AP Statistics

tần số tương đối

relative frequency

Còn gọi: relative frequency · bảng tần số tương đối

Tần số tương đối là tỉ lệ (thường tính bằng phần trăm) số quan sát rơi vào một nhóm hay một loại so với tổng số quan sát.

Khi lập bảng cho một biến phân loại hay biến định lượng đã chia nhóm, người ta thường bắt đầu bằng cách đếm xem mỗi loại hay mỗi nhóm có bao nhiêu quan sát; con số đếm đó gọi là tần số. Tuy nhiên tần số thô rất khó so sánh giữa hai tập dữ liệu có cỡ mẫu khác nhau, chẳng hạn lớp 30 học sinh và lớp 45 học sinh, nên người ta đổi tần số sang một tỉ lệ chung, gọi là tần số tương đối, để việc so sánh trở nên công bằng.

Tần số tương đối của nhóm thứ $i$ được tính theo công thức

$\text{rel.freq}_i = \frac{f_i}{n}$

trong đó $f_i$ là tần số (số quan sát) của nhóm thứ $i$ , còn $n$ là tổng số quan sát trong toàn bộ tập dữ liệu. Nhân kết quả này với 100 sẽ cho tần số tương đối tính theo phần trăm, và tổng tất cả các tần số tương đối trong một bảng luôn bằng 1 (hay 100%). Vì vậy, nhờ chuẩn hóa về cùng một thang đo như vậy, bảng tần số tương đối cho phép so sánh trực tiếp hình dạng phân phối giữa các nhóm có cỡ mẫu chênh lệch, điều mà bảng tần số thô không làm được.

Khi cộng dồn tần số tương đối theo thứ tự các nhóm từ nhỏ đến lớn, ta thu được tần số tương đối tích lũy (cumulative relative frequency), đại lượng cho biết bao nhiêu phần trăm dữ liệu nằm ở mức đó trở xuống. Vẽ tần số tương đối tích lũy theo từng nhóm sẽ tạo ra đường tần số tích lũy (ogive), một đường luôn không giảm và tiến dần đến 1; đường này chính là công cụ để đọc ra phân vị (percentile) của dữ liệu. Do đó việc nắm chắc tần số tương đối không chỉ giúp mô tả một biến mà còn là bước chuẩn bị cần thiết để đọc đúng các đồ thị tích lũy thường gặp trong đề thi.

Ký hiệu

f_i/n

, hoặc phần trăm

= (f_i/n)\times 100\%

Trực giác: Giống như nói lớp có 6 bạn bị điểm B thì không nói nhiều bằng nói 6 trong tổng 30 bạn, tức 20% lớp, đạt điểm B.

Công thức

f_i/n

Dùng khi cần so sánh cấu trúc phân bố giữa hai tập dữ liệu có tổng số quan sát khác nhau, ví dụ so sánh tỉ lệ học sinh theo mức điểm giữa hai lớp có sĩ số không bằng nhau.

Trong đó

f_i

tần số (số lần xuất hiện) của giá trị hoặc nhóm thứ

i

n

tổng số quan sát trong tập dữ liệu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Tần số tương đối ra đời từ nhu cầu rất thực tế của việc lập bảng thống kê: khi muốn so sánh các nhóm có quy mô khác nhau, con số đếm thô không nói lên điều gì, nên người ta chia số lần xuất hiện cho tổng số quan sát để đưa mọi nhóm về cùng một thước đo.

Trong thống kê, tần số (hay tần số tuyệt đối — absolute frequency) chỉ đơn giản là số lần một kết quả được ghi nhận trong một thí nghiệm hay một cuộc khảo sát. Con số đó hữu ích khi ta chỉ nhìn một tập dữ liệu, nhưng lại bất lực khi phải đối chiếu hai tập có cỡ mẫu (sample size) khác nhau: ba mươi lần trong một trăm quan sát và ba mươi lần trong một nghìn quan sát kể hai câu chuyện hoàn toàn khác. Vì vậy các bảng tần số sớm được bổ sung thêm một cột chia tần số tuyệt đối cho cỡ mẫu. Nhờ đó tỉ lệ thu được vừa cho phép so sánh giữa các nhóm, vừa trở thành ước lượng tự nhiên cho xác suất thực nghiệm (empirical probability) của biến cố.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "tương đối" trong tên gọi không mang nghĩa "gần đúng" hay "không chính xác" như cách hiểu thông thường, mà giữ đúng nghĩa gốc của từ relative: được xét trong quan hệ với một cái gì đó. Ở đây, số đếm của một nhóm luôn được đặt trong quan hệ với tổng số quan sát, nên nó là một con số "tương đối so với tổng" chứ không đứng một mình. Quy tắc nhận dạng đi kèm cũng rất gọn: thấy một số đếm thì đó là tần số, còn thấy phần trăm, tỉ lệ hay phân số thì đó là tần số tương đối. Cũng vì gắn với ý tưởng đếm và lấy tỉ lệ dài hạn mà trường phái xác suất dựa trên tần số về sau được gọi là frequentist, thuật ngữ do M. G. Kendall dùng lần đầu năm 1949 để phân biệt với những người theo Bayes.

