Đang tải bài học…

AP Statistics

ước lượng không chệch

unbiased estimator

Còn gọi: unbiased · ước lượng vô tư · không chệch · unbiased estimate

Ước lượng không chệch (unbiased estimator) là một thống kê mà kỳ vọng của phân phối mẫu bằng đúng tham số tổng thể cần ước lượng.

Khi ta dùng một mẫu ngẫu nhiên để suy ra tham số tổng thể, giá trị tính được từ mẫu gọi là ước lượng điểm (point estimate). Vì mỗi mẫu cho một giá trị khác nhau, các ước lượng này tạo thành một phân phối mẫu. Một ước lượng được gọi là không chệch khi trung bình của toàn bộ phân phối mẫu đó trùng khớp với tham số tổng thể mà ta đang muốn đo.

Cụ thể hơn, nếu $\hat{\theta}$ là thống kê dùng để ước lượng tham số $\theta$ , thì điều kiện không chệch được viết là $E(\hat{\theta}) = \theta$ . Ngược lại, khi $E(\hat{\theta}) \neq \theta$ , ta nói ước lượng đó chệch (biased) — phân phối mẫu bị lệch khỏi giá trị thực và luôn đánh giá cao hơn hoặc thấp hơn tham số. Chẳng hạn, nếu dùng $\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}$ để ước lượng phương sai tổng thể $\sigma^2$ , kết quả trung bình sẽ thấp hơn $\sigma^2$ , nên đây là ước lượng chệch.

Vì vậy, trong thực hành thống kê, ta chia cho $n - 1$ thay vì $n$ khi tính phương sai mẫu: $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ . Nhờ đó, $s^2$ trở thành ước lượng không chệch cho $\sigma^2$ . Tương tự, trung bình mẫu $\bar{x}$ là ước lượng không chệch cho trung bình tổng thể $\mu$ , và tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ là ước lượng không chệch cho tỉ lệ tổng thể $p$ . Việc chọn đúng ước lượng không chệch giúp khoảng tin cậy (confidence interval) và kiểm định giả thuyết (significance test) đáng tin cậy hơn.

Ký hiệu

\hat{\theta}

E(\hat{\theta}) = \theta

Trực giác: Giống như một cái cân được hiệu chuẩn đúng: mỗi lần cân một vật cho kết quả hơi khác nhau do sai số ngẫu nhiên, nhưng trung bình tất cả các lần cân sẽ trùng với khối lượng thật của vật đó.

Công thức

\htmlClass{fp-1}{E(\htmlClass{fp-0}{\hat{\theta}})} = \htmlClass{fp-2}{\theta}

Dùng để xác minh một thống kê mẫu có phải là ước lượng không chệch (unbiased estimator) hay không: nếu trung bình của phân phối lấy mẫu bằng đúng tham số tổng thể thì ước lượng đó không chệch.

Trong đó

\hat{\theta}

thống kê mẫu dùng để ước lượng tham số tổng thể

E(\hat{\theta})

kỳ vọng của thống kê mẫu, tức trung bình của phân phối lấy mẫu

\theta

tham số tổng thể cần ước lượng (ví dụ: trung bình, tỉ lệ, phương sai)

s^2 = \htmlClass{fp-3}{\frac{\htmlClass{fp-1}{\sum \htmlClass{fp-0}{(x_i - \bar{x})}^2}}{\htmlClass{fp-2}{n-1}}}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1947George W. BrownE. L. Lehmann

Ý tưởng "không chệch" mô tả một quy tắc ước lượng có kỳ vọng (expected value) đúng bằng giá trị thật của tham số (parameter) cần tìm; nhánh không chệch theo trung vị (median-unbiased) được George W. Brown làm sống lại trong bài viết năm 1947, và khái niệm không chệch tổng quát được E. L. Lehmann trình bày năm 1951.

Khi phải đoán một đại lượng của cả tổng thể từ một mẫu nhỏ, nhà thống kê không thể đòi hỏi lần đoán nào cũng trúng. Vì vậy người ta chuyển câu hỏi sang chỗ khác: nếu lặp lại việc lấy mẫu vô số lần, trung bình các lần đoán có rơi đúng vào giá trị thật hay không? Đó chính là tiêu chuẩn không chệch, và nó trở thành một tính chất khách quan của công thức ước lượng chứ không phải của một con số cụ thể. Năm 1947, trong một nghiên cứu về ước lượng với mẫu nhỏ, George W. Brown đề xuất dùng trung vị thay cho trung bình để định nghĩa tính không chệch, với lập luận rằng khi ấy ước lượng "đoán thiếu cũng thường xuyên như đoán thừa". Ít năm sau, E. L. Lehmann mở rộng ý tưởng thành một khái niệm không chệch tổng quát.

Thử nghiệm tương tác

Rút thêm mẫu, rồi tăng cỡ mẫu — nhìn đám chấm bó lại nhưng tâm không nhúc nhích

Hay hiểu sai

Không chệch không có nghĩa mỗi lần ước lượng đều trúng đúng tham số.

