Đang tải bài học…

AP Statistics

mẫu ngẫu nhiên phân tầng

stratified random sample

Còn gọi: chọn mẫu phân tầng · lấy mẫu phân tầng · stratified sampling · stratified sample

Mẫu ngẫu nhiên phân tầng là mẫu tạo bằng cách chia tổng thể thành các tầng thuần nhất rồi chọn ngẫu nhiên độc lập trong từng tầng.

Khi tổng thể nghiên cứu có cấu trúc đa dạng — chẳng hạn gồm nhiều nhóm tuổi, vùng địa lý, hay mức thu nhập khác nhau — việc chọn mẫu ngẫu nhiên đơn thuần đôi khi bỏ sót hoàn toàn một nhóm nhỏ nhưng quan trọng. Vì vậy, để khắc phục điều này, nhà nghiên cứu chia tổng thể thành các tầng, mỗi tầng tập hợp những cá thể có chung một đặc trưng xác định. Sau đó, một mẫu ngẫu nhiên độc lập được rút ra từ mỗi tầng, và tất cả các mẫu thành phần được ghép lại tạo thành mẫu ngẫu nhiên phân tầng hoàn chỉnh.

Do đó, trong trường hợp chọn mẫu tỉ lệ (proportion), số cá thể lấy từ mỗi tầng tỉ lệ thuận với kích thước của tầng đó trong tổng thể. Nếu tổng thể gồm ba nhóm chiếm lần lượt 50%, 30% và 20%, thì với cỡ mẫu $n$ , số cá thể từ ba tầng lần lượt là $0{,}5n$ , $0{,}3n$ và $0{,}2n$ . Nhờ đó, cơ cấu của mẫu phản ánh đúng cơ cấu của tổng thể, làm giảm sai số do phân tầng gây ra so với chọn mẫu ngẫu nhiên đơn.

Phương pháp này có ưu điểm rõ rệt so với chọn mẫu ngẫu nhiên đơn khi các tầng khác nhau đáng kể về đặc trưng cần đo. Tuy nhiên, nó đòi hỏi nhà nghiên cứu phải xác định trước được các tầng và biết tỉ lệ của từng tầng trong tổng thể — thông tin đôi khi không dễ có được. Ngoài ra, cần phân biệt rõ phương pháp này với chọn mẫu cụm (cluster sample): trong phân tầng, mọi tầng đều được lấy mẫu; còn trong chọn mẫu cụm, chỉ một số cụm được chọn ngẫu nhiên rồi điều tra toàn bộ.

Trực giác: Giống như một giáo viên muốn lấy ý kiến cả lớp về căng-tin: thay vì bốc thăm ngẫu nhiên và có thể vô tình chỉ chọn toàn học sinh nam, thầy chia lớp thành nam và nữ rồi bốc thăm riêng trong từng nhóm — chắc chắn tiếng nói của cả hai nhóm đều có mặt trong kết quả.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mẫu cụmcluster sample

Khác nhau ở đâuPhân tầng chia quần thể thành nhóm khác chất bên trong rồi chọn ngẫu nhiên từ mỗi nhóm; cụm chọn nguyên vài nhóm và điều tra toàn bộ thành viên trong cụm đó

Hay nhầm khiđề cho danh sách trường học rồi hỏi đó là stratified hay cluster — nếu chọn một số trường rồi khảo sát toàn bộ học sinh trong từng trường thì là cluster

mẫu ngẫu nhiên đơn giảnsimple random sample

Khác nhau ở đâuPhân tầng chia quần thể thành tầng rồi chọn từ mỗi tầng; mẫu ngẫu nhiên đơn giản chọn thẳng từ toàn bộ quần thể không qua bước phân nhóm

Hay nhầm khiđề hỏi ưu điểm của stratified so với SRS — câu trả lời là stratified bảo đảm mỗi tầng đều có đại diện, nên sai số thường nhỏ hơn

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 230, 267, 535.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{n_i} = \htmlClass{fp-1}{n} \times \htmlClass{fp-2}{\frac{N_i}{N}}

Dùng khi thiết kế mẫu ngẫu nhiên phân tầng tỷ lệ (proportionate stratified random sample): chia tổng thể thành các tầng đồng nhất (strata), sau đó xác định số quan sát cần chọn ở mỗi tầng sao cho tỷ lệ trong mẫu phản ánh đúng tỷ lệ trong tổng thể.

