Đang tải bài học…

AP Statistics

mẫu ngẫu nhiên hệ thống

systematic random sample

Còn gọi: chọn mẫu hệ thống · lấy mẫu hệ thống · systematic sampling · systematic sample

Mẫu ngẫu nhiên hệ thống là mẫu chọn ngẫu nhiên một phần tử xuất phát trong danh sách, rồi lấy tiếp cứ cách một bước nhảy cố định cho đủ cỡ mẫu.

Để thực hiện chọn mẫu hệ thống, người nghiên cứu trước tiên phải xác định khoảng chọn $k = N/n$ , trong đó $N$ là kích thước tổng thể và $n$ là cỡ mẫu mong muốn. Một số nguyên ngẫu nhiên $r$ được chọn trong khoảng từ $1$ đến $k$ , và phần tử thứ $r$ trở thành điểm khởi đầu. Từ đó, các phần tử được chọn theo công thức $r,\; r+k,\; r+2k,\; \ldots$ , nghĩa là vị trí thứ $r + (i-1)k$ với $i = 1, 2, \ldots, n$ .

Phương pháp này mang lại tính ngẫu nhiên nhờ bước chọn điểm khởi đầu, và nhờ đó đảm bảo rằng mẫu trải đều trên toàn bộ danh sách tổng thể. Vì vậy, chọn mẫu hệ thống thường dễ thực hiện hơn chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample) khi danh sách tổng thể đã được sắp xếp sẵn — chẳng hạn danh sách học sinh theo thứ tự bảng chữ cái hay danh sách khách hàng theo mã số. Tuy nhiên, phương pháp này ẩn chứa một rủi ro quan trọng: nếu danh sách có chu kỳ lặp lại trùng với khoảng $k$ , mẫu có thể bị lệch một cách có hệ thống và không còn đại diện cho tổng thể.

Trong chương trình AP Statistics, chọn mẫu hệ thống được xếp vào nhóm mẫu xác suất (probability sample) vì mỗi phần tử trong tổng thể đều có xác suất được chọn khác không. Tuy vậy, không phải mọi tập hợp $n$ phần tử đều có xác suất được chọn như nhau, nên đây không phải là mẫu ngẫu nhiên đơn giản. Đề thi thường yêu cầu thí sinh nhận diện đúng loại mẫu hoặc chỉ ra điều kiện nào khiến chọn mẫu hệ thống trở nên thiên lệch (biased).

Trực giác: Giống như kiểm tra chất lượng trên dây chuyền sản xuất bằng cách lấy ra sản phẩm thứ 10, thứ 20, thứ 30 — bắt đầu từ một vị trí bất kỳ trong mười cái đầu tiên.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mẫu ngẫu nhiên đơn giảnsimple random sample

Khác nhau ở đâuMẫu ngẫu nhiên đơn giản cho mọi tập con cùng kích thước có xác suất được chọn bằng nhau, còn mẫu ngẫu nhiên hệ thống chỉ ngẫu nhiên hóa điểm xuất phát rồi chọn theo bước cố định nên không thỏa mãn điều kiện đó

Hay nhầm khiđề hỏi liệu phương pháp có phải là mẫu ngẫu nhiên đơn giản không — mẫu hệ thống trông có vẻ ngẫu nhiên nhưng không phải

Công thức

k = \frac{N}{n}

Dùng để tính khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp được chọn trong mẫu ngẫu nhiên hệ thống (systematic random sample), khi đã biết kích thước tổng thể và kích thước mẫu cần thu thập.

Trong đó

k

khoảng cách hệ thống giữa các phần tử được chọn — phần tử

N

số phần tử trong tổng thể (population size)

n

số phần tử cần chọn vào mẫu (sample size)

x_i = \htmlClass{fp-0}{r} + \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{(i-1)}k}

Dùng để xác định chỉ số của từng phần tử được chọn sau khi đã chọn ngẫu nhiên điểm bắt đầu r và tính được khoảng cách k.

Trong đó

x_i

chỉ số trong tổng thể của phần tử thứ i được chọn vào mẫu

r

điểm khởi đầu ngẫu nhiên, được chọn từ 1 đến k

i

thứ tự phần tử trong mẫu, chạy từ 1 đến n

k

khoảng cách hệ thống giữa hai phần tử liên tiếp được chọn — phần tử

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thập niên 1940 (được dùng trong thực tế từ 1912)Madow và MadowArthur L. Bowley

Cách lấy mẫu theo bước nhảy đều đặn từ một danh sách đã sắp thứ tự được Madow và Madow giới thiệu vào thập niên 1940, nhằm tạo ra mẫu có tính đại diện mà vẫn dễ thực hiện ngoài thực địa hơn so với việc bốc thăm từng phần tử một.

