AP Statistics

thiên lệch

bias

Còn gọi: độ chệch · bias

Thiên lệch là sai lệch có hệ thống khiến kết quả thu được có xu hướng nghiêng về một phía so với giá trị thật của tổng thể.

Trong thống kê, thiên lệch không có nghĩa là "định kiến" theo cách nói đời thường, mà chỉ một khuyết tật có hệ thống của cách thu thập dữ liệu (data) hoặc của công thức ước lượng (estimator). Quy trình bị thiên lệch không sai vì may rủi mà sai theo một hướng cố định, nên dù lặp lại việc lấy mẫu bao nhiêu lần, kết quả trung bình vẫn trượt khỏi giá trị thật. Do đó thiên lệch khác hẳn biến thiên do chọn mẫu: biến thiên giảm được bằng cách tăng cỡ mẫu, còn thiên lệch thì dù mẫu lớn đến đâu cũng không tự mất đi.

Về mặt hình thức, với tham số cần ước lượng $\theta$ và thống kê $\hat{\theta}$ , độ chệch được định nghĩa là

$\text{Bias}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta$

nghĩa là hiệu giữa trung bình của phân phối mẫu và giá trị thật. Nếu hiệu này bằng $0$ thì $\hat{\theta}$ là ước lượng không chệch (unbiased estimator), và trung bình mẫu $\bar{x}$ cùng tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ đều thỏa mãn điều kiện đó khi mẫu được chọn ngẫu nhiên. Ngược lại, nếu tâm của phân phối mẫu lệch hẳn sang một bên thì mọi khoảng tin cậy dựng trên thống kê ấy đều mất ý nghĩa, vì chúng bao quanh sai chỗ.

Trên đề thi, thiên lệch thường xuất hiện ngay ở khâu thiết kế khảo sát (survey), và bạn phải gọi đúng tên ba dạng hay gặp. Thứ nhất là thiếu bao phủ, xảy ra khi khung chọn mẫu bỏ sót một bộ phận của tổng thể nên bộ phận ấy không bao giờ có cơ hội được chọn. Thứ hai là thiên lệch do không phản hồi (nonresponse bias), khi người được chọn từ chối trả lời mà nhóm từ chối lại khác biệt có hệ thống so với nhóm chịu trả lời. Thứ ba là thiên lệch do cách trả lời, sinh ra từ câu hỏi dẫn dắt, từ áp lực của người đi hỏi, hoặc vì người trả lời khai không thật.

Vì vậy, khi giải thích bạn phải nêu rõ hướng lệch, tức là ước lượng sẽ cao hơn hay thấp hơn giá trị thật và vì lí do gì. Nói "kết quả bị thiên lệch" chung chung thì hầu như không được điểm, vì câu ấy chưa cho thấy bạn hiểu cơ chế sai lệch nằm ở đâu.

Ký hiệu

\text{Bias}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta

Trực giác: Giống chiếc cân luôn cộng thêm hai ký: cân mười lần hay nghìn lần thì vẫn sai đúng hai ký, mua cân xịn hơn mới sửa được chứ cân nhiều hơn thì không.

Công thức

\text{Bias}(\hat{\theta}) = \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{E(\hat{\theta})} - \htmlClass{fp-1}{\theta}}

Dùng khi cần nói rõ một thống kê (statistic) có thiên lệch hay không, chẳng hạn khi so sánh các phương pháp chọn mẫu hoặc khi giải thích vì sao trung bình mẫu được xem là ước lượng tốt. Lưu ý thiên lệch là tính chất của cách thu thập và tính toán, không phải của riêng một mẫu cụ thể.

Trong đó

\hat{\theta}

thống kê tính từ mẫu, dùng để ước lượng tham số

\theta

tham số thật của tổng thể (parameter)

E(\cdot)

giá trị kỳ vọng, tức trung bình của phân bố mẫu (sampling distribution)

E(\bar{x}) = \mu \quad\text{and}\quad E(\hat{p}) = p

Hai đẳng thức này là điều kiện không chệch cho hai thống kê thường gặp nhất trong đề thi: trung bình mẫu và tỉ lệ mẫu. Khi mẫu được chọn ngẫu nhiên, tâm phân bố mẫu trùng đúng với tham số tổng thể, nên sai số chỉ còn do biến thiên chọn mẫu (sampling variability) chứ không do thiên lệch.