Trong đó

n_i

cỡ mẫu của tầng thứ i

n

cỡ mẫu tổng

N_i

kích thước của tầng thứ i trong tổng thể

N

kích thước toàn bộ tổng thể

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1934Jerzy NeymanAnders KiaerArthur Lyon Bowley

Ý tưởng chia tổng thể thành các tầng rồi lấy mẫu ngẫu nhiên trong từng tầng được Jerzy Neyman (1894–1981) đặt trên nền lý thuyết vững chắc vào năm 1934, giữa lúc giới thống kê tranh luận xem cách chọn mẫu nào mới thật sự đại diện cho dân số.

Suốt thế kỷ 19, muốn biết một con số về cả nước thì người ta phải điều tra toàn bộ (complete enumeration), vừa tốn kém vừa chậm. Anders Kiaer, người sáng lập cơ quan thống kê Na Uy, công bố năm 1895 một cách thu thập dữ liệu chỉ trên một phần dân số, chia nhỏ theo nhiều lớp trước rồi mới bốc ngẫu nhiên ở bước cuối; phần lớn đồng nghiệp đương thời không chấp nhận vì con số không đến từ toàn bộ dân số. Phải đến những năm 1920, khi cuộc tranh luận giữa chọn mẫu ngẫu nhiên và chọn mẫu theo cụm (cluster sampling) nóng lên, Neyman mới đề xuất lấy từ mỗi nhóm một số lượng tương xứng với tỉ lệ của nhóm đó, nhờ đó mẫu phản chiếu đúng cơ cấu của tổng thể.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mượn hình ảnh các tầng đất xếp chồng lên nhau: tổng thể được cắt thành những lớp riêng biệt, rồi việc bốc thăm ngẫu nhiên diễn ra bên trong từng lớp chứ không phải trên toàn khối. Chữ "ngẫu nhiên" nằm giữa tên là điểm mấu chốt và cũng là chỗ dễ quên nhất, bởi chính nó phân biệt phương pháp này với lối chia nhóm rồi chọn theo cảm tính vốn phổ biến trong "phương pháp đại diện" (representative method) trước đó. Điều thú vị là cái tên từng được dùng khá lỏng: khi nhìn lại nghiên cứu năm 1912 ở Reading, Bowley (1936) mô tả cách lấy mẫu hệ thống từ danh sách các ngôi nhà và nhận xét rằng đó "đúng nghĩa là phương pháp phân tầng". Cụm từ tiếng Anh được ghi nhận lần đầu vào năm 1934, đúng thời điểm Neyman đặt nền móng cho toàn bộ lý thuyết chọn mẫu theo xác suất, và từ đó nó mang nghĩa chặt chẽ như ta dùng ngày nay. Cũng vì cách đặt tên theo thao tác chia tầng mà về sau người ta gọi kỹ thuật chia tầng sau khi đã lấy mẫu là "hậu phân tầng" (poststratification).

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Rút 25 lần bằng mẫu ngẫu nhiên đơn giản, rồi rút 25 lần có chia tầng — nhìn đám ước lượng co lại

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Phân tầng không phải chọn mẫu theo cụm (cluster sampling).

Chia tầng xong vẫn phải bốc ngẫu nhiên trong từng tầng.

Số cá thể lấy ở mỗi tầng thường tỉ lệ với cỡ tầng, không nhất thiết bằng nhau.

Phân tầng không loại bỏ thiên lệch do không phản hồi hay do câu hỏi dẫn dắt.