Đầu thế kỷ 20, các nhà thống kê xã hội phải ước lượng đặc điểm của cả một thành phố mà chỉ có trong tay danh sách nhà cửa hoặc danh bạ. Bốc thăm ngẫu nhiên từng cái tên là việc tốn công, nên trong nghiên cứu ở Reading năm 1912, người ta chọn nhà theo một quy tắc đều đặn dọc danh sách; Bowley về sau gọi cách làm đó là một phương pháp lấy mẫu thuần túy và xem nó gần như lấy mẫu phân tầng (stratified sampling). Đến thập niên 1940, Madow và Madow đưa cách làm này vào khuôn khổ lý thuyết, và Madow (1944) cùng các công trình cùng thời đã biến nó thành một thành viên chính thức của họ lấy mẫu xác suất (probability sampling).

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên ghép hai thứ tưởng như đối nghịch. Phần "hệ thống" nói về cơ chế chọn: dân số được sắp theo một trật tự nào đó, rồi cứ cách đều một khoảng $k$ lại lấy một phần tử, với $k = N/n$ trong đó $N$ là kích thước tổng thể và $n$ là kích thước mẫu — đây chính là khoảng cách chọn mẫu (sampling interval), còn gọi là bước nhảy (skip), chẳng hạn "lấy mỗi người thứ 10 trong danh bạ". Phần "ngẫu nhiên" nằm ở chỗ điểm xuất phát không mặc định là tên đầu tiên mà phải được bốc ngẫu nhiên trong $k$ phần tử đầu; nhờ đó mọi phần tử đều có cơ hội được chọn. Vì vậy tên gọi mô tả đúng quy trình: ngẫu nhiên một lần ở đầu, rồi máy móc theo hệ thống cho đến hết danh sách.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Mẫu ngẫu nhiên hệ thống không phải mẫu ngẫu nhiên đơn giản: chỉ điểm xuất phát là ngẫu nhiên.

Nhưng nó vẫn là mẫu xác suất hợp lệ, vẫn suy rộng ra tổng thể được.

Quên nói điểm xuất phát được chọn ngẫu nhiên là mất điểm ở câu mô tả phương pháp.

Bước nhảy $k$ trùng chu kỳ của danh sách sẽ gây thiên lệch nặng.

Đừng nhầm phương pháp này với mẫu phân tầng hay mẫu cụm.

Mẹo phòng thi

Mô tả phương pháp phải đủ ba bước: đánh số, tính bước nhảy $k$ , chọn ngẫu nhiên điểm xuất phát.

Khi đề hỏi ưu và nhược điểm, hãy trả lời bằng hai vế đối xứng.

Trong trắc nghiệm, cụm từ "every $k$ th" là dấu hiệu nhận diện gần như chắc chắn.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học có 1200 học sinh. Danh sách toàn trường được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái và đánh số từ 1 đến 1200. Ban giám hiệu muốn khảo sát ý kiến của 60 học sinh về việc kéo dài giờ nghỉ trưa và quyết định dùng cách lấy mẫu ngẫu nhiên hệ thống.

aHãy mô tả đầy đủ cách chọn ra 60 học sinh theo phương pháp này, nêu rõ bước nhảy và cách xác định điểm xuất phát.
bMỗi học sinh trong trường có cùng khả năng được chọn hay không? Mẫu thu được có phải là mẫu ngẫu nhiên đơn giản không? Giải thích.

1Bước 1: Trước hết ta tính bước nhảy (sampling interval), tức khoảng cách giữa hai đơn vị liên tiếp được chọn trong danh sách. Với cỡ tổng thể

N = 1200

và cỡ mẫu

n = 60

, ta có

k = \frac{N}{n} = \frac{1200}{60} = 20.

Con số này nói rằng danh sách được chia thành 60 khối liên tiếp, mỗi khối gồm 20 học sinh, và từ mỗi khối ta sẽ lấy đúng một người.

2Bước 2: Tiếp theo, điểm xuất phát phải do may rủi quyết định chứ không do người khảo sát tự chọn, nếu không toàn bộ tính ngẫu nhiên sẽ mất. Ta dùng máy tính hoặc bảng số ngẫu nhiên để lấy một số nguyên trong khoảng từ 1 đến 20; giả sử kết quả là 7. Học sinh mang số thứ tự 7 trở thành người đầu tiên của mẫu.