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Gạt từ số đếm sang tỉ lệ — hai hộp kẹo to nhỏ mới so được với nhau

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Tần số tương đối luôn nằm trong đoạn từ 0 đến 1 và cộng lại đúng bằng 1.

Biết tần số tương đối không có nghĩa là biết số lượng.

Muốn kiểm tra quy tắc thực nghiệm, phải CỘNG DỒN các khoảng, không nhìn một dòng.

Bảng tần số tương đối cũng cho biết hình dạng phân bố, đừng chỉ đọc con số.

Mẹo phòng thi

Trước khi so sánh hai nhóm, hãy tự hỏi mẫu số là gì.

Câu trả lời phải dùng ngôn ngữ tỉ lệ nếu dữ liệu là tỉ lệ.

Gặp bảng tần số tương đối theo khoảng, hãy kiểm tra tổng bằng 1 ngay từ đầu.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một hộp kẹo chứa 50 viên được phân loại theo màu, với kết quả đếm như sau: đỏ 14 viên, xanh lá 12 viên, cam 10 viên, vàng 9 viên và nâu 5 viên. Một học sinh muốn trình bày dữ liệu này dưới dạng bảng tần số tương đối để so sánh tỉ lệ các màu, đồng thời một bạn khác đề xuất bảng ghi các giá trị 0.28, 0.24, 0.20, 0.18 và 0.12 cho năm màu theo đúng thứ tự trên.

aLập bảng tần số tương đối cho màu của các viên kẹo trong hộp.
bGiải thích vì sao bảng do bạn học sinh thứ hai đề xuất không thể là một bảng tần số tương đối hợp lệ của dữ liệu này.

1Bước 1: Trước hết phải xác định tổng số quan sát, vì tần số tương đối luôn được tính so với tổng ấy. Cộng các tần số đếm được ta có

14+12+10+9+5=50

, đúng bằng số viên kẹo trong hộp, nên không có viên nào bị bỏ sót hay đếm hai lần.

2Bước 2: Với mỗi màu, lấy tần số chia cho tổng theo công thức

f_i/n

, trong đó

f_i

là số viên kẹo của màu thứ

i

và

n=50

là tổng số viên. Cụ thể:

14/50=0.28

cho màu đỏ,

12/50=0.24

cho xanh lá,

10/50=0.20

cho cam,

9/50=0.18

cho vàng và

5/50=0.10

cho nâu. Bảng tần số tương đối vì vậy gồm năm cặp: đỏ 0.28, xanh lá 0.24, cam 0.20, vàng 0.18, nâu 0.10.

3Bước 3: Kiểm tra lại bằng tổng các tần số tương đối:

0.28+0.24+0.20+0.18+0.10=1.00

. Đây là phép thử bắt buộc với mọi bảng tần số tương đối của một biến phân loại (categorical variable), bởi mỗi viên kẹo chỉ thuộc đúng một màu nên các tỉ lệ phải phủ kín toàn bộ hộp.

4Bước 4: Xét bảng do bạn thứ hai đề xuất:

0.28+0.24+0.20+0.18+0.12=1.02

. Tổng vượt quá 1, điều không thể xảy ra khi các loại là rời nhau và đã liệt kê đủ. Sai sót nằm ở ô màu nâu, vì

5/50=0.10

chứ không phải

0.12

; nếu đổi ngược lại thì

0.12\times 50=6

viên, tức là bảng đó mô tả một hộp kẹo khác với dữ liệu đã cho.

Bảng tần số tương đối của màu kẹo trong hộp 50 viên là: đỏ 0.28, xanh lá 0.24, cam 0.20, vàng 0.18 và nâu 0.10, với tổng đúng bằng 1.00. Bảng của bạn học sinh thứ hai không hợp lệ vì tổng các tỉ lệ bằng 1.02, do ô màu nâu bị ghi thành 0.12 trong khi giá trị đúng là 0.10.

2Ví dụ 2/2

Người ta đo một biến liên tục (continuous variable)

x

trên một mẫu gồm 200 quan sát và thu được trung bình mẫu

\bar{x}=-0.25

cùng độ lệch chuẩn (standard deviation)

s=0.03

. Dữ liệu được chia thành các nhóm có độ rộng bằng nhau với tần số tương đối như sau:

-0.34\le x<-0.31

ứng với 0.02;

-0.31\le x<-0.28

ứng với 0.15;

-0.28\le x<-0.25

ứng với 0.33;

-0.25\le x<-0.22

ứng với 0.36;

-0.22\le x<-0.19

ứng với 0.11; và

-0.19\le x<-0.16

ứng với 0.03.

aTính tỉ lệ các quan sát nằm trong khoảng một độ lệch chuẩn quanh trung bình, rồi đổi tỉ lệ đó ra số quan sát.
bTính tần số tương đối tích lũy đến mốc $x=-0.22$ và nêu ý nghĩa của giá trị vừa tìm được.
cDựa vào tỉ lệ trong khoảng hai độ lệch chuẩn quanh trung bình, nhận xét xem phân bố này có gần dạng chuẩn hay không.