Mẹo phòng thi

Trả lời câu "advantage" phải gọi tên biến dùng làm tầng và nhóm dễ bị bỏ sót.

Xét ba điều: nhóm chia theo gì, có lấy mẫu mọi nhóm, trong nhóm chọn ngẫu nhiên hay lấy hết.

Khi được yêu cầu mô tả quy trình, viết đủ ba bước bằng câu hoàn chỉnh.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Vào cuối năm học, một sở giáo dục tổ chức khảo sát môn Toán cho học sinh lớp 5 của tỉnh. Số liệu điều tra dân số cho thấy tổng thể học sinh lớp 5 của tỉnh gồm 50% ở thành thị, 30% ở vùng ven và 20% ở nông thôn. Sở quyết định lấy một mẫu ngẫu nhiên phân tầng theo tỉ lệ với cỡ mẫu

n = 2\,000

, dùng khu vực cư trú làm tiêu chí chia tầng (strata). Sau khi chấm bài, điểm trung bình của học sinh được chọn ở thành thị là 62 điểm, ở vùng ven là 70 điểm và ở nông thôn là 66 điểm.

aCần chọn bao nhiêu học sinh lớp 5 từ mỗi khu vực trong ba khu vực nói trên?
bMô tả cách chọn học sinh trong tầng thành thị sao cho đúng nghĩa "ngẫu nhiên".
cTính điểm trung bình của toàn bộ mẫu 2 000 học sinh.
dNêu một ưu điểm của việc lấy mẫu phân tầng theo khu vực thay vì lấy một mẫu ngẫu nhiên đơn giản cùng cỡ.

1Bước 1: Trước hết phải nhìn rõ tổng thể và tiêu chí chia tầng. Tổng thể ở đây là toàn bộ học sinh lớp 5 của tỉnh, còn tiêu chí chia tầng là khu vực cư trú, tạo ra ba tầng tách rời nhau và phủ kín tổng thể: thành thị, vùng ven, nông thôn. Chữ "theo tỉ lệ" (proportional allocation) báo cho ta biết tỉ lệ mỗi tầng trong mẫu phải khớp với tỉ lệ của tầng đó trong tổng thể.

2Bước 2: Ý (a) chỉ là ba phép nhân. Số học sinh cần chọn ở thành thị là

0{,}50 \times 2\,000 = 1\,000

, ở vùng ven là

0{,}30 \times 2\,000 = 600

, ở nông thôn là

0{,}20 \times 2\,000 = 400

. Tổng lại

1\,000 + 600 + 400 = 2\,000

đúng bằng cỡ mẫu yêu cầu, nên cách phân bổ đã nhất quán.

3Bước 3: Ý (b) đòi hỏi mô tả thao tác chọn, không phải chỉ nói "chọn ngẫu nhiên". Ta lập danh sách đầy đủ học sinh lớp 5 thuộc khu vực thành thị và đánh số từ 1 đến hết, rồi dùng máy sinh số ngẫu nhiên hoặc bảng số ngẫu nhiên để rút ra 1 000 số khác nhau, bỏ qua các số trùng và các số vượt quá kích thước danh sách. Những học sinh mang các số được rút chính là mẫu của tầng thành thị; lặp lại quy trình ấy một cách độc lập cho hai tầng còn lại rồi gộp ba nhóm lại, ta được mẫu phân tầng hoàn chỉnh.

4Bước 4: Ý (c) là trung bình có trọng số, với trọng số chính là cỡ của từng tầng:

\bar{x} = \frac{1000(62) + 600(70) + 400(66)}{2000}.

Tử số bằng

62\,000 + 42\,000 + 26\,400 = 130\,400

, nên

\bar{x} = 130\,400/2\,000 = 65{,}2

điểm. Lưu ý một điều đẹp của phân bổ theo tỉ lệ: vì cỡ mỗi tầng đã tỉ lệ với tổng thể, kết quả này trùng khớp với

0{,}5(62) + 0{,}3(70) + 0{,}2(66) = 65{,}2

, tức trung bình cộng thông thường của cả 2 000 bài đã tự động phản ánh đúng cơ cấu dân cư.

