AP Statistics

ước lượng chệch

biased estimator

Còn gọi: biased estimator

Ước lượng chệch là thống kê mẫu có giá trị kỳ vọng khác với tham số tổng thể cần ước lượng, tức qua nhiều lần lấy mẫu, các giá trị ước lượng có xu hướng lệch về một phía.

Khi dùng một thống kê (statistic) mẫu $\hat\theta$ để suy ra tham số (parameter) tổng thể $\theta$ , điều ta thật sự quan tâm không phải là một mẫu cụ thể mà là hành vi của $\hat\theta$ nếu lặp lại việc lấy mẫu vô số lần, tức là phân phối mẫu của nó. Vì vậy, ước lượng chệch xảy ra khi trung bình của toàn bộ phân phối mẫu đó không trùng với giá trị thật: $E(\hat\theta) \neq \theta$ Hiệu số $E(\hat\theta) - \theta$ gọi là độ chệch. Ngược lại, nếu $E(\hat\theta) = \theta$ , thống kê được gọi là ước lượng không chệch (unbiased estimator), nghĩa là phân phối mẫu của nó có tâm đặt đúng vào tham số cần tìm dù từng mẫu riêng lẻ vẫn có thể sai khá xa.

Ví dụ kinh điển nhất là công thức tính phương sai (variance) mẫu. Nếu chia tổng bình phương độ lệch cho $n$ , thống kê $\frac{\sum(x-\bar x)^2}{n}$ có xu hướng cho giá trị nhỏ hơn phương sai tổng thể $\sigma^2$ một cách hệ thống, vì $\bar x$ vốn được tính từ chính mẫu đó nên luôn kéo tổng bình phương lệch về gần $\bar x$ hơn là về $\mu$ thật. Do đó, thống kê này là ước lượng chệch cho $\sigma^2$ . Vì thế, chia cho $n-1$ thay vì $n$ sẽ nới rộng giá trị vừa đủ để trung bình của phân phối mẫu quay về đúng $\sigma^2$ , và đó chính là lý do sách giáo khoa luôn dùng mẫu số $n-1$ khi tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu.

Độ chệch cần được phân biệt rõ với độ biến thiên của ước lượng: một thống kê có thể không chệch nhưng vẫn dao động mạnh quanh $\theta$ ở từng mẫu nhỏ, còn một thống kê chệch có thể lại rất ổn định nhưng luôn lệch tâm. Trong chương trình, tỉ lệ mẫu $\hat p$ và trung bình mẫu $\bar x$ là hai ví dụ quen thuộc của ước lượng không chệch, và do đó việc kiểm tra tính không chệch chính là bước đầu tiên khi đánh giá một thống kê có đáng tin để làm nền cho khoảng tin cậy (confidence interval) hay kiểm định hay không.

Ký hiệu

E(\hat\theta) \neq \theta

Trực giác: Giống một cây cung ngắm luôn bắn chệch sang một bên hồng tâm dù người bắn có lặp lại bao nhiêu phát — không phải vì tay run mà vì cách ngắm đã sai hướng.

Công thức

\text{Bias}(\hat{\theta}) = \htmlClass{fp-0}{E(\hat{\theta})} \htmlClass{fp-1}{- \theta}

Dùng để định nghĩa độ chệch (bias) của một ước lượng $\hat{\theta}$ : nếu $E(\hat{\theta}) \neq \theta$ thì phân phối lấy mẫu (sampling distribution) của $\hat{\theta}$ không có tâm trùng với giá trị thật của tổng thể.

Trong đó

\hat{\theta}

ước lượng tính từ mẫu (ví dụ trung bình mẫu, phương sai mẫu)

\theta

tham số thật của tổng thể mà ước lượng nhắm tới

\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\sum (x_i - \bar{x})^2}}{n}}

Đây là công thức tính phương sai mẫu khi chia cho $n$ thay vì $n-1$ ; nó minh hoạ vì sao ta phải dùng $n-1$ để có ước lượng không chệch (unbiased estimator) cho phương sai tổng thể $\sigma^2$ .

