AP Statistics

độ tin cậy

confidence level

Còn gọi: mức tin cậy · confidence · C% · mức C% · mức tin cậy · mức độ tin cậy

Độ tin cậy (confidence level) là xác suất để quy trình xây dựng khoảng ước lượng tạo ra một khoảng thực sự chứa tham số tổng thể cần ước lượng.

Khi nhà thống kê xây dựng một khoảng ước lượng, họ không biết tham số tổng thể có nằm trong khoảng đó không. Điều có thể kiểm soát được là chất lượng của quy trình: nếu lặp lại lấy mẫu nhiều lần và mỗi lần đều áp dụng cùng một phương pháp, thì độ tin cậy $C$ cho biết tỉ lệ phần trăm các khoảng được tạo ra sẽ thực sự bao phủ tham số thật. Ví dụ, với $C = 0{,}95$ , khoảng được gọi là khoảng tin cậy 95%.

Công thức tổng quát của một khoảng tin cậy cho tham số $\theta$ là:

$\hat{\theta} \pm z^* \cdot SE$

trong đó $\hat{\theta}$ là ước lượng điểm từ mẫu, $z^*$ là giá trị tới hạn (critical value) tương ứng với mức $C$ , và $SE$ là sai số chuẩn (standard error) của ước lượng. Giá trị $z^*$ được tra từ phân phối chuẩn sao cho diện tích phần giữa hai đuôi đúng bằng $C$ .

Do đó, độ tin cậy và độ rộng khoảng ước lượng có quan hệ trực tiếp: tăng $C$ thì $z^*$ tăng, khoảng rộng hơn. Ngược lại, tăng cỡ mẫu $n$ thì $SE$ giảm, nhờ đó khoảng hẹp hơn mà vẫn giữ nguyên $C$ . Vì vậy, để có khoảng vừa hẹp vừa đáng tin cậy, cách duy nhất là tăng cỡ mẫu.

Ký hiệu

C

C\%

, thường là

0{,}90

0{,}95

hoặc

0{,}99

Trực giác: Nếu in ra một nghìn tờ lịch dự báo thời tiết theo cùng một phương pháp, và 950 tờ dự đúng thực tế, thì phương pháp đó đạt độ tin cậy 95%.

Công thức

\text{CL} = \htmlClass{fp-1}{1 - \htmlClass{fp-0}{\alpha}}

Dùng khi cần xác định mức độ tin cậy gắn với một khoảng ước lượng: nếu alpha = 0.05 thì độ tin cậy là 0.95, nghĩa là 95% các khoảng được tạo ra theo quy trình này sẽ chứa tham số tổng thể thực sự.

Trong đó

\text{CL}

độ tin cậy — xác suất để quy trình tạo ra khoảng chứa tham số thực

\alpha

mức ý nghĩa (significance level) — xác suất khoảng ước lượng KHÔNG chứa tham số thực

Khái niệm này sinh ra từ đâu

đầu thập niên 1930 (thuật ngữ xuất hiện trong bài báo năm 1934, trình bày đầy đủ năm 1937)Jerzy Neyman (1894–1980)Egon Pearson (1895–1980)

Ý tưởng về khoảng tin cậy (confidence interval) — và con số độ tin cậy gắn kèm nó — hình thành vào đầu thập niên 1930, do nhà thống kê Ba Lan–Mỹ Jerzy Neyman phát triển cùng Egon Pearson, nhằm đo lường mức độ bất định của một ước lượng từ mẫu.

Khi chỉ quan sát được một tập con lấy ngẫu nhiên từ tổng thể, người làm thống kê luôn vướng một câu hỏi khó: kết quả tính từ mẫu đáng tin đến đâu? Trước thập niên 1930, cách trả lời phổ biến là kiểm định giả thuyết (hypothesis testing), tức chỉ phán bác bỏ hay không bác bỏ một mệnh đề. Cách làm đó không cho biết tham số thật nằm trong vùng nào. Các phương pháp tính khoảng cho tỉ lệ nhị thức đã xuất hiện từ thập niên 1920, nhưng phải đến đầu những năm 1930 ý tưởng tổng quát mới thành hình, và bản trình bày đầy đủ đầu tiên được Neyman công bố năm 1937. Từ đó khoảng tin cậy lan sang kinh tế, tài chính, y học và khoa học xã hội.

Thử nghiệm tương tác

Rút 100 mẫu — đếm xem bao nhiêu thanh bắt trúng đường tham số thật

Hay hiểu sai

Độ tin cậy 95% không phải xác suất tham số nằm trong khoảng vừa tính được.

Con số 95% không nói gì về tỉ lệ dữ liệu hay tỉ lệ mẫu rơi vào khoảng.

Giải thích độ tin cậy và giải thích khoảng tin cậy là hai câu hỏi khác nhau.

Nâng độ tin cậy lên 99% không làm ước lượng chính xác hơn, chỉ làm khoảng rộng ra.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một kỹ sư nông nghiệp chọn ngẫu nhiên 30 nông trại trên toàn nước Mỹ và đo diện tích của từng nông trại (đơn vị: acre). Từ mẫu này, ông xây dựng một khoảng tin cậy (confidence interval) 95% cho diện tích trung bình của tất cả các nông trại ở Mỹ và thu được kết quả

(367,\ 558)

aHãy nêu cách diễn giải đúng của mức độ tin cậy 95% trong bối cảnh này.
bMột học sinh phát biểu: "Có 95% số nông trại ở Mỹ có diện tích nằm trong khoảng từ 367 đến 558 acre." Hãy chỉ ra chỗ sai và nêu cách diễn giải đúng cho riêng khoảng $(367,\ 558)$ .