Mẫu gồm 1 000 học sinh thành thị, 600 học sinh vùng ven và 400 học sinh nông thôn, mỗi nhóm được rút ngẫu nhiên độc lập từ danh sách học sinh lớp 5 của khu vực mình rồi gộp lại. Điểm trung bình của mẫu 2 000 học sinh là 65,2 điểm. So với một mẫu ngẫu nhiên đơn giản cùng cỡ, cách phân tầng theo khu vực bảo đảm cả ba khu vực đều được đại diện đúng tỉ lệ dân số, nhờ đó ước lượng điểm trung bình của toàn tỉnh ít dao động hơn và sở giáo dục còn có thêm số liệu riêng cho từng khu vực.

2Ví dụ 2/2

Một chuỗi siêu thị có ba chi nhánh đặt ở ba địa điểm khác nhau: chi nhánh A phục vụ 2 500 lượt khách mỗi tuần, chi nhánh B phục vụ 1 500 lượt và chi nhánh C phục vụ 1 000 lượt, tổng cộng 5 000 lượt. Ban giám đốc muốn khảo sát mức độ hài lòng của khách hàng với cỡ mẫu 200 người trong tuần tới và đang cân nhắc bốn phương án sau. (I) Ghép danh sách 5 000 hóa đơn của cả ba chi nhánh, đánh số rồi rút ngẫu nhiên 200 hóa đơn. (II) Rút ngẫu nhiên 100 khách ở chi nhánh A, 60 khách ở chi nhánh B, 40 khách ở chi nhánh C rồi gộp ba nhóm lại. (III) Rút ngẫu nhiên 4 ngày trong tuần và phỏng vấn toàn bộ khách đến siêu thị trong những ngày đó. (IV) Từ danh sách 5 000 hóa đơn xếp theo thứ tự thời gian, chọn ngẫu nhiên một hóa đơn trong 25 hóa đơn đầu tiên rồi cứ cách 25 hóa đơn lại lấy một hóa đơn cho đến khi đủ 200 người.

aPhương án nào mô tả một mẫu ngẫu nhiên phân tầng? Giải thích vì sao.
bGọi tên ba phương án còn lại.
cNêu ưu điểm của việc lấy mẫu phân tầng với các địa điểm làm tầng, so với một mẫu ngẫu nhiên đơn giản.

1Bước 1: Muốn nhận diện đúng, hãy nắm ba dấu hiệu bắt buộc của một mẫu phân tầng: tổng thể được chia thành các nhóm mà bên trong mỗi nhóm các cá thể giống nhau ở một đặc điểm nào đó, sau đó rút mẫu ngẫu nhiên trong từng nhóm, và cuối cùng gộp các mẫu con lại. Chỉ thiếu một trong ba dấu hiệu ấy là phương án rơi sang một kiểu lấy mẫu khác. Đặc biệt phải phân biệt "lấy mẫu ngẫu nhiên trong mọi nhóm" với "chọn ngẫu nhiên vài nhóm rồi lấy hết".

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Chọn mẫu ngẫu nhiên” — khoá AP Statistics

Cần trướcmẫu ngẫu nhiên đơn giản

Dẫn tớikhảo sát mẫu

Liên quankhối mẫu đại diện

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Bước 5: Ý (d) là câu hỏi giải thích, phải trả lời bằng ngôn ngữ thống kê chứ không nói chung chung là "mẫu công bằng hơn". Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample) cỡ 2 000 vẫn có thể tình cờ rơi vào quá ít học sinh nông thôn, và vì điểm số giữa ba khu vực chênh nhau khá rõ, sự mất cân đối đó làm ước lượng dao động mạnh từ mẫu này sang mẫu khác. Cách phân tầng buộc mỗi khu vực xuất hiện đúng phần của nó, nhờ đó ước lượng cho điểm trung bình toàn tỉnh có độ biến thiên nhỏ hơn; ngoài ra ta còn thu được ước lượng riêng cho từng khu vực, điều mà mẫu ngẫu nhiên đơn giản không bảo đảm.

