Đang tải bài học…

AP Statistics

giá trị tới hạn

critical value

Còn gọi: z* · z sao · z-critical · critical value z* · C.V.

Giá trị tới hạn là ngưỡng trên phân phối mẫu, dùng để phân chia miền bác bỏ và miền không bác bỏ giả thuyết không trong kiểm định thống kê.

Trong kiểm định giả thuyết, giá trị tới hạn đóng vai trò như một ranh giới: nếu thống kê kiểm định vượt qua ranh giới này, ta bác bỏ giả thuyết không $H_0$ . Vị trí của giá trị tới hạn phụ thuộc vào mức ý nghĩa (significance level) $\alpha$ mà nhà nghiên cứu chọn trước khi thu thập dữ liệu. Khi $\alpha$ càng nhỏ, giá trị tới hạn càng nằm xa tâm của phân phối, vì ta đòi hỏi bằng chứng mạnh hơn mới chịu bác bỏ $H_0$ .

Đối với kiểm định hai phía dùng phân phối chuẩn, tại $\alpha = 0.05$ ta có hai giá trị tới hạn $z^* = \pm 1.96$ ; bất kỳ thống kê kiểm định $z$ nào nằm ngoài khoảng $(-1.96, 1.96)$ đều dẫn đến quyết định bác bỏ $H_0$ . Ngược lại, kiểm định một phía chỉ có một giá trị tới hạn ở bên phải hoặc bên trái, tùy theo hướng của giả thuyết đối $H_a$ . Mỗi phân phối — chuẩn, $t$ , hoặc khi-bình phương ( $\chi^2$ ) — có bảng giá trị tới hạn riêng, và thí sinh được cấp các bảng này trong đề thi AP.

Trong khoảng tin cậy, giá trị tới hạn $z^*$ xuất hiện trực tiếp trong công thức $\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , quyết định độ rộng của khoảng. Vì vậy, cùng một bộ dữ liệu nhưng nâng độ tin cậy từ 90% lên 99% sẽ kéo $z^*$ tăng, và khoảng tin cậy rộng ra — ta chắc chắn hơn nhưng kém chính xác hơn.

Ký hiệu

z^*

t^*

\chi^{2*}

Trực giác: Giá trị tới hạn giống vạch đích trong cuộc đua: thống kê kiểm định phải vượt qua vạch đó thì mới "thắng" — tức đủ bằng chứng bác bỏ giả thuyết không.

Công thức

\htmlClass{fp-1}{z^*} = \htmlClass{fp-0}{z_{\alpha/2}}

Dùng khi xây dựng khoảng tin cậy hoặc kiểm định giả thuyết cho tỉ lệ hay trung bình (cỡ mẫu lớn, độ lệch chuẩn tổng thể đã biết) với phân phối chuẩn hoá.

Trong đó

z^*

giá trị tới hạn (critical value) trên phân phối chuẩn hoá

\alpha

mức ý nghĩa (significance level); thường là 0,05 hoặc 0,01

\alpha/2

xác suất ở mỗi đuôi khi kiểm định hai phía

\htmlClass{fp-2}{t^*} = \htmlClass{fp-1}{t_{\htmlClass{fp-0}{\alpha/2},\, n-1}}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

đầu thế kỷ 20Ronald A. FisherJerzy Neyman

Giá trị tới hạn hình thành vào đầu thế kỷ 20, gắn với công trình của Ronald A. Fisher và Jerzy Neyman, nhằm đặt ra một ngưỡng rõ ràng để quyết định khi nào kết quả từ mẫu đủ bất thường mà bác bỏ giả thuyết không (null hypothesis).