Tăng cỡ mẫu không làm ước lượng "bớt chệch" — độ chệch vốn đã bằng 0.

Đừng lẫn độ chệch (bias) của thống kê với thiên lệch do cách lấy mẫu.

Không chệch chưa đủ để kết luận ước lượng đó là tốt nhất.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một thống kê được dùng làm ước lượng không chệch cho tham số (parameter) là tỉ lệ dân số

p

. Trong một quần thể cử tri, tỉ lệ người ủng hộ một dự luật là

p = 0{,}60

. Gọi

J

là phân bố mẫu (sampling distribution) của tỉ lệ mẫu

\hat{p}

khi lấy các mẫu ngẫu nhiên cỡ

n = 40

, và gọi

K

là phân bố mẫu của cùng thống kê đó khi lấy các mẫu ngẫu nhiên cỡ

n = 100

aXác định trung bình của $J$ và của $K$ . Hai phân bố này có cùng tâm không? Giải thích.
bTính độ lệch chuẩn của $J$ và của $K$ , rồi so sánh độ biến thiên của hai phân bố.
cTừ hai kết quả trên, phát biểu điều gì chắc chắn đúng về $J$ và $K$ (dạng câu hỏi "must be true" của đề AP).

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Ước lượng điểm — chệch & không chệch” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikhoảng tin cậy

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

ước lượng (estimator)estimator

Khác nhau ở đâuƯớc lượng là bất kỳ thống kê nào dùng để suy ra tham số, còn ước lượng không chệch là tập con của chúng thỏa thêm điều kiện kỳ vọng bằng tham số

Hay nhầm khiđề hỏi 'thống kê nào là unbiased estimator của μ' — học sinh dễ chọn bất kỳ thống kê nào thay vì kiểm tra điều kiện kỳ vọng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 317, 328.

Đây là công thức phương sai mẫu (sample variance) — ví dụ điển hình nhất của ước lượng không chệch trong chương trình AP Statistics. Việc chia cho $n-1$ thay vì $n$ là lý do trực tiếp giúp $s^2$ ước lượng không chệch cho $\sigma^2$ .

Trong đó

s^2

phương sai mẫu

x_i

giá trị quan sát thứ

i

trong mẫu

\bar{x}

trung bình mẫu

n

cỡ mẫu

n-1

bậc tự do (degrees of freedom), dùng thay cho

n

để đảm bảo tính không chệch

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đi thẳng từ chữ "chệch", tức độ chệch (bias) — hiệu giữa kỳ vọng của ước lượng và giá trị thật của tham số. Một quy tắc ước lượng có độ chệch bằng không thì được gọi là không chệch, ngược lại thì bị chệch. Điều đáng lưu ý nằm ở chỗ chữ "chệch" ở đây không mang nghĩa thiên vị hay sai sót chủ quan như trong ngôn ngữ đời thường: nó là một đặc trưng toán học của công thức, không phải của người làm thống kê. Cũng vì vậy, nói "một ước lượng bị chệch" là cách nói tắt; chính xác hơn phải nói đó là con số sinh ra từ một công thức ước lượng bị chệch, bởi sai số lớn ở một lần tính không đủ kết luận công thức có chệch hay không.

Rút thêm mẫu, rồi tăng cỡ mẫu — nhìn đám chấm bó lại nhưng tâm không nhúc nhích

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Gặp câu so sánh hai phân bố mẫu khác cỡ, hãy viết ra đúng hai ý.

Thuộc sẵn hai cặp công thức về trung bình và độ lệch chuẩn của phân bố mẫu.

Trong bài tự luận, phải viết rõ cụm "trung bình của phân bố mẫu", không viết tắt ý.

Tần suất trong đề AP StatisticsHiếm gặp

Bước 1: Trước hết phải dịch đúng cụm "unbiased estimator" trong đề. Một thống kê là ước lượng không chệch khi trung bình của toàn bộ phân bố mẫu của nó đúng bằng tham số cần ước lượng, nghĩa là

\mu_{\hat{p}} = p

. Điều kiện này không nhắc gì tới cỡ mẫu, nên nó đúng với mọi

n

: cả

J

lẫn

K

đều có tâm tại

0{,}60

2Bước 2: Tiếp theo ta đo độ rộng của mỗi phân bố bằng sai số chuẩn (standard error) của tỉ lệ mẫu:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.

Công thức này nói rằng độ dao động của

\hat{p}

quanh

p

phụ thuộc vào cỡ mẫu qua căn bậc hai của

n

ở mẫu số.

