Đang tải bài học…

AP Statistics

sai số biên

margin of error

Còn gọi: maximum error of estimate

Sai số biên là nửa độ rộng của khoảng tin cậy, đo lượng sai lệch tối đa có thể chấp nhận giữa ước lượng điểm và tham số thực của tổng thể.

Khi nhà thống kê dùng một thống kê mẫu để ước lượng một tham số tổng thể, họ không thể kỳ vọng kết quả hoàn toàn chính xác. Do đó, thay vì chỉ báo cáo một con số duy nhất, họ xây dựng một khoảng tin cậy (confidence interval) xung quanh ước lượng điểm đó. Sai số biên chính là phần "cộng trừ" tạo nên khoảng ấy, và được tính theo công thức

$E = z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

trong đó $z^*$ là giá trị tới hạn ứng với mức tin cậy đã chọn, $\sigma$ là độ lệch chuẩn (standard deviation) của tổng thể, và $n$ là cỡ mẫu. Công thức này nói rằng sai số biên bằng tích của giá trị tới hạn và sai số chuẩn của thống kê.

Sai số biên phụ thuộc vào ba yếu tố theo những chiều ngược nhau. Mức tin cậy càng cao thì $z^*$ càng lớn, khiến sai số biên tăng lên — ta đổi độ chính xác lấy độ chắc chắn. Ngược lại, cỡ mẫu $n$ càng lớn thì sai số biên càng nhỏ, vì $\sqrt{n}$ nằm ở mẫu số. Nhờ đó, muốn giảm sai số biên xuống một nửa mà không thay đổi mức tin cậy, cần tăng cỡ mẫu lên bốn lần.

Trong thực hành, sai số biên xuất hiện trong mọi dạng khoảng tin cậy ở chương trình AP: ước lượng tỉ lệ tổng thể, ước lượng trung bình tổng thể, hay hiệu hai tham số. Khoảng tin cậy luôn có dạng $\hat{\theta} \pm E$ , nghĩa là ước lượng điểm $\hat{\theta}$ cộng hoặc trừ sai số biên $E$ . Vì vậy, hiểu sai số biên là hiểu được cả chiều rộng lẫn ý nghĩa của khoảng tin cậy.

Ký hiệu

E = z^* \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

hoặc

E = t^* \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}

khi không biết

\sigma

Trực giác: Sai số biên giống như bán kính vùng dao động dự kiến quanh con số ước lượng từ mẫu: nếu lặp lại khảo sát với nhiều mẫu khác nhau, các kết quả sẽ rơi rải rác trong vùng đó, phản ánh sự bất định do chỉ quan sát một phần tổng thể chứ không phải ngưỡng chấp nhận được.

Công thức

ME = \htmlClass{fp-0}{z^*} \cdot \htmlClass{fp-2}{\frac{\sigma}{\htmlClass{fp-1}{\sqrt{n}}}}

Dùng khi xây dựng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể với độ lệch chuẩn tổng thể đã biết; ME cho biết ước lượng điểm có thể lệch khỏi tham số thực tối đa bao nhiêu.

Trong đó

ME

sai số biên (margin of error) — khoảng dao động tối đa của ước lượng

z^*

giá trị tới hạn (critical value) tương ứng với mức tin cậy đã chọn

\sigma

độ lệch chuẩn của tổng thể

n

cỡ mẫu

ME = t^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

khoảng 1855–1860Jerzy Neyman — được một số tài liệu ghi nhận công hình thức hoá ý tưởng

Cụm từ "margin of error" được ghi nhận trong tiếng Anh vào khoảng 1855–1860, và trở nên phổ biến khi báo chí cần một con số diễn tả mức sai lệch của các cuộc thăm dò dựa trên mẫu.

Khi việc điều tra toàn bộ dân số là bất khả thi, người ta lấy mẫu rồi suy ra cho tổng thể — nhưng mỗi mẫu lại cho một kết quả hơi khác nhau. Câu hỏi thực tế đặt ra là: kết quả thăm dò lệch khỏi sự thật bao nhiêu thì còn chấp nhận được? Sai số biên ra đời như một cách gói toàn bộ nỗi lo ấy vào một con số duy nhất đi kèm ước lượng, cho biết sai số lấy mẫu ngẫu nhiên (random sampling error) có thể lớn cỡ nào. Nhờ đó, khi đọc một tỉ lệ ủng hộ trong khảo sát, công chúng hiểu rằng con số ấy là một khoảng chứ không phải một điểm. Nguồn gốc chính xác của thuật ngữ vẫn chưa rõ, và một số nghiên cứu cho rằng chính các nhà báo là người đặt ra nó để mô tả mức sai lệch của mẫu.

Thử nghiệm tương tác

Kéo cỡ mẫu và mức tin cậy — nhìn nửa bề rộng của thanh co giãn

Hay hiểu sai

Sai số biên không phải độ lệch chuẩn của mẫu.