Đầu thế kỷ 20, thống kê học đứng trước một câu hỏi rất thực tế: quan sát được một chênh lệch trong mẫu rồi, nhưng bao nhiêu thì mới đủ lớn để tin rằng nó không phải do may rủi lấy mẫu? Trước đó, việc phán đoán phần nhiều dựa vào cảm nhận của người phân tích, nên hai người cùng nhìn một bộ số liệu vẫn có thể kết luận ngược nhau. Những người đặt nền móng cho kiểm định giả thuyết (hypothesis testing), trong đó có Ronald A. Fisher và Jerzy Neyman, đã đưa ra ý tưởng vạch sẵn một mốc trên phân phối của thống kê kiểm định (test statistic). Nhờ đó, quyết định bác bỏ hay không bác bỏ trở thành một quy tắc công khai, ai kiểm tra lại cũng ra cùng kết luận.

Thử nghiệm tương tác

Kéo vạch mốc — nhìn diện tích đuôi đổi, rồi hạ bậc tự do xem mốc bị đẩy ra xa

Hay hiểu sai

Giá trị tới hạn không phải là giá trị của thống kê kiểm định tính từ dữ liệu.

Chia đôi hay không chia đôi $\alpha$ tuỳ vào kiểm định một phía hay hai phía.

Chưa biết $\sigma$ của tổng thể thì phải dùng $t^*$ , không được dùng $z^*$ .

Tăng độ tin cậy làm giá trị tới hạn lớn hơn, không phải nhỏ hơn.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một kỹ sư kiểm tra tuổi thọ của loại pin mới. Ông chọn ngẫu nhiên 25 viên pin từ dây chuyền sản xuất và đo được tuổi thọ trung bình mẫu

\bar{x} = 41{,}2

giờ với độ lệch chuẩn mẫu

s = 3{,}5

giờ. Đồ thị phân bố của mẫu gần đối xứng, không có giá trị ngoại lai (outlier), nên điều kiện về dạng phân bố được xem là thỏa mãn.

aXác định giá trị tới hạn cần dùng cho khoảng tin cậy 95% của tuổi thọ trung bình và giải thích vì sao không dùng $z^* = 1{,}96$ .
bTính sai số biên và lập khoảng tin cậy 95%, rồi diễn giải kết quả trong ngữ cảnh.
cNếu kỹ sư chỉ cần độ tin cậy 90% thì giá trị tới hạn và độ rộng khoảng thay đổi thế nào?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Thiết lập kiểm định cho tỉ lệ tổng thể” — khoá AP Statistics

Cần trướcmức ý nghĩa bậc tự do

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

p-valuep-value

Khác nhau ở đâuGiá trị tới hạn là một ngưỡng cố định trên trục hoành tra từ bảng phân phối; p-value là xác suất tính từ dữ liệu mẫu rồi so với alpha.

Hay nhầm khiđề cho sẵn alpha và thống kê kiểm định, hỏi 'có bác bỏ giả thuyết không' — học sinh nhầm cách so sánh: phải so thống kê kiểm định với giá trị tới hạn, hoặc so p-value với alpha, chứ không so chéo.

thống kê kiểm địnhtest statistic

Khác nhau ở đâuGiá trị tới hạn là hằng số cố định phụ thuộc vào alpha và bậc tự do; thống kê kiểm định là con số tính được từ dữ liệu mẫu và thay đổi theo từng mẫu.

Hay nhầm khiđề yêu cầu tìm giá trị tới hạn nhưng học sinh lại tính thống kê kiểm định, hoặc ngược lại — cần phân biệt: tra bảng cho giá trị tới hạn, áp dụng công thức cho thống kê kiểm định.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 16, 27, 333.

Dùng khi độ lệch chuẩn tổng thể chưa biết và phải ước lượng bằng độ lệch chuẩn mẫu; tra Bảng B (t-Distribution Critical Values) trong phòng thi với cột α/2 và hàng df = n−1.

Trong đó

t^*

giá trị tới hạn trên phân phối t

\alpha/2

xác suất ở mỗi đuôi khi kiểm định hai phía

n-1

bậc tự do (degrees of freedom) với mẫu cỡ n

\chi^2_{\alpha,\, k-1}

Dùng trong kiểm định phân phối (goodness-of-fit) và kiểm định độc lập; tra Bảng C (χ² Critical Values) với cột α và hàng bậc tự do tương ứng. Kiểm định χ² luôn một phía phải nên chỉ số dưới là α, không phải α/2.

