cỡ mẫu

Tăng cỡ mẫu không làm giảm độ chệch của ước lượng.

Đây là chỗ nhiều thí sinh mất điểm ở câu hỏi về ảnh hưởng của việc nâng cỡ mẫu lên 1.300: độ chệch (bias) phản ánh việc cách lấy mẫu có hệ thống làm ước lượng lệch khỏi tham số hay không, nên nó do thiết kế khảo sát quyết định chứ không do $n$. Nếu mẫu vốn đã ngẫu nhiên và không chệch thì tăng $n$ cũng chẳng có gì để sửa; ngược lại, nếu khung mẫu bỏ sót một nhóm dân số, lấy thêm hàng nghìn người vẫn chệch y như cũ, chỉ chệch một cách chính xác hơn. Cái mà cỡ mẫu làm giảm là phương sai (variance): $\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{p(1-p)/n}$ nhỏ đi khi $n$ lớn lên. Vì vậy đáp án đúng gần như luôn là "độ chệch không đổi, phương sai giảm".

Cỡ mẫu không làm thay đổi trung bình của phân bố mẫu.

Với tỉ lệ màn hình lỗi $p_d=0{,}05$, ta có $\mu_{\hat{p}_d}=0{,}05$ dù lấy mẫu cỡ 400, cỡ 40 hay cỡ 4.000, bởi $\hat{p}$ là ước lượng không chệch của $p$. Nhiều học sinh tưởng mẫu lớn thì trung bình phân bố mẫu (sampling distribution) sẽ "xích lại gần $p$ hơn", nhưng nó vốn đã bằng đúng $p$ ngay từ đầu. Cái xích lại gần là các giá trị $\hat{p}$ riêng lẻ: chúng bu quanh $p$ chặt hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn. Do đó khi đề hỏi về $\mu_{\hat{p}}$, hãy trả lời ngay bằng $p$ và đừng nhìn vào $n$.

Mẫu lớn hơn chưa chắc cho độ lệch chuẩn nhỏ hơn nếu $p$ cũng khác nhau.

Trong dạng đề "cặp $n$ và $p$ nào cho độ lệch chuẩn lớn nhất", công thức $\sqrt{p(1-p)/n}$ có hai bộ phận cùng tác động: tử số $p(1-p)$ đạt cực đại tại $p=0{,}5$ và giảm dần khi $p$ tiến về $0$ hoặc $1$, còn mẫu số $n$ kéo toàn bộ biểu thức xuống. Học sinh vội vàng chỉ nhìn $n$ nhỏ nhất rồi khoanh, nhưng nếu phương án đó có $p=0{,}9$ trong khi phương án kia có $p=0{,}5$ thì kết luận có thể đảo ngược. Cách an toàn là tính thẳng giá trị số cho từng cặp rồi so sánh, vì bốn phép tính này chưa tới một phút.

Điều kiện về cỡ mẫu gồm hai điều kiện khác nhau, không được gộp làm một.

Điều kiện độc lập yêu cầu dân số lớn ít nhất gấp 10 lần cỡ mẫu — như lập luận rằng dây chuyền sản xuất bim bim thừa sức tạo ra số lượng gói gấp hơn 10 lần hai mẫu 150 và 200. Còn điều kiện xấp xỉ chuẩn lại đòi $np\ge 10$ và $n(1-p)\ge 10$ cho tỉ lệ, hoặc $n\ge 30$ theo định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem) cho trung bình. Viết một điều kiện rồi coi như đã kiểm tra xong là mất điểm, vì bài chấm tính hai ý riêng biệt. Đặc biệt với hai mẫu, cả bốn bất đẳng thức đếm phải được ghi ra, mỗi mẫu hai cái.

Khi gộp hai tỉ lệ mẫu, phải lấy trung bình có trọng số theo cỡ mẫu.

Công thức tỉ lệ gộp (pooled proportion) là $\hat{p}_C=\frac{n_1\hat{p}_1+n_2\hat{p}_2}{n_1+n_2}$, tức tổng số thành công chia tổng số quan sát. Với $n_1=150$, $\hat{p}_1=0{,}15$ và $n_2=200$, $\hat{p}_2=0{,}08$, ta được $\hat{p}_C=0{,}11$ chứ không phải trung bình cộng $0{,}115$. Mẫu lớn hơn kéo giá trị gộp về phía nó, nên cứ lấy trung bình cộng đơn thuần là sai số nhỏ nhưng đủ để lệch khỏi đáp án trắc nghiệm.

Viết ra tên kiểm định kèm đầy đủ cụm "cho hiệu hai trung bình dân số".

Ở phần tự luận, giám khảo cần thấy bạn nhận diện đúng cả ba yếu tố: hai mẫu độc lập, biến định lượng, và đại lượng quan tâm là hiệu. Câu trả lời đạt điểm là "two-sample $t$-test for a difference in population means"; chỉ viết "t-test" thì mơ hồ, còn viết "z-test" khi chưa biết độ lệch chuẩn dân số là sai hẳn. Sau đó mới liệt kê điều kiện ngẫu nhiên, điều kiện $10\%$ và điều kiện chuẩn theo từng mẫu.

Đọc kỹ chiều của bất đẳng thức trước khi kết luận mẫu nào cho xác suất lớn hơn.

Khi đề so sánh $P(\hat{p}>0{,}70)$ giữa $n=100$ và một cỡ mẫu lớn hơn, mẫu nhỏ có độ lệch chuẩn lớn hơn nên phân bố dàn rộng, đẩy nhiều xác suất ra hai đuôi. Nếu $0{,}70$ nằm phía trên giá trị $p$, mẫu nhỏ cho xác suất vượt ngưỡng cao hơn; nhưng nếu ngưỡng nằm phía dưới $p$ thì kết luận đảo chiều. Hãy vẽ nhanh hai đường cong chồng lên nhau, đánh dấu $p$ ở giữa và ngưỡng ở đúng phía của nó, rồi mới chọn đáp án.