Trong đó

\bar{x}

trung bình mẫu

\mu

trung bình tổng thể

\hat{p}

tỉ lệ mẫu

p

tỉ lệ tổng thể

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Francis Bacon

Từ "bias" đi vào tiếng Anh qua tiếng Pháp "biais" với nghĩa "chệch sang một bên", rồi được thống kê học mượn lại để chỉ sai lệch có hệ thống trong cách thu thập và xử lý dữ liệu. Ý thức rằng phán đoán con người luôn bị bóp méo đã có từ trước đó rất lâu, chẳng hạn ở Francis Bacon với bốn "thần tượng của trí óc".

Trước khi trở thành một thuật ngữ kỹ thuật, thiên lệch là chuyện của đời sống thường ngày: người ta ủng hộ hay chống lại một điều gì đó một cách bất công vì để ý kiến cá nhân chi phối phán đoán. Francis Bacon từng gom những méo mó ấy lại thành bốn "thần tượng của trí óc" (idola mentis), tức bốn nguồn sai lầm bám rễ trong cách con người quan sát thế giới. Khi thống kê phát triển, nhu cầu gọi tên một loại sai số khác hẳn sai số ngẫu nhiên trở nên cấp thiết: sai số cứ lặp lại theo một hướng cố định, không tự triệt tiêu khi tăng cỡ mẫu. Cái tên có sẵn được mượn lại, và thiên lệch trở thành khuynh hướng có hệ thống khiến kết quả lệch khỏi tham số thật.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe khô khan này thật ra là một từ chỉ hình học. Nó vào tiếng Anh qua tiếng Pháp "biais", nghĩa là "một đường chéo, một độ dốc, một hướng xiên", và trước đó là tiếng Pháp cổ với nghĩa "nghiêng sang bên, liếc xéo, ngược thớ"; gốc xa hơn được cho là tiếng Provençal cổ, tuy từ điển Oxford vẫn ghi nhận nguồn gốc "không chắc chắn" và có người truy nó về tận gốc Ấn-Âu SKER. Hình ảnh "đi xiên" giải thích trọn vẹn nghĩa thống kê: mẫu bị thiên lệch không rơi lệch tứ tung quanh sự thật mà lệch đều về một phía, giống một đường kẻ cứ chệch mãi khỏi hướng thẳng. Do đó định nghĩa hình thức của thiên lệch thống kê (statistical bias) là hiệu giữa giá trị kỳ vọng (expected value) của ước lượng và tham số thật: $E(\hat{\theta}) - \theta$ . Nếu hiệu này bằng $0$ thì ước lượng được gọi là không thiên lệch (unbiased), nghĩa là trung bình của nó qua vô số mẫu rơi đúng vào đích.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Tăng cỡ mẫu không làm giảm thiên lệch.

Một mẫu ra kết quả xa tham số chưa phải là mẫu thiên lệch.

Ước lượng không chệch không có nghĩa là ước lượng đúng.

Viết "khảo sát bị thiên lệch" mà không nói hướng thì không được điểm.

Mẹo phòng thi

Gặp câu hỏi về tăng cỡ mẫu, hãy trả lời gọn theo mẫu "bias unchanged, variability decreases".

Học thuộc ba nguồn thiên lệch và gọi đúng tên chúng khi phân tích.