1Bước 1: Xác định rõ đại lượng đang được ước lượng. Ở đây tham số (parameter) cần ước lượng là

\mu

— diện tích trung bình của toàn bộ nông trại ở Mỹ, chứ không phải

\bar{x}

của 30 nông trại trong mẫu. Giá trị

\mu

là một con số cố định nhưng ta không biết, còn khoảng

(367,\ 558)

mới là thứ thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể” — khoá AP Statistics

Cần trướctham số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mức ý nghĩasignificance level

Khác nhau ở đâuĐộ tin cậy đo mức chắc chắn trong ước lượng khoảng, còn mức ý nghĩa đặt ngưỡng sai lầm loại I trong kiểm định giả thuyết.

Hay nhầm khiĐề cho độ tin cậy 95% và yêu cầu tìm α cho kiểm định hai phía; học sinh nhầm hai khái niệm và chia đôi 95% thay vì lấy α = 0.05.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 64, 73, 335.

2Ví dụ 2/2

Trong một cuộc khảo sát, người ta chọn ngẫu nhiên

400

cử tri của một thành phố lớn và thấy có

240

người ủng hộ dự án xây công viên mới. Thành phố có hơn

200\,000

cử tri.

aKiểm tra các điều kiện và lập khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ cử tri toàn thành phố ủng hộ dự án.
bLập lại khoảng với độ tin cậy 99% và so sánh độ rộng của hai khoảng.
cGiải thích ý nghĩa của mức 99% vừa dùng.

1Bước 1: Tính tỉ lệ mẫu và kiểm tra điều kiện. Ta có

\hat{p} = 240/400 = 0{,}60

. Mẫu là ngẫu nhiên; kích thước mẫu

400

nhỏ hơn

10\%

của hơn

200\,000

cử tri; và

n\hat{p} = 240 \ge 10

n(1-\hat{p}) = 160 \ge 10

. Cả ba điều kiện đều thỏa nên phân bố mẫu của

\hat{p}

xấp xỉ chuẩn và ta được phép dùng khoảng dạng

z

2Bước 2: Tính sai số chuẩn rồi lập khoảng 95%. Ta có

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{(0{,}6)(0{,}4)}{400}} = \sqrt{0{,}0006} \approx 0{,}02449.

Con số này đo mức dao động điển hình của

\hat{p}

quanh tỉ lệ thật. Với độ tin cậy 95%, giá trị tới hạn (critical value) là

z^{*} = 1{,}96

, nên sai số biên bằng

1{,}96 \times 0{,}02449 \approx 0{,}0480

và khoảng là

0{,}600 \pm 0{,}048 = (0{,}552;\ 0{,}648)

3Bước 3: Đổi độ tin cậy lên 99% và tính lại. Lúc này

z^{*} = 2{,}576

, sai số biên bằng

2{,}576 \times 0{,}02449 \approx 0{,}0631

, cho khoảng

0{,}600 \pm 0{,}063 = (0{,}537;\ 0{,}663)

. Độ rộng của khoảng 95% là

0{,}648 - 0{,}552 = 0{,}096

, còn độ rộng của khoảng 99% là

0{,}663 - 0{,}537 = 0{,}126

4Bước 4: Rút ra quan hệ giữa độ tin cậy và độ rộng. Vì

SE

và

\hat{p}

không đổi, chỉ có

z^{*}

tăng từ

1{,}96

lên

2{,}576

, nên khoảng phải nở ra. Muốn chắc chắn hơn thì phải chấp nhận một khoảng kém chính xác hơn; muốn vừa tăng độ tin cậy vừa giữ khoảng hẹp thì bắt buộc phải tăng cỡ mẫu

n

5Bước 5: Diễn giải mức 99% cho ý (c). Câu trả lời phải nói về quy trình lặp lại: nếu lấy rất nhiều mẫu ngẫu nhiên gồm 400 cử tri và với mỗi mẫu đều lập khoảng theo cùng cách trên, thì khoảng

99\%

số khoảng đó sẽ chứa tỉ lệ ủng hộ thật của toàn thành phố. Tránh mọi cách nói kiểu "xác suất để tỉ lệ thật nằm trong

(0{,}537;\ 0{,}663)

là 0,99", vì tỉ lệ thật là một số cố định, hoặc nó nằm trong khoảng này hoặc không.

(a) Với $\hat{p} = 0{,}60$ và các điều kiện đều thỏa, khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ cử tri ủng hộ dự án là $(0{,}552;\ 0{,}648)$ . (b) Khoảng 99% là $(0{,}537;\ 0{,}663)$ , rộng $0{,}126$ so với $0{,}096$ của khoảng 95%; tăng độ tin cậy làm khoảng rộng thêm vì giá trị tới hạn lớn hơn. (c) Mức 99% có nghĩa: nếu lặp lại việc chọn mẫu 400 cử tri và lập khoảng theo cùng phương pháp rất nhiều lần, khoảng 99% trong số các khoảng thu được sẽ chứa tỉ lệ ủng hộ thật của toàn bộ cử tri thành phố.