có tỉ lệ, có nhóm tham chiếu và có biến đang xét. Nếu đề tiếp tục hỏi về liên hệ giữa hai biến, đừng dừng ở các giá trị biên mà hãy chuyển ngay sang so sánh tỉ lệ theo từng hàng, kèm một câu nhận xét rằng các tỉ lệ đó khác nhau hay gần bằng nhau.