Trong đó

x_i

giá trị quan sát thứ

i

trong mẫu

\bar{x}

trung bình mẫu

n

cỡ mẫu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1947George W. Brown

Khái niệm độ chệch của một ước lượng là tính chất so sánh giá trị kỳ vọng của thống kê với giá trị thật của tham số cần ước lượng; một mốc lịch sử được ghi nhận rõ là năm 1947, khi George W. Brown làm sống lại lý thuyết về ước lượng không chệch theo trung vị.

Khi nhà thống kê dùng một mẫu để đoán về tổng thể, câu hỏi tự nhiên là liệu cách đoán đó có sai lệch một cách hệ thống hay không. Từ đó hình thành tiêu chuẩn so sánh giá trị kỳ vọng của thống kê với giá trị thật của tham số: chênh lệch bằng không thì gọi là không chệch. Đến năm 1947, George W. Brown đề xuất nhìn vấn đề theo trung vị thay vì theo trung bình, với lập luận rằng một ước lượng nên "đoán thiếu cũng thường xuyên như đoán thừa". Cách đặt vấn đề này về sau được Lehmann, Birnbaum, van der Vaart và Pfanzagl phát triển thêm.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi bắt nguồn từ chữ "bias", nghĩa là độ chệch — chênh lệch giữa giá trị kỳ vọng (expected value) của ước lượng và giá trị thật của tham số (parameter) đang cần ước lượng. Khi chênh lệch này bằng không thì ước lượng được gọi là không chệch (unbiased), nên chữ "chệch" ở đây mô tả đúng một đại lượng đo được chứ không mang nghĩa "thiên vị" như trong đời thường: trong thống kê, độ chệch là một tính chất khách quan của công thức ước lượng. Cũng vì vậy, cần phân biệt nó với tính vững (consistency) — một ước lượng vững vẫn có thể chệch, và ngược lại. Biến thể do Brown đề xuất được gọi là không chệch theo trung vị (median-unbiased) vì nó thay tiêu chuẩn trung bình bằng tiêu chuẩn trung vị.

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Kéo cỡ mẫu từ 5 lên 40 — đống chấm hẹp lại mà tâm vẫn không chạm vạch đỏ

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Tăng cỡ mẫu không sửa được độ chệch.

Không chệch không có nghĩa là từng mẫu cho ra đúng tham số.

Chệch và biến thiên là hai chuyện khác nhau, đừng gộp làm một.

Phương sai mẫu chia cho $n-1$ chứ không phải $n$ , và đó là lý do có tính không chệch.

Mẹo phòng thi

Với câu so sánh hai cỡ mẫu, phải nói CẢ tâm lẫn độ rộng mới trọn điểm.

Định nghĩa không chệch phải viết đủ: trung bình phân bố mẫu bằng giá trị thật tham số.

Gặp câu hỏi "điều kiện nào tạo ra ước lượng chệch", hãy soi ngay cách chọn mẫu.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trung tâm dữ liệu có đúng bốn máy chủ được đánh số 1, 2, 3 và 4; số hiệu lớn nhất trong toàn bộ tổng thể là

V = 4

và trung bình tổng thể là

\mu = 2{,}5

. Một kiểm toán viên không biết trước hai giá trị này, nên anh ta chọn ngẫu nhiên 2 máy chủ khác nhau (lấy mẫu không hoàn lại) và ghi lại số hiệu của chúng. Có đúng 6 mẫu cỡ 2 và chúng đồng khả năng:

\{1,2\}

\{1,3\}

\{1,4\}

\{2,3\}

\{2,4\}

\{3,4\}

aLập phân bố mẫu (sampling distribution) của giá trị lớn nhất trong mẫu và tính trung bình của phân bố đó. Thống kê này có chệch hay không, và chệch theo hướng nào?
bLàm tương tự với trung bình mẫu và cho biết nó có phải ước lượng không chệch (unbiased estimator) của $\mu$ hay không.
cNếu kiểm toán viên tăng cỡ mẫu lên 3 máy chủ, giá trị lớn nhất trong mẫu có hết chệch không?

1Bước 1: Trước hết cần nhớ tiêu chuẩn phán xét: một thống kê được gọi là không chệch khi trung bình của toàn bộ phân bố mẫu của nó đúng bằng tham số (parameter) cần ước lượng, tức là

E(\hat{\theta}) = \theta

. Độ chệch được đo bằng hiệu

E(\hat{\theta}) - \theta

. Do đó công việc của ta không phải là xem một mẫu cụ thể sai bao nhiêu, mà là gom tất cả các mẫu có thể lại rồi xem tâm của chúng rơi ở đâu.