2Bước 2: Đối chiếu với ý (a), phương án (II) khớp đủ ba dấu hiệu: ba chi nhánh chính là ba tầng, mỗi tầng đều được rút mẫu ngẫu nhiên, và ba mẫu con được gộp thành mẫu cuối cùng. Cách phân bổ ở đây còn theo đúng tỉ lệ, vì

2\,500/5\,000 = 0{,}5

ứng với

0{,}5 \times 200 = 100

khách, tương tự

1\,500/5\,000 = 0{,}3

cho 60 khách và

1\,000/5\,000 = 0{,}2

cho 40 khách. Vậy (II) là mẫu ngẫu nhiên phân tầng.

3Bước 3: Ý (b) yêu cầu gọi tên ba phương án còn lại, và mỗi tên phải kèm lý do ngắn gọn. Phương án (I) là mẫu ngẫu nhiên đơn giản vì mọi nhóm 200 hóa đơn đều có cùng cơ hội được chọn, không hề có bước chia nhóm trước. Phương án (III) là lấy mẫu theo cụm (cluster sampling): mỗi ngày trong tuần là một cụm chứa đủ loại khách, ta chọn ngẫu nhiên vài cụm rồi khảo sát toàn bộ thành viên của cụm đó. Còn phương án (IV) là lấy mẫu hệ thống (systematic sampling), vì sau khi chọn ngẫu nhiên điểm xuất phát thì các cá thể tiếp theo được lấy đều đặn theo bước nhảy

5\,000/200 = 25

4Bước 4: Ý (c) là dạng câu hỏi giải thích thường gặp, và bài làm chỉ được trọn điểm khi nói đến độ biến thiên của ước lượng chứ không dừng ở chữ "đại diện tốt hơn". Khách của ba chi nhánh có thể khác nhau đáng kể về mức thu nhập, thói quen mua sắm và cả trải nghiệm phục vụ, nên mức hài lòng giữa ba địa điểm chênh lệch nhiều trong khi khách trong cùng một chi nhánh lại khá giống nhau. Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản có thể tình cờ chứa quá nhiều khách của chi nhánh A và quá ít khách của chi nhánh C, khiến ước lượng lệch đi so với thực tế của cả chuỗi.

5Bước 5: Cách phân tầng loại bỏ đúng rủi ro ấy vì nó ấn định trước số khách lấy từ mỗi địa điểm, không để may rủi quyết định. Do đó, từ mẫu này sang mẫu khác, ước lượng tỉ lệ khách hài lòng của toàn chuỗi dao động ít hơn, tức sai số chuẩn (standard error) nhỏ hơn so với mẫu ngẫu nhiên đơn giản cùng cỡ. Ngoài ra, mỗi tầng đều có đủ dữ liệu để ban giám đốc so sánh riêng ba chi nhánh với nhau.

Phương án (II) là mẫu ngẫu nhiên phân tầng, vì ba chi nhánh đóng vai trò ba tầng, mỗi tầng đều được rút mẫu ngẫu nhiên riêng rồi gộp lại thành mẫu 200 người theo đúng tỉ lệ lượt khách. Phương án (I) là mẫu ngẫu nhiên đơn giản, (III) là mẫu theo cụm và (IV) là mẫu hệ thống. Khi mức hài lòng khác nhau rõ giữa các địa điểm nhưng khá đồng nhất trong cùng một địa điểm, việc lấy các địa điểm làm tầng bảo đảm chi nhánh nào cũng được đại diện đúng phần của mình, nhờ đó ước lượng mức hài lòng chung của cả chuỗi ít dao động hơn so với mẫu ngẫu nhiên đơn giản cùng cỡ, đồng thời cho phép so sánh từng chi nhánh.