3Bước 3: Thay số cho từng phân bố. Với

J

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{(0{,}60)(0{,}40)}{40}} = \sqrt{0{,}006} \approx 0{,}0775

. Với

K

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{(0{,}60)(0{,}40)}{100}} = \sqrt{0{,}0024} \approx 0{,}0490

. Vậy

K

hẹp hơn

J

; tỉ số hai độ lệch chuẩn là

0{,}0775 / 0{,}0490 \approx 1{,}58

, đúng bằng

\sqrt{100/40} = \sqrt{2{,}5}

4Bước 4: Cuối cùng, cần tránh cái bẫy quen thuộc của dạng câu này. Tăng cỡ mẫu không kéo tâm của phân bố mẫu đi đâu cả, vì tâm vốn đã nằm đúng chỗ ngay từ

n = 40

; thứ duy nhất thay đổi là bề rộng. Do đó những phương án kiểu "

K

có tâm gần tham số hơn

J

" đều sai, bởi hai phân bố có tâm trùng nhau.

Cả $J$ và $K$ đều có trung bình bằng $p = 0{,}60$ , vì thống kê đang xét là ước lượng không chệch nên tính chất này không phụ thuộc cỡ mẫu. Tuy nhiên $K$ có độ lệch chuẩn $\approx 0{,}0490$ , nhỏ hơn $\approx 0{,}0775$ của $J$ . Vậy điều chắc chắn đúng là: hai phân bố có cùng tâm tại tham số, nhưng $K$ ít biến thiên hơn $J$ — nghĩa là với mẫu cỡ 100, tỉ lệ mẫu tập trung sát $0{,}60$ hơn so với mẫu cỡ 40.

2Ví dụ 2/2

Một quần thể nhỏ chỉ gồm bốn giá trị:

1

3

5

7

. Trung bình của quần thể là

\mu = 4

và giá trị lớn nhất của quần thể là

V = 7

. Người ta lấy tất cả các mẫu ngẫu nhiên đơn cỡ

n = 2

(lấy không hoàn lại) từ quần thể này; có sáu mẫu như vậy, mỗi mẫu có cùng khả năng được chọn.

aLập phân bố mẫu của trung bình mẫu $\bar{x}$ và cho biết $\bar{x}$ có phải ước lượng không chệch của $\mu$ hay không.
bLập phân bố mẫu của giá trị lớn nhất trong mẫu và cho biết thống kê này có không chệch đối với $V$ hay không; nếu chệch thì chệch về phía nào.

1Bước 1: Liệt kê đầy đủ sáu mẫu cỡ hai rồi tính trung bình từng mẫu. Ta có

\{1,3\} \to 2

;

\{1,5\} \to 3

;

\{1,7\} \to 4

;

\{3,5\} \to 4

;

\{3,7\} \to 5

;

\{5,7\} \to 6

. Sáu giá trị này, mỗi giá trị có xác suất

1/6

, chính là phân bố mẫu của

\bar{x}

2Bước 2: Lấy trung bình của toàn bộ phân bố đó:

\mu_{\bar{x}} = \frac{2+3+4+4+5+6}{6} = \frac{24}{6} = 4.

Kết quả này bằng đúng

\mu = 4

, nên trung bình mẫu là ước lượng không chệch của trung bình quần thể. Nói cách khác, từng mẫu riêng lẻ có thể lệch xuống 2 hoặc lệch lên 6, nhưng sai lệch hai phía triệt tiêu nhau khi lấy trung bình trên mọi mẫu.

3Bước 3: Làm lại đúng quy trình ấy cho thống kê "giá trị lớn nhất trong mẫu". Sáu mẫu lần lượt cho các giá trị lớn nhất là

3

5

7

5

7

7

, và trung bình của chúng là

\frac{3+5+7+5+7+7}{6} = \frac{34}{6} \approx 5{,}67.

Con số này nhỏ hơn hẳn

V = 7

4Bước 4: So sánh hai kết quả để thấy bản chất của sự chệch. Giá trị lớn nhất của một mẫu không bao giờ vượt quá giá trị lớn nhất của quần thể, nên phân bố mẫu của nó chỉ có thể nằm bên trái

V

và không cách nào cân bằng lại được. Vì vậy đây là một ước lượng chệch (biased estimator), luôn có xu hướng đánh giá thấp

V

; tăng cỡ mẫu chỉ kéo tâm nhích lại gần

7

chứ không xóa được sự chệch chừng nào mẫu chưa phủ hết quần thể.

Trung bình mẫu có phân bố mẫu với tâm tại $4$ , đúng bằng trung bình quần thể, nên $\bar{x}$ là ước lượng không chệch của $\mu$ . Ngược lại, giá trị lớn nhất trong mẫu có phân bố mẫu với tâm khoảng $5{,}67$ , nằm lệch hẳn về bên trái $V = 7$ , nên đây là ước lượng chệch và chệch theo hướng đánh giá thấp giá trị lớn nhất thật của quần thể. Bài này cho thấy "không chệch" là phát biểu về vị trí tâm của phân bố mẫu, chứ không phải về việc một mẫu cụ thể ước lượng chính xác đến đâu.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.