Có độ lệch chuẩn mẫu thì dùng $t^\star$ , không dùng $1.96$ .

Sai số biên 5% không có nghĩa 95% cử tri chọn trong khoảng 42%–52%.

Giảm sai số biên một nửa cần cỡ mẫu gấp bốn, không phải gấp đôi.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà báo khảo sát một mẫu ngẫu nhiên gồm 900 người trưởng thành tại Mỹ và ghi nhận có 60% số người được hỏi ủng hộ việc tăng mức lương tối thiểu theo giờ. Bản tin cho biết ước lượng này có sai số biên là 2,7 điểm phần trăm. Giả sử mọi điều kiện suy luận thống kê đều được thỏa mãn.

aViết khoảng tin cậy tương ứng và diễn giải ý nghĩa của nó trong ngữ cảnh bài toán.
bMức tin cậy mà nhà báo đã dùng gần nhất với giá trị nào?
cNếu muốn sai số biên chỉ còn 1,35 điểm phần trăm mà vẫn giữ nguyên mức tin cậy, cần khảo sát bao nhiêu người?

1Bước 1: Trước hết cần nhớ rằng khoảng tin cậy (confidence interval) luôn có dạng "ước lượng điểm cộng trừ sai số biên". Ở đây tỉ lệ mẫu là

\hat{p}=0{,}60

và sai số biên là

0{,}027

, nên khoảng ước lượng là

0{,}60 \pm 0{,}027

, tức là từ

0{,}573

đến

0{,}627

. Diễn giải đúng phải nói về tỉ lệ của toàn bộ dân số chứ không phải về 900 người trong mẫu: ta tin cậy rằng tỉ lệ thật của tất cả người trưởng thành ở Mỹ ủng hộ tăng lương tối thiểu nằm trong khoảng từ 57,3% đến 62,7%.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikhoảng tin cậy

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

sai số chuẩnstandard error

Khác nhau ở đâuSai số chuẩn đo mức dao động tự nhiên của thống kê mẫu, còn sai số biên đã nhân thêm giá trị tới hạn để phản ánh mức độ tin cậy mong muốn

Hay nhầm khiđề hỏi 'chiều rộng khoảng tin cậy thay đổi thế nào khi cỡ mẫu tăng' — thí sinh dễ trả lời bằng công thức sai số chuẩn mà quên mất hệ số tới hạn

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 37, 49, 63.

Dùng khi độ lệch chuẩn tổng thể chưa biết và phải ước lượng bằng độ lệch chuẩn mẫu s; phân phối t thay thế phân phối chuẩn để bù cho sự không chắc chắn thêm đó.

Trong đó

t^*

giá trị tới hạn theo phân phối t với bậc tự do n−1

s

độ lệch chuẩn mẫu, dùng thay σ khi σ chưa biết

n

cỡ mẫu

ME = z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Dùng khi ước lượng tỉ lệ tổng thể; sai số chuẩn lúc này phụ thuộc vào chính tỉ lệ mẫu thay vì độ lệch chuẩn đo bằng đơn vị gốc.

Trong đó

\hat{p}

tỉ lệ mẫu, dùng để ước lượng tỉ lệ tổng thể

1-\hat{p}

tỉ lệ bổ sung, cùng với p̂ tạo thành phương sai nhị thức

n

cỡ mẫu

Vì sao mang đúng cái tên này? Trong tiếng Anh, "margin" nghĩa là lề, khoảng dư ra ở mép; "margin of error" vì vậy là phần dư dành sẵn cho sai sót. Tên gọi phản ánh đúng cách dùng: người ta không khẳng định con số ước lượng là chính xác tuyệt đối mà chừa ra một khoảng lề hai bên. Cách dịch tiếng Việt "sai số biên" giữ nguyên hình ảnh đó — biên là mép, là ranh giới của khoảng tin cậy (confidence interval).

Kéo cỡ mẫu và mức tin cậy — nhìn nửa bề rộng của thanh co giãn

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Bài tìm cỡ mẫu luôn làm tròn LÊN, và phải chọn số thỏa mãn bất đẳng thức.

Đề hỏi ngược "mức tin cậy là bao nhiêu" thì lấy sai số biên chia cho sai số chuẩn.

Câu diễn giải phải có đủ mức tin cậy, tham số quần thể và ngữ cảnh của đề.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Để tìm mức tin cậy, ta đi ngược từ công thức

ME = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}

. Phần căn thức chính là sai số chuẩn (standard error) của tỉ lệ mẫu, và nó chỉ phụ thuộc vào

\hat{p}

với

n

\sqrt{\frac{0{,}60 \times 0{,}40}{900}} = \sqrt{0{,}0002667} \approx 0{,}01633

Con số

0{,}01633

cho biết tỉ lệ mẫu thường lệch khỏi tỉ lệ thật khoảng 1,6 điểm phần trăm.