3Bước 3: Từ điểm xuất phát, ta cứ cộng thêm bước nhảy để lấy người kế tiếp, nghĩa là chọn các số thứ tự

7,\ 27,\ 47,\ 67,\dots

Tổng quát, người thứ

j

của mẫu mang số

7 + 20(j-1)

với

j = 1, 2, \dots, 60

, nên người cuối cùng mang số

7 + 20 \times 59 = 1187

. Kiểm tra lại:

(1187 - 7)/20 + 1 = 60

, đúng bằng cỡ mẫu cần có, và mọi số đều nằm trong phạm vi từ 1 đến 1200.

4Bước 4: Về câu hỏi ở ý (b), ta xét trước xác suất của từng cá nhân. Mỗi học sinh nằm trong đúng một khối 20 người và được chọn khi và chỉ khi điểm xuất phát rơi vào vị trí của em trong khối, nên xác suất được chọn của mọi học sinh đều bằng

\frac{1}{20} = \frac{60}{1200} = 0{,}05.

Như vậy phương pháp này đối xử công bằng với từng cá nhân và không ưu ái ai.

5Bước 5: Tuy nhiên, công bằng với từng cá nhân chưa đủ để gọi là mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample). Ở đây toàn bộ mẫu bị khóa chặt bởi một con số duy nhất là điểm xuất phát, nên chỉ có đúng 20 mẫu khả dĩ, trong khi số cách chọn 60 học sinh bất kỳ từ 1200 người là

\binom{1200}{60}

— một con số khổng lồ. Chẳng hạn hai học sinh mang số 7 và 8 không bao giờ cùng có mặt trong mẫu, điều lẽ ra phải có thể xảy ra nếu chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản. Do đó đây là mẫu ngẫu nhiên hệ thống chứ không phải mẫu ngẫu nhiên đơn giản.

Cách làm là chia 1200 học sinh thành 60 khối liên tiếp mỗi khối 20 người ( $k = 20$ ), bốc ngẫu nhiên một số từ 1 đến 20 làm điểm xuất phát (giả sử 7), rồi chọn các học sinh mang số 7, 27, 47, …, 1187. Mỗi học sinh có cùng xác suất $0{,}05$ được chọn, nên mẫu không thiên vị cá nhân nào; nhưng vì chỉ có 20 mẫu khả dĩ và các nhóm 60 học sinh khác không có cơ hội xuất hiện, đây không phải mẫu ngẫu nhiên đơn giản.

2Ví dụ 2/2

Một dây chuyền đóng hộp sữa có bốn máy rót cùng hoạt động, và các hộp đi ra băng chuyền lần lượt theo đúng chu kỳ máy A, máy B, máy C, máy D rồi lặp lại. Trong một ca sản xuất, dây chuyền cho ra 2400 hộp được đánh số theo thứ tự đi qua điểm kiểm tra. Nhân viên kiểm định muốn lấy 300 hộp để đo khối lượng thực tế và chọn cách lấy mẫu ngẫu nhiên hệ thống.

aTính bước nhảy và liệt kê số thứ tự của vài hộp đầu tiên nếu điểm xuất phát ngẫu nhiên là 3.
bGiải thích vì sao mẫu thu được có nguy cơ bị chệch nghiêm trọng, và đề xuất một cách khắc phục.

1Bước 1: Ta tính bước nhảy như thường lệ: với

N = 2400

và

n = 300

thì

k = \frac{2400}{300} = 8.

Nghĩa là cứ 8 hộp đi qua điểm kiểm tra thì nhân viên giữ lại một hộp để cân.

2Bước 2: Với điểm xuất phát ngẫu nhiên là 3, các hộp được giữ lại mang số

3,\ 11,\ 19,\ 27,\ 35,\dots

, tổng quát là

3 + 8(j-1)

với

j = 1,\dots,300

. Hộp cuối cùng mang số

3 + 8 \times 299 = 2395

, vẫn nằm trong ca sản xuất, và

(2395-3)/8 + 1 = 300

đúng bằng cỡ mẫu yêu cầu.

3Bước 3: Bây giờ ta đối chiếu các số vừa chọn với chu kỳ bốn máy. Hộp mang số thứ tự

i

do máy nào rót phụ thuộc vào phần dư của

i

khi chia cho 4: dư 1 là máy A, dư 2 là máy B, dư 3 là máy C, dư 0 là máy D. Vì

3 \equiv 3

11 \equiv 3

19 \equiv 3 \pmod 4

— và nói chung

3 + 8(j-1)

luôn có phần dư 3 do 8 là bội của 4 — nên toàn bộ 300 hộp trong mẫu đều do máy C rót.