Đang tải bài học…

AP Statistics

sai số chọn mẫu

sampling error

Sai số chọn mẫu là chênh lệch giữa trị số tính từ mẫu và tham số thật của tổng thể, do mẫu không phản ánh hoàn hảo tổng thể.

Khi nghiên cứu một tổng thể lớn, ta thường chỉ thu thập dữ liệu (data) từ một mẫu, tức một bộ phận nhỏ được chọn ra để đại diện. Vì mẫu không bao giờ là bản sao hoàn hảo của tổng thể, trị số tính được từ mẫu sẽ luôn lệch khỏi tham số thực của tổng thể một lượng nào đó. Lượng lệch đó chính là sai số chọn mẫu (sampling error), và nó hiện diện trong mọi cuộc khảo sát có dùng mẫu. Thậm chí, kể cả khi việc chọn mẫu được thực hiện hoàn toàn ngẫu nhiên và không có bất kỳ sai sót nào về thủ tục, sai số này vẫn tồn tại.

Điều quan trọng cần hiểu là sai số chọn mẫu không đồng nghĩa với "lỗi" của người nghiên cứu, mà là biến động tự nhiên giữa các mẫu khác nhau được rút từ cùng một tổng thể và hoàn toàn có thể mô tả bằng xác suất. Do đó, nếu gọi $\bar{x}$ là trung bình mẫu và $\mu$ là trung bình tổng thể, sai số chọn mẫu được tính là $\bar{x} - \mu$ ; con số này cho biết ước lượng từ mẫu cao hơn hay thấp hơn giá trị thực bao nhiêu. Tương tự, với tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ và tỉ lệ tổng thể $p$ , sai số là $\hat{p} - p$ .

Sai số chọn mẫu có xu hướng giảm khi cỡ mẫu tăng, vì mẫu lớn hơn nắm bắt sự đa dạng của tổng thể tốt hơn. Tuy nhiên, nó không thể bị triệt tiêu hoàn toàn chừng nào ta vẫn dùng mẫu thay vì điều tra toàn bộ. Ngược lại, cần phân biệt sai số này với sai lệch (bias): sai lệch xuất phát từ khuyết điểm trong thiết kế hay thực hiện nghiên cứu, còn sai số chọn mẫu tồn tại ngay cả khi mọi thủ tục đều được làm đúng. Nhờ hiểu rõ sự khác biệt đó, ta mới có thể đánh giá đúng mức độ tin cậy của các kết luận rút ra từ dữ liệu mẫu.

Ký hiệu

\bar{x} - \mu

hoặc

\hat{p} - p

Trực giác: Dù múc bao nhiêu muỗng canh để nếm thử, vị trong muỗng cũng không bao giờ giống hệt vị cả nồi — khoảng cách nhỏ đó chính là sai số chọn mẫu.

Công thức

e = \htmlClass{fp-0}{\hat{\theta}} - \htmlClass{fp-1}{\theta}

Dùng khi cần đo khoảng cách giữa một số đo thống kê của mẫu và số đo tương ứng của tổng thể; áp dụng cho cả tỷ lệ, trung bình hay bất kỳ đại lượng ước lượng nào.

Trong đó

e

sai số chọn mẫu (sampling error)

\hat{\theta}

số đo thống kê từ mẫu (sample statistic)

\theta

tham số của tổng thể (population parameter)

\htmlClass{fp-0}{\hat{p}} - \htmlClass{fp-1}{p}

Dùng khi đang làm việc với biến định tính hai phân loại và cần biết mẫu ước tính tỷ lệ tổng thể chệch đi bao nhiêu.

Trong đó

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1895–1934Anders KiaerRonald A. FisherJerzy Neyman

Khái niệm sai số chọn mẫu hình thành cùng với phong trào dùng mẫu ngẫu nhiên để thay cho tổng điều tra, khởi đầu từ công bố năm 1895 của Anders Kiaer và được đặt trên nền lý thuyết vững chắc bởi Ronald A. Fisher và Jerzy Neyman trong những thập niên sau đó.

Trước cuối thế kỷ 19, muốn biết một con số về cả dân cư thì người ta phải đếm hết. Năm 1895, Anders Kiaer, người sáng lập cơ quan thống kê Na Uy, công bố một cách thu thập dữ liệu chỉ trên một phần dân số, chọn theo quy tắc có phân tầng và có yếu tố ngẫu nhiên ở khâu cuối. Phần lớn các nhà thống kê đương thời không chấp nhận, vì ước lượng ấy không đến từ toàn bộ tổng thể. Phải mất khoảng năm mươi năm, với đóng góp của Ronald A. Fisher và Jerzy Neyman, mới có một lý thuyết đánh giá được ước lượng từ mẫu ngẫu nhiên. Năm 1934, Neyman chứng minh chọn mẫu ngẫu nhiên phân tầng (stratified random sampling) nói chung tốt hơn chọn mẫu theo hạn ngạch. Nhờ đó, mẫu nhỏ mà ngẫu nhiên trở thành công cụ chính thống.