2Bước 2 (ý a): Ứng với 6 mẫu theo thứ tự đã liệt kê, giá trị lớn nhất lần lượt là

2, 3, 4, 3, 4, 4

. Vì các mẫu đồng khả năng nên mỗi giá trị có xác suất

1/6

, và trung bình của phân bố mẫu bằng

\frac{2+3+4+3+4+4}{6} = \frac{20}{6} \approx 3{,}33

. Con số này nói rằng nếu lặp lại việc lấy mẫu vô số lần, giá trị lớn nhất trong mẫu trung bình chỉ đạt khoảng

3{,}33

3Bước 3 (ý a): So với tham số thật

V = 4

, độ chệch là

3{,}33 - 4 = -0{,}67

. Dấu âm cho thấy thống kê này chệch xuống dưới, và điều đó là tất yếu về mặt logic: giá trị lớn nhất của một mẫu con không bao giờ vượt quá giá trị lớn nhất của tổng thể, nên nó chỉ có thể bằng hoặc thấp hơn

V

. Vì vậy giá trị lớn nhất trong mẫu là một ước lượng chệch, luôn đánh giá thấp

V

4Bước 4 (ý b): Trung bình của 6 mẫu lần lượt là

1{,}5

;

2

;

2{,}5

;

2{,}5

;

3

;

3{,}5

. Cộng lại được

15

, nên trung bình của phân bố mẫu bằng

\frac{15}{6} = 2{,}5

. Giá trị này trùng khít với

\mu = 2{,}5

, do đó độ chệch bằng

0

và trung bình mẫu là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể. Đáng chú ý là từng mẫu riêng lẻ vẫn sai lệch khá nhiều, nhưng các sai lệch âm và dương triệt tiêu nhau nên tâm của phân bố vẫn đúng.

5Bước 5 (ý c): Với cỡ mẫu 3 có 4 mẫu là

\{1,2,3\}

\{1,2,4\}

\{1,3,4\}

\{2,3,4\}

, cho các giá trị lớn nhất

3, 4, 4, 4

và trung bình

\frac{15}{4} = 3{,}75

. Độ chệch rút từ

-0{,}67

xuống

-0{,}25

, nghĩa là tăng cỡ mẫu làm nhẹ bớt chứ không xóa được khuyết tật. Đây là điểm mấu chốt hay bị nhầm: chệch là tính chất của bản thân công thức thống kê, nên nó không tự biến mất khi ta lấy thêm dữ liệu.

Giá trị lớn nhất trong mẫu là ước lượng chệch của số hiệu lớn nhất trong kho máy chủ, vì tâm phân bố mẫu của nó chỉ nằm ở $3{,}33$ (với $n = 2$ ) và $3{,}75$ (với $n = 3$ ), đều thấp hơn giá trị thật $V = 4$ ; ngược lại, trung bình mẫu có tâm đúng bằng $\mu = 2{,}5$ nên là ước lượng không chệch. Vì vậy kiểm toán viên dùng trung bình mẫu thì yên tâm, còn dùng giá trị lớn nhất trong mẫu thì phải biết rằng mình đang có xu hướng báo cáo thiếu một cách hệ thống.

2Ví dụ 2/2

Một thống kê (statistic) được dùng làm ước lượng không chệch cho trung bình

\mu

của một tổng thể có độ lệch chuẩn

\sigma = 12

. Gọi

J

là phân bố mẫu của thống kê này ứng với các mẫu ngẫu nhiên cỡ

n = 40

, và gọi

K

là phân bố mẫu ứng với các mẫu ngẫu nhiên cỡ

n = 100

aSo sánh tâm và độ phân tán của $J$ với $K$ , kèm theo tính toán cụ thể.
bMột nhóm nghiên cứu khác thu dữ liệu bằng phiếu khảo sát tự nguyện trên mạng với $n = 1000$ người trả lời. Cỡ mẫu lớn như vậy có khắc phục được vấn đề chệch không?