Đừng nhầm thiên lệch với sai số biên hay với cỡ mẫu nhỏ.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học có 1.200 học sinh. Ban biên tập báo trường muốn ước lượng tỉ lệ học sinh toàn trường ủng hộ việc lùi giờ vào học buổi sáng từ 7:00 sang 7:45. Nhóm phóng viên đăng một đường dẫn khảo sát trực tuyến lên trang fanpage của trường kèm dòng chữ "Bạn có muốn được ngủ thêm 45 phút mỗi sáng không? Hãy bấm vào đây và cho ý kiến!". Sau một tuần, có 240 học sinh tự nguyện bấm vào và trả lời, trong đó 78% chọn "ủng hộ". Ban biên tập kết luận rằng khoảng 78% học sinh toàn trường ủng hộ đề xuất này.

aHãy gọi tên nguồn thiên lệch trong cách thu thập dữ liệu này và giải thích vì sao nó xuất hiện.
bƯớc lượng 78% nhiều khả năng cao hơn hay thấp hơn tỉ lệ thật của toàn trường? Giải thích chiều của sự thiên lệch.
cNếu ban biên tập để khảo sát chạy thêm một tháng và thu được 800 phản hồi thay vì 240, vấn đề trên có được khắc phục không?

1Bước 1: Trước hết cần nhìn kỹ xem ai là người quyết định có mặt trong mẫu. Ở đây không ai được nhà trường chọn cả: đường dẫn nằm công khai trên fanpage, và chính học sinh tự quyết định có bấm vào hay không. Đó là dấu hiệu kinh điển của thiên lệch do tự nguyện trả lời (voluntary response bias), một dạng thiên lệch trong quá trình chọn mẫu chứ không phải lỗi tính toán. Vì vậy, dù phép tính 78% hoàn toàn đúng về số học, con số ấy vẫn không đại diện cho 1.200 học sinh.

2Bước 2: Tiếp theo, hãy lập luận xem nhóm nào có động cơ bấm vào đường dẫn. Những học sinh khổ sở vì phải dậy sớm sẽ hào hứng nhấp chuột để bày tỏ quan điểm, còn những bạn đang thấy giờ học hiện tại là ổn, hoặc lo lắng vì lùi giờ vào học sẽ kéo theo tan học muộn, gần như không có lý do gì để tham gia. Câu dẫn "Bạn có muốn được ngủ thêm 45 phút mỗi sáng không?" còn gợi ý sẵn câu trả lời, khiến mẫu càng nghiêng về phía ủng hộ. Do đó, mẫu 240 học sinh này nhiều khả năng chứa tỉ lệ người ủng hộ cao hơn hẳn so với toàn trường, và

0{,}78

là một ước lượng thiên cao.

3Bước 3: Muốn sửa gốc của vấn đề, phải thay đổi cách chọn mẫu chứ không phải cách xử lý số liệu. Cách làm hợp lý là đánh số toàn bộ 1.200 học sinh rồi dùng bảng số ngẫu nhiên hoặc máy tính rút ra một mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample), chẳng hạn 150 bạn, sau đó theo đuổi đến cùng để mọi người được chọn đều trả lời. Khi ấy mọi học sinh có cùng cơ hội vào mẫu, nên nhóm phản đối không còn bị bỏ sót một cách hệ thống. Nếu vẫn còn nhiều người được chọn mà không chịu trả lời thì lại nảy sinh thiên lệch do không phản hồi (nonresponse bias), vì thế khâu nhắc và thu đủ phiếu cũng quan trọng ngang khâu bốc thăm.

4Bước 4: Cuối cùng, xét chuyện tăng số phản hồi từ 240 lên 800. Cỡ mẫu lớn hơn chỉ làm giảm độ biến thiên của ước lượng, tức là nếu lặp lại khảo sát nhiều lần thì các kết quả sẽ xúm lại gần nhau hơn. Nhưng chúng xúm quanh một con số sai, bởi cơ chế "ai thích thì trả lời" vẫn giữ nguyên và vẫn ưu ái nhóm ủng hộ như cũ. Nói cách khác, tăng cỡ mẫu không bao giờ chữa được thiên lệch; nó chỉ khiến ta tin chắc hơn vào một con số lệch.