Trong đó

\chi^2_{\alpha,\, k-1}

giá trị tới hạn trên phân phối chi bình phương tại mức ý nghĩa α với k−1 bậc tự do

k

số nhóm (hoặc số ô trong bảng hai chiều)

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "critical" trong tiếng Anh mang nghĩa "mang tính bước ngoặt, quyết định", chứ không phải "phê phán" như nghĩa thông dụng. Cái tên phản ánh đúng vai trò của con số này: nó là đường ranh giữa vùng kết quả được xem là không có ý nghĩa thống kê và vùng bị coi là bất thường, tức là biên của miền bác bỏ (rejection region). Chỉ cần thống kê kiểm định nhích qua mốc đó, kết luận lập tức đảo chiều — và chính tính chất "qua ngưỡng là đổi quyết định" đã cho nó cái tên tới hạn. Cũng vì vậy, cùng một con số ấy quay lại phục vụ việc dựng hai đầu mút của khoảng tin cậy (confidence interval), nơi nó lại đóng vai trò vạch biên cho vùng giá trị hợp lý của tham số.

Kéo vạch mốc — nhìn diện tích đuôi đổi, rồi hạ bậc tự do xem mốc bị đẩy ra xa

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết rõ ba thứ khi tra giá trị tới hạn: phân phối, bậc tự do và diện tích đuôi.

Chọn một cách kết luận rồi theo đến cùng, đừng trộn hai cách.

Kiểm tra dấu và tính đối xứng trước khi ghi đáp án.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Vì độ lệch chuẩn của tổng thể không biết mà phải ước lượng bằng

s

, ta dùng phân bố

t

thay cho phân bố chuẩn. Bậc tự do (degrees of freedom) là

df = n - 1 = 25 - 1 = 24

. Tra bảng

t

ở cột tương ứng độ tin cậy 95% với

df = 24

được

t^* = 2{,}064

; con số này lớn hơn

1{,}96

đúng như mong đợi, vì phân bố

t

có đuôi dày hơn nên phải đi xa tâm hơn mới gom đủ 95% diện tích.

2Bước 2: Sai số biên (margin of error) bằng giá trị tới hạn nhân với sai số chuẩn:

ME = t^*\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}064\cdot\frac{3{,}5}{\sqrt{25}} = 2{,}064\cdot 0{,}7 = 1{,}4448.

Ở đây

s/\sqrt{n} = 0{,}7

đo mức dao động điển hình của trung bình mẫu, còn

t^*

quyết định ta nới rộng ra bao nhiêu lần mức dao động đó.

3Bước 3: Khoảng tin cậy là

\bar{x} \pm ME = 41{,}2 \pm 1{,}4448

, tức từ

39{,}76

đến

42{,}64

giờ. Ta tin cậy 95% rằng tuổi thọ trung bình thật của loại pin này nằm trong khoảng

39{,}76

đến

42{,}64

giờ.

4Bước 4: Với độ tin cậy 90% và

df = 24

, giá trị tới hạn giảm còn

t^* = 1{,}711

, nên

ME = 1{,}711\cdot 0{,}7 = 1{,}1977

và khoảng thu lại thành

(40{,}00;\ 42{,}40)

. Giảm độ tin cậy làm giá trị tới hạn nhỏ đi, khoảng hẹp hơn nhưng khả năng bắt trúng tham số thật cũng thấp hơn.

Giá trị tới hạn cho khoảng 95% là $t^* = 2{,}064$ (với $df = 24$ ), cho sai số biên $1{,}44$ giờ và khoảng tin cậy $(39{,}76;\ 42{,}64)$ giờ. Nếu hạ xuống độ tin cậy 90% thì $t^* = 1{,}711$ và khoảng hẹp lại còn $(40{,}00;\ 42{,}40)$ giờ; nói cách khác, giá trị tới hạn chính là cái núm điều chỉnh: muốn chắc chắn hơn thì phải chấp nhận một khoảng rộng hơn.