1Bước 1 (ý a): Vì đề đã khẳng định thống kê là không chệch, trung bình của phân bố mẫu bằng đúng

\mu

với mọi cỡ mẫu. Do đó

J

và

K

có chung một tâm, và cỡ mẫu không hề dịch chuyển tâm ấy sang trái hay phải. Điều thay đổi theo cỡ mẫu chỉ là bề rộng của phân bố.

2Bước 2 (ý a): Độ phân tán được đo bằng sai số chuẩn (standard error) theo công thức

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

, nghĩa là độ lệch chuẩn của tổng thể chia cho căn bậc hai của cỡ mẫu. Thay số cho

J

\dfrac{12}{\sqrt{40}} \approx \dfrac{12}{6{,}325} \approx 1{,}897

. Thay số cho

K

\dfrac{12}{\sqrt{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2

3Bước 3 (ý a): So sánh hai kết quả, ta thấy

1{,}2 < 1{,}897

, cụ thể

\dfrac{1{,}897}{1{,}2} \approx 1{,}58 = \sqrt{2{,}5}

, đúng bằng căn bậc hai của tỉ số cỡ mẫu

100/40

. Vì vậy

K

hẹp hơn

J

khoảng

1{,}58

lần chứ không phải

2{,}5

lần: tăng cỡ mẫu gấp

2{,}5

lần chỉ thu hẹp phân bố theo căn bậc hai. Kết luận cần viết trong bài thi là hai phân bố cùng tâm tại

\mu

, nhưng

K

ít biến thiên hơn

J

4Bước 4 (ý b): Khảo sát tự nguyện chỉ thu được câu trả lời của những người đủ động lực để tự nguyện trả lời, mà nhóm này thường có quan điểm cực đoan hơn phần còn lại của tổng thể. Sai lệch đó nằm ngay trong cách chọn mẫu, nên nó lặp lại y hệt ở mọi lần khảo sát và đẩy tâm của phân bố mẫu ra khỏi

\mu

5Bước 5 (ý b): Do đó cỡ mẫu

n = 1000

chỉ làm sai số chuẩn nhỏ đi, tức là làm phân bố mẫu túm chặt hơn quanh một giá trị vốn đã sai. Nói cách khác, nhóm nghiên cứu sẽ nhận được những ước lượng rất nhất quán với nhau nhưng nhất quán sai. Chỉ có thiết kế lấy mẫu ngẫu nhiên tử tế mới sửa được chệch, còn tăng

n

thì không.

Với ý (a), $J$ và $K$ có cùng trung bình bằng $\mu$ vì thống kê là không chệch, nhưng $K$ có sai số chuẩn $1{,}2$ nhỏ hơn sai số chuẩn $1{,}897$ của $J$ , nên $K$ tập trung chặt hơn quanh $\mu$ . Với ý (b), khảo sát tự nguyện cỡ $1000$ vẫn cho ước lượng chệch: cỡ mẫu lớn làm giảm biến thiên chứ không kéo tâm phân bố về đúng tham số, nên câu trả lời là không khắc phục được.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyƯớc lượng điểm: chệch và không chệchSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân phối mẫu của trung bình mẫu $\bar{x}$Suy luận cho trung bình (dữ liệu định lượng) · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân phối mẫu của tỉ lệ mẫu p̂Suy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics

Dẫn tớikhảo sát mẫu

Liên quanước lượng tham số kỳ vọng phân phối mẫu (của một thống kê)

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

ước lượng không chệch (unbiased estimator)unbiased estimator

Khác nhau ở đâuƯớc lượng chệch có kỳ vọng lệch khỏi tham số theo một hướng cố định. Ước lượng không chệch có kỳ vọng đúng bằng tham số cần tìm.

Hay nhầm khiKhi đề hỏi vì sao chia cho

n-1

trong phương sai mẫu thay vì chia cho

n

sai số chọn mẫu (sampling error)sampling error

Khác nhau ở đâuƯớc lượng chệch sai lệch một cách hệ thống và không giảm khi tăng cỡ mẫu. Sai số chọn mẫu là dao động ngẫu nhiên quanh tham số và nhỏ dần khi mẫu lớn hơn.

Hay nhầm khiKhi đề cho một ước lượng lệch xa tham số và hỏi đó là do chệch hay do biến thiên ngẫu nhiên.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 316–317.