Thử nghiệm tương tác

Rút một mẫu, đọc khoảng lệch — rồi rút hai trăm mẫu và kéo cỡ mẫu lên

Hay hiểu sai

Sai số chọn mẫu không phải là làm sai kỹ thuật.

Tăng cỡ mẫu làm giảm sai số chọn mẫu nhưng không xóa được sai lệch hệ thống (bias).

Biên độ sai số (margin of error) chỉ bao được sai số chọn mẫu, không bao được người từ chối trả lời.

Điều tra toàn bộ tổng thể thì không còn sai số chọn mẫu.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Hồ sơ của một học khu gồm 24 000 học sinh cho biết chính xác 62% học sinh ăn sáng tại trường, tức tỉ lệ tổng thể là

p = 0{,}62

. Một nhóm nghiên cứu chọn một mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample) gồm 150 học sinh và ghi nhận 87 em ăn sáng tại trường.

aTính tỉ lệ mẫu và sai số chọn mẫu của mẫu này.
bKiểm tra các điều kiện rồi tính độ lệch chuẩn của phân bố mẫu của $\hat{p}$ . Sai số ở câu (a) có phải là dấu hiệu bất thường không?
cNếu nhóm nghiên cứu lặp lại khảo sát với cỡ mẫu 600 học sinh thì sai số chọn mẫu điển hình thay đổi thế nào?

1Bước 1:

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Chọn mẫu ngẫu nhiên” — khoá AP Statistics

Cần trướcmẫu tham số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

thiên lệch lựa chọnselection bias

Khác nhau ở đâuSai số chọn mẫu là sai khác ngẫu nhiên do may rủi khi rút mẫu, còn thiên lệch lựa chọn là sai lệch hệ thống do cách chọn mẫu không ngẫu nhiên.

Hay nhầm khiHay nhầm khi đề thi mô tả một nhóm đối tượng bị bỏ sót hệ thống nhưng lại gán cho nguyên nhân là 'sai số chọn mẫu'.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 242, 268, 335.

\hat{p}

tỷ lệ mẫu (sample proportion)

p

tỷ lệ tổng thể (population proportion)

\htmlClass{fp-0}{\bar{x}} - \htmlClass{fp-1}{\mu}

Dùng khi đang làm việc với biến định lượng và cần xác định mẫu ước tính trung bình tổng thể lệch ra sao.

Trong đó

\bar{x}

trung bình mẫu (sample mean)

\mu

trung bình tổng thể (population mean)

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên dễ gây hiểu lầm, vì trong tiếng Việt "sai số" khiến người ta nghĩ ai đó đã làm sai. Thực ra chữ "sai số" ở đây chỉ độ chênh giữa giá trị thật của tham số tổng thể (population parameter) và ước lượng tính từ mẫu, và độ chênh này xuất hiện chỉ vì mẫu chứa một phần chứ không phải toàn bộ các giá trị trong tổng thể. Định ngữ "chọn mẫu" chính là lời giải thích cho nguyên nhân: sai số sinh ra từ hành động lấy mẫu, không từ sự cẩu thả của người khảo sát. Cũng vì vậy mà thuật ngữ này được đặt đối lập với sai số phi chọn mẫu (non-sampling error) — loại sai lệch đến từ lỗi phương pháp, thiên lệch chọn lựa hay xử lý dữ liệu, và không thể giảm bớt bằng cách tăng cỡ mẫu.

Rút một mẫu, đọc khoảng lệch — rồi rút hai trăm mẫu và kéo cỡ mẫu lên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Phải nêu rõ: biên độ sai số không tính đến sai lệch do không hồi đáp.

Câu hỏi về tăng cỡ mẫu phải trả lời tách bạch hai vế: dao động giảm, thiên lệch giữ nguyên.

Đừng dùng chữ "error" như một lời buộc tội trong bài tự luận.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Phân biệt rõ hai con số trước khi tính. Tham số (parameter) là

p = 0{,}62

, đây là con số cố định mô tả toàn bộ 24 000 học sinh. Thống kê là tỉ lệ tính từ mẫu:

\hat{p} = 87/150 = 0{,}58

. Vì mẫu chỉ là một phần nhỏ của tổng thể nên hai con số này gần như không bao giờ trùng nhau.

2Bước 2: Sai số chọn mẫu chính là khoảng cách giữa thống kê và tham số:

\hat{p} - p = 0{,}58 - 0{,}62 = -0{,}04.

Dấu âm cho biết mẫu này ước lượng thấp hơn sự thật 4 điểm phần trăm. Đây không phải lỗi của người khảo sát mà là hệ quả tất yếu của việc chỉ quan sát 150 trong số 24 000 học sinh.

3Bước 3: Kiểm tra điều kiện để mô tả sai số này bằng xác suất. Mẫu được chọn ngẫu nhiên nên điều kiện ngẫu nhiên thỏa mãn;

150 \le 0{,}10 \times 24\,000 = 2400

nên điều kiện 10% thỏa mãn;

np = 150(0{,}62) = 93 \ge 10

và

n(1-p) = 150(0{,}38) = 57 \ge 10

nên điều kiện đếm lớn cũng thỏa mãn.