Khảo sát này mắc thiên lệch do tự nguyện trả lời: mẫu chỉ gồm những học sinh tự chọn tham gia, mà nhóm mong được ngủ thêm lại có động cơ trả lời mạnh hơn hẳn. Vì vậy con số 78% gần như chắc chắn cao hơn tỉ lệ ủng hộ thật của 1.200 học sinh trong trường. Thu thêm phản hồi để đạt 800 người cũng không cứu được kết luận, vì nó chỉ thu hẹp độ biến thiên quanh một giá trị vốn đã lệch; chỉ có việc chọn một mẫu ngẫu nhiên từ danh sách toàn trường và thu đủ câu trả lời mới loại được nguồn thiên lệch này.

2Ví dụ 2/2

Một hồ nuôi nhỏ có đúng 4 con cá, khối lượng lần lượt là 2, 4, 6 và 8 (đơn vị: kg). Xem đây là toàn bộ tổng thể, khối lượng trung bình của tổng thể là 5 kg và khối lượng lớn nhất là 8 kg. Một nhóm học sinh bắt ngẫu nhiên 2 con cá (không hoàn lại) rồi dùng hai đại lượng để ước lượng: trung bình mẫu

\bar{x}

dùng để ước lượng khối lượng trung bình của hồ, và giá trị lớn nhất trong mẫu dùng để ước lượng khối lượng con cá nặng nhất hồ.

aLiệt kê mọi mẫu cỡ 2 có thể có và chỉ ra trung bình mẫu có phải là ước lượng không thiên lệch của trung bình tổng thể hay không.
bXét đại lượng "giá trị lớn nhất trong mẫu": nó có thiên lệch không, và nếu có thì lệch về phía nào?
cMô tả điều gì xảy ra với thiên lệch và với độ biến thiên của hai đại lượng trên khi cỡ mẫu tăng từ 2 lên 3.

1Bước 1: Vì tổng thể chỉ có 4 phần tử nên ta có thể viết ra trọn vẹn phân bố mẫu (sampling distribution) thay vì phải mô phỏng. Có

\binom{4}{2}=6

mẫu cỡ 2, kèm theo trung bình và giá trị lớn nhất của từng mẫu:

\{2,4\}

cho

\bar{x}=3

và max

=4

;

\{2,6\}

cho

4

và

6

;

\{2,8\}

cho

5

và

8

;

\{4,6\}

cho

5

và

6

;

\{4,8\}

cho

6

và

8

;

\{6,8\}

cho

7

và

8

. Mỗi mẫu có xác suất

1/6

như nhau, nên việc lấy trung bình của sáu giá trị chính là tính kỳ vọng.

2Bước 2: Với trung bình mẫu, ta cộng sáu giá trị rồi chia đều:

E(\bar{x})=\frac{3+4+5+5+6+7}{6}=\frac{30}{6}=5.

Con số

5

này trùng khít với

\mu=5

của tổng thể, nghĩa là nếu lặp lại việc bắt cá vô số lần thì các trung bình mẫu sẽ cân bằng quanh đúng giá trị cần tìm. Vì tâm của phân bố mẫu đặt đúng vào tham số,

\bar{x}

là một ước lượng không thiên lệch (unbiased estimator). Từng mẫu riêng lẻ vẫn sai — mẫu

\{2,4\}

cho

3

, hụt tới 2 kg — nhưng sai số ấy là biến thiên ngẫu nhiên chứ không phải thiên lệch.

3Bước 3: Với giá trị lớn nhất trong mẫu, phép tính tương tự cho kết quả khác hẳn:

\frac{4+6+8+6+8+8}{6}=\frac{40}{6}\approx 6{,}67.

Tâm của phân bố này là

6{,}67

trong khi giá trị cần ước lượng là

8

, tức đại lượng bị lệch xuống trung bình khoảng

1{,}33

kg. Lý do mang tính cấu trúc chứ không phải rủi ro: giá trị lớn nhất của mẫu không bao giờ vượt quá

8

, và trong 3 trên 6 mẫu nó còn nhỏ hơn

8

. Do đó đây là một đại lượng thiên lệch, luôn có xu hướng đánh giá thấp con cá nặng nhất.