1Bước 1: Trước khi tính bất cứ điều gì, hãy kiểm tra bảng có đầy đủ hay không bằng cách cộng toàn bộ cột tần số tương đối:

0.02+0.15+0.33+0.36+0.11+0.03=1.00

. Tổng bằng 1 nên sáu nhóm đã phủ kín mẫu, và ta được phép coi mỗi tần số tương đối như tỉ lệ quan sát rơi vào nhóm tương ứng.

2Bước 2: Ở ý (a), khoảng một độ lệch chuẩn quanh trung bình là

\bar{x}\pm s = -0.25\pm 0.03

, tức là từ

-0.28

đến

-0.22

. Điều may mắn là hai đầu mút này trùng khít với biên của hai nhóm giữa bảng, nên ta chỉ cần cộng:

0.33+0.36=0.69

. Nhân với cỡ mẫu, số quan sát là

0.69\times 200=138

3Bước 3: Sang ý (b), tần số tương đối tích lũy (cumulative relative frequency) tại một mốc là tổng mọi tần số tương đối của các nhóm nằm hoàn toàn bên trái mốc đó. Cộng dồn từ nhóm thấp nhất lên:

0.02+0.15+0.33+0.36=0.86

. Vậy 86% số quan sát có giá trị nhỏ hơn

-0.22

, và cũng chính giá trị 0.86 này sẽ là tung độ của đường cong tại hoành độ

-0.22

nếu ta vẽ đồ thị tần số tương đối tích lũy.

4Bước 4: Với ý (c), khoảng hai độ lệch chuẩn là

\bar{x}\pm 2s = -0.25\pm 0.06

, trải từ

-0.31

đến

-0.19

. Bốn nhóm nằm trọn trong khoảng này cho tổng

0.15+0.33+0.36+0.11=0.95

. Đối chiếu với quy tắc thực nghiệm (empirical rule), một phân bố chuẩn có khoảng 68% dữ liệu trong một độ lệch chuẩn và khoảng 95% trong hai độ lệch chuẩn.

5Bước 5: So sánh cho thấy tỉ lệ 0.69 rất sát mốc 68% và tỉ lệ 0.95 khớp đúng mốc 95%. Tuy nhiên đây chỉ là bằng chứng ủng hộ chứ không phải chứng minh: hai con số này nhất quán với một phân bố đối xứng dạng chuông, nên kết luận hợp lý là dữ liệu không mâu thuẫn với giả định gần chuẩn.

Có 69% số quan sát, tức 138 trong tổng 200 quan sát, nằm trong khoảng một độ lệch chuẩn quanh trung bình, từ $-0.28$ đến $-0.22$ . Tần số tương đối tích lũy đến mốc $-0.22$ bằng 0.86, nghĩa là 86% các giá trị của $x$ nhỏ hơn $-0.22$ . Vì tỉ lệ trong một và hai độ lệch chuẩn lần lượt là 0.69 và 0.95, rất gần các mốc 68% và 95% của quy tắc thực nghiệm, phân bố của $x$ hoàn toàn có thể được mô tả xấp xỉ bằng một phân bố chuẩn.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyBảng tần số và cách kiểm chứng một nhận định từ số liệu phân loạiDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho một biến phân loạiDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Cần trướccỡ mẫu

Dẫn tớihistogram tần số tương đối đồng thời

Liên quantần số tỉ lệ

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

tần số (frequency)frequency

Khác nhau ở đâuTần số là số đếm thô của các quan sát trong một nhóm. Tần số tương đối là số đếm đó chia cho tổng số quan sát, luôn nằm giữa 0 và 1.

Hay nhầm khiKhi đề yêu cầu so sánh hai tập dữ liệu có cỡ mẫu khác nhau, học sinh hay đọc cột đếm thô thay vì đổi sang tần số tương đối.

tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency)conditional relative frequency

Khác nhau ở đâuTần số tương đối thông thường lấy tổng toàn bộ quan sát làm mẫu số. Tần số tương đối có điều kiện lấy tổng của riêng một hàng hoặc một cột làm mẫu số.

Hay nhầm khiTrong bảng hai chiều, câu hỏi dạng "trong số học sinh nam, bao nhiêu phần trăm…" đòi mẫu số là tổng hàng chứ không phải tổng bảng.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 79, 81–82.