4Bước 4: Độ lệch chuẩn của phân bố mẫu (sampling distribution) của

\hat{p}

là

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}62 \times 0{,}38}{150}} = \sqrt{0{,}0015707} \approx 0{,}0396.

Con số này cho biết sai số chọn mẫu điển hình vào khoảng 4 điểm phần trăm. So sánh:

z = \dfrac{-0{,}04}{0{,}0396} \approx -1{,}01

, tức mẫu này chỉ lệch khoảng một độ lệch chuẩn (standard deviation) so với tâm, hoàn toàn nằm trong dao động thường gặp.

5Bước 5: Với

n = 600

, ta có

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0{,}62 \times 0{,}38}{600}} = \sqrt{0{,}0003927} \approx 0{,}0198.

Cỡ mẫu tăng gấp 4 lần thì độ lệch chuẩn giảm đi

\sqrt{4} = 2

lần, nên sai số chọn mẫu điển hình chỉ còn khoảng một nửa. Tuy vậy nó không bao giờ về 0, vì chừng nào còn lấy mẫu thì các mẫu khác nhau vẫn cho các kết quả khác nhau.

Mẫu cho $\hat{p} = 0{,}58$ , tức sai số chọn mẫu là $-0{,}04$ : mẫu này ước lượng thấp hơn tỉ lệ thật 4 điểm phần trăm. Vì sai số chọn mẫu điển hình là khoảng $0{,}0396$ và mẫu chỉ lệch chừng một độ lệch chuẩn, kết quả này hoàn toàn bình thường chứ không phản ánh sai sót nào trong cách khảo sát. Khi tăng cỡ mẫu lên 600, sai số chọn mẫu điển hình giảm còn khoảng $0{,}0198$ , nghĩa là các tỉ lệ mẫu bám sát $0{,}62$ hơn — cỡ mẫu lớn làm sai số chọn mẫu nhỏ đi nhưng không loại bỏ được nó.

2Ví dụ 2/2

Một tờ báo mạng đăng thăm dò trực tuyến với câu hỏi "Bạn có ủng hộ dự án xây cầu mới không?" và mời độc giả bấm chọn. Sau một tuần có 12 000 lượt trả lời, trong đó 71% ủng hộ. Ba tháng sau, cuộc trưng cầu ý dân chính thức của thành phố cho thấy tỉ lệ ủng hộ thật sự trong toàn bộ cử tri là 48%.

aChênh lệch 23 điểm phần trăm giữa kết quả thăm dò và sự thật có thể giải thích bằng sai số chọn mẫu được không?
bNếu tờ báo để cuộc thăm dò chạy thêm và thu được 100 000 lượt trả lời thì ước lượng có chính xác hơn không?

1Bước 1: Tính chênh lệch quan sát được:

0{,}71 - 0{,}48 = 0{,}23

. Muốn biết con số này có thể do dao động ngẫu nhiên gây ra hay không, ta thử giả định — dù giả định này rất đáng ngờ — rằng 12 000 người trả lời là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể cử tri.

2Bước 2: Dưới giả định đó, độ lệch chuẩn của

\hat{p}

là

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0{,}48 \times 0{,}52}{12\,000}} = \sqrt{0{,}0000208} \approx 0{,}00456.

Nghĩa là các mẫu ngẫu nhiên cỡ này lẽ ra chỉ dao động quanh

0{,}48

chừng nửa điểm phần trăm.

3Bước 3: So sánh chênh lệch với dao động điển hình:

z = \dfrac{0{,}23}{0{,}00456} \approx 50

. Một kết quả nằm cách tâm tới 50 độ lệch chuẩn thực tế không thể xảy ra do may rủi. Vì vậy chênh lệch này không phải sai số chọn mẫu mà là sai số phi chọn mẫu (nonsampling error), cụ thể là thiên lệch do trả lời tự nguyện (voluntary response bias): những người có ý kiến mạnh mới chịu bấm vào bình chọn, còn cử tri thờ ơ thì không.

4Bước 4: Với 100 000 lượt trả lời, công thức trên cho

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0{,}48 \times 0{,}52 / 100\,000} \approx 0{,}00158

, tức dao động ngẫu nhiên còn nhỏ hơn nữa. Nhưng cách chọn người trả lời vẫn y như cũ, nên tỉ lệ ủng hộ vẫn tiếp tục quanh quẩn ở mức 71%. Cỡ mẫu lớn chỉ thu hẹp sai số chọn mẫu chứ không sửa được cái lệch có hệ thống trong cách thu thập dữ liệu.

Chênh lệch 23 điểm phần trăm quá lớn so với dao động ngẫu nhiên khoảng 0,5 điểm phần trăm, nên không thể quy cho sai số chọn mẫu; nguyên nhân là thiên lệch do độc giả tự chọn tham gia thăm dò. Do đó tăng số lượt trả lời lên 100 000 chỉ khiến kết quả sai lệch một cách ổn định hơn chứ không đúng hơn. Muốn ước lượng đáng tin về tỉ lệ cử tri ủng hộ, tờ báo phải chọn mẫu ngẫu nhiên từ danh sách cử tri, khi đó phần sai số còn lại mới là sai số chọn mẫu và mới mô tả được bằng xác suất.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.