4Bước 4: Bây giờ tăng lên mẫu cỡ 3, khi đó có

\binom{4}{3}=4

mẫu. Các trung bình mẫu là

4

;

\frac{14}{3}\approx 4{,}67

;

\frac{16}{3}\approx 5{,}33

và

6

, trung bình của chúng vẫn bằng

\frac{20}{4}=5

, nhưng khoảng cách từ

4

đến

6

hẹp hơn hẳn khoảng từ

3

đến

7

trước đó. So sánh bằng phương sai của phân bố mẫu thì thấy rõ: từ

\frac{10}{6}\approx 1{,}67

giảm xuống

\frac{2{,}22}{4}\approx 0{,}56

. Trong khi đó các giá trị lớn nhất là

6

;

8

;

8

;

8

cho trung bình

\frac{30}{4}=7{,}5

, vẫn dưới

8

nhưng đã gần hơn con số

6{,}67

lúc trước.

5Bước 5: Từ đó rút ra cách trả lời chuẩn cho dạng câu hỏi "tăng cỡ mẫu thì thiên lệch và độ biến thiên thay đổi ra sao". Với

\bar{x}

, thiên lệch vốn đã bằng

0

nên nó giữ nguyên bằng

0

, còn độ biến thiên giảm. Với giá trị lớn nhất, thiên lệch không biến mất mà chỉ thu nhỏ lại, vì cơ chế gây lệch nằm ở bản thân công thức của đại lượng chứ không ở cỡ mẫu. Nói gọn, cỡ mẫu điều khiển độ biến thiên, còn thiên lệch do cách chọn đại lượng và cách thu thập dữ liệu quyết định.

Trung bình mẫu có kỳ vọng $E(\bar{x})=5$ , đúng bằng khối lượng trung bình 5 kg của hồ, nên nó là đại lượng ước lượng không thiên lệch. Ngược lại, giá trị lớn nhất trong mẫu có kỳ vọng $\approx 6{,}67$ kg so với giá trị thật 8 kg, tức bị thiên lệch xuống vì nó không thể vượt quá giá trị lớn nhất của tổng thể. Khi tăng cỡ mẫu từ 2 lên 3, trung bình mẫu vẫn không thiên lệch và phân bố của nó co lại quanh 5 kg (phương sai giảm từ khoảng $1{,}67$ xuống $0{,}56$ ), còn giá trị lớn nhất của mẫu bớt lệch (kỳ vọng tăng từ $6{,}67$ lên $7{,}5$ kg) nhưng vẫn chưa hết thiên lệch.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyCác vấn đề thường gặp khi chọn mẫuDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyƯớc lượng điểm: chệch và không chệchSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyChọn mẫu ngẫu nhiên: bốn cách rút và khi nào dùng cách nàoDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Dẫn tớimẫu ngẫu nhiên đơn giản

Liên quantham số mẫu thiên lệch lựa chọn sai số chọn mẫu

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

sai số chọn mẫu (sampling error)sampling error

Khác nhau ở đâuThiên lệch là sai lệch hệ thống, luôn nghiêng về một phía và không mất đi khi tăng cỡ mẫu. Sai số chọn mẫu là dao động ngẫu nhiên quanh giá trị thật và nhỏ dần khi cỡ mẫu lớn lên.

Hay nhầm khiCâu hỏi cho biết tăng cỡ mẫu rồi hỏi sai số nào giảm; nhiều thí sinh trả lời nhầm rằng mẫu lớn hơn sẽ khắc phục được thiên lệch.

ước lượng chệch (biased estimator)biased estimator

Khác nhau ở đâuThiên lệch chỉ khuynh hướng sai lệch hệ thống của cả quy trình thu thập dữ liệu. Ước lượng chệch là một thống kê cụ thể có kỳ vọng khác với tham số cần ước lượng.

Hay nhầm khiKhi đề hỏi về phân phối mẫu và vị trí tâm của nó, thí sinh hay dùng lẫn hai tên gọi dù một bên nói về cách lấy dữ liệu, một bên nói về công thức tính.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 12–13, 21.