2Ví dụ 2/2

Một hãng thức ăn nhanh khẳng định rằng 40% khách hàng của họ gọi thêm món tráng miệng. Người quản lý một chi nhánh nghi ngờ tỷ lệ ở cửa hàng mình cao hơn, nên chọn ngẫu nhiên 200 hóa đơn và thấy 92 hóa đơn có món tráng miệng. Ông muốn kiểm định ở mức ý nghĩa

\alpha = 0{,}05

bằng cách so sánh thống kê kiểm định với giá trị tới hạn.

aNêu giả thuyết, kiểm tra điều kiện và xác định giá trị tới hạn cùng miền bác bỏ.
bTính thống kê kiểm định và kết luận trong ngữ cảnh.
cKết luận có thay đổi không nếu mức ý nghĩa là $\alpha = 0{,}01$ ?

1Bước 1: Gọi

p

là tỷ lệ thật của khách gọi món tráng miệng tại chi nhánh này. Giả thuyết không (null hypothesis) là

H_0: p = 0{,}40

và giả thuyết đối là

H_a: p > 0{,}40

, tức kiểm định một phía về bên phải. Mẫu được chọn ngẫu nhiên,

np_0 = 200(0{,}40) = 80

và

n(1-p_0) = 200(0{,}60) = 120

đều lớn hơn 10, nên phân bố mẫu của

\hat{p}

xấp xỉ chuẩn và ta được phép dùng kiểm định

z

2Bước 2: Vì đây là kiểm định một phía với

\alpha = 0{,}05

, ta cần điểm

z

để lại đúng

0{,}05

diện tích ở đuôi phải, tức

z^* = 1{,}645

. Miền bác bỏ (rejection region) là

z > 1{,}645

: mọi thống kê rơi vào vùng này được coi là quá xa

0{,}40

để giải thích bằng biến động ngẫu nhiên.

3Bước 3: Tỷ lệ mẫu là

\hat{p} = 92/200 = 0{,}46

, còn sai số chuẩn tính theo

p_0

là

\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{(0{,}40)(0{,}60)}{200}} = \sqrt{0{,}0012} = 0{,}0346.

Do đó

z = \frac{\hat{p}-p_0}{0{,}0346} = \frac{0{,}46-0{,}40}{0{,}0346} = 1{,}73.

Con số này cho biết tỷ lệ quan sát được nằm cách

0{,}40

khoảng

1{,}73

sai số chuẩn về phía trên.

4Bước 4: So sánh:

1{,}73 > 1{,}645

, nên thống kê rơi vào miền bác bỏ và ta bác bỏ

H_0

. Cách làm này thống nhất với cách dùng giá trị p (p-value):

P(Z > 1{,}73) \approx 0{,}0416 < 0{,}05

, cùng dẫn tới một kết luận.

5Bước 5: Nếu hạ mức ý nghĩa xuống

\alpha = 0{,}01

thì giá trị tới hạn dịch ra xa hơn, thành

z^* = 2{,}326

. Lúc này

1{,}73 < 2{,}326

nên ta không bác bỏ

H_0

, và điều đó khớp với việc

0{,}0416 > 0{,}01

Ở mức $\alpha = 0{,}05$ , giá trị tới hạn là $1{,}645$ và thống kê $z = 1{,}73$ vượt qua ngưỡng đó, nên có bằng chứng thuyết phục rằng tỷ lệ khách gọi món tráng miệng tại chi nhánh này cao hơn 40%. Tuy nhiên ở mức $\alpha = 0{,}01$ , ngưỡng nâng lên $2{,}326$ và cùng dữ liệu ấy không còn đủ mạnh để bác bỏ khẳng định của hãng; kết luận phụ thuộc vào mức ý nghĩa đúng vì mức ý nghĩa là thứ định ra vị trí của giá trị tới hạn.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.