3Bước 3: Chia sai số biên cho sai số chuẩn, ta lấy được giá trị tới hạn (critical value) mà nhà báo đã dùng:

z^{*} = \frac{0{,}027}{0{,}01633} \approx 1{,}65

Tra bảng chuẩn tắc,

P(Z < 1{,}65) \approx 0{,}9505

, nên phần diện tích nằm giữa

-1{,}65

và

1{,}65

xấp xỉ

2(0{,}9505) - 1 = 0{,}901

. Vì vậy mức tin cậy gần nhất là 90%, chứ không phải 95% như nhiều người mặc định.

4Bước 4: Ở ý (c), hãy để ý rằng

n

nằm dưới dấu căn nên sai số biên tỉ lệ nghịch với

\sqrt{n}

. Muốn sai số biên giảm một nửa thì

\sqrt{n}

phải tăng gấp đôi, tức là

n

phải tăng gấp bốn:

4 \times 900 = 3600

người. Kiểm chứng lại:

1{,}65\sqrt{0{,}24/3600} = 1{,}65(0{,}008165) \approx 0{,}0135

, đúng bằng 1,35 điểm phần trăm như yêu cầu.

Khoảng tin cậy là $(0{,}573;\ 0{,}627)$ , nghĩa là ta tin cậy 90% rằng tỉ lệ thật của người trưởng thành Mỹ ủng hộ tăng lương tối thiểu nằm trong khoảng 57,3% đến 62,7%. Mức tin cậy nhà báo dùng xấp xỉ 90%, và để rút sai số biên xuống còn một nửa với cùng mức tin cậy đó, cỡ mẫu phải tăng gấp bốn lần, tức 3600 người.

2Ví dụ 2/2

Một công ty chọn ngẫu nhiên 10 nhân viên để ước lượng thời gian đi làm trung bình (một chiều) của toàn bộ nhân viên. Mẫu này cho trung bình 38 phút với độ lệch chuẩn 6 phút. Giả sử mọi điều kiện suy luận thống kê đều được thỏa mãn.

aTính sai số biên của khoảng tin cậy 95% cho thời gian đi làm trung bình của toàn công ty.
bViết khoảng tin cậy và diễn giải kết quả trong ngữ cảnh.
cGiải thích vì sao ở đây phải dùng phân phối t chứ không dùng phân phối chuẩn tắc.

1Bước 1: Vì độ lệch chuẩn của dân số không biết, ta thay nó bằng độ lệch chuẩn mẫu

s = 6

và tính sai số chuẩn của trung bình mẫu:

\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{10}} \approx 1{,}897

Con số này nói rằng nếu lặp lại việc lấy mẫu 10 người nhiều lần, các trung bình mẫu sẽ dao động quanh trung bình thật với biên độ điển hình khoảng 1,9 phút.

2Bước 2: Bậc tự do (degrees of freedom) của bài toán là

df = n - 1 = 9

, và với mức tin cậy 95% thì giá trị tới hạn tra được là

t^{*} = 2{,}262

. Nhân hai thành phần lại, ta có sai số biên:

ME = t^{*}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}262 \times 1{,}897 \approx 4{,}29

Vậy sai số biên xấp xỉ 4,29 phút.

3Bước 3: Lấy trung bình mẫu cộng trừ sai số biên:

38 \pm 4{,}29

, tức khoảng từ

33{,}71

đến

42{,}29

phút. Cách diễn giải đúng là nói về tham số của dân số: ta tin cậy 95% rằng thời gian đi làm trung bình thật của tất cả nhân viên công ty nằm trong khoảng 33,71 đến 42,29 phút. Ngược lại, những câu như "95% nhân viên đi làm mất từ 33,71 đến 42,29 phút" là sai, vì khoảng này ước lượng trung bình chứ không mô tả từng cá nhân.

4Bước 4: Cuối cùng, việc dùng

t^{*}

thay cho

z^{*}

xuất phát từ chỗ ta đã thay đại lượng chưa biết

\sigma

bằng

s

tính từ mẫu. Sự thay thế đó tạo thêm một tầng biến động, nên phân phối t có đuôi dày hơn và cho giá trị tới hạn lớn hơn (

2{,}262

so với

1{,}960

), khiến khoảng tin cậy rộng ra một cách hợp lý. Cỡ mẫu càng nhỏ thì khoảng cách giữa hai giá trị này càng rõ; với

n = 10

thì sự khác biệt đã đủ lớn để không được phép bỏ qua.

Sai số biên của khoảng tin cậy 95% xấp xỉ 4,29 phút, cho khoảng ước lượng $(33{,}71;\ 42{,}29)$ . Ta tin cậy 95% rằng thời gian đi làm trung bình một chiều của toàn bộ nhân viên công ty nằm trong khoảng 33,71 phút đến 42,29 phút, và phải dùng phân phối t vì độ lệch chuẩn của dân số không biết mà cỡ mẫu lại nhỏ.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.