Đang tải bài học…

AP Statistics

biểu đồ khảm

mosaic plot

Còn gọi: biểu đồ mosaic · mosaic display

Biểu đồ khảm (mosaic plot) là đồ thị hai biến phân loại, với chiều rộng cột tỉ lệ với cỡ nhóm và chiều cao ô tỉ lệ với tần số có điều kiện.

Biểu đồ khảm (mosaic plot) được xây dựng từ dữ liệu (data) trong bảng tần số hai chiều. Trục ngang chia mặt phẳng thành các cột, mỗi cột đại diện cho một giá trị của biến thứ nhất — chiều rộng cột tỉ lệ với tỉ lệ (proportion) nhóm đó trong toàn bộ mẫu, nghĩa là nhóm lớn hơn chiếm dải ngang rộng hơn. Bên trong mỗi cột, các ô xếp chồng lên nhau theo chiều dọc, sao cho chiều cao mỗi ô bằng tần số (frequency) có điều kiện của một giá trị thuộc biến thứ hai, tính riêng trong nhóm đó.

Chính đặc điểm này tạo nên sự khác biệt giữa biểu đồ khảm và biểu đồ cột (bar chart) phân đoạn thông thường. Trong biểu đồ cột phân đoạn, tất cả các cột có cùng chiều rộng, do đó thông tin về quy mô nhóm bị xóa đi. Ngược lại, biểu đồ khảm giữ nguyên sự chênh lệch kích thước giữa các nhóm, nhờ đó người đọc nhận ra đồng thời cả sự phân bổ của biến thứ nhất lẫn cấu trúc có điều kiện bên trong từng nhóm chỉ qua một hình duy nhất.

Vì vậy, để đọc biểu đồ khảm trong bài thi, cần chú ý hai điều. Thứ nhất, nếu các đường ngang nối thông qua tất cả các cột ở cùng một độ cao, phân phối có điều kiện của biến thứ hai là như nhau ở mọi nhóm — tức là không có mối liên hệ (association) giữa hai biến. Thứ hai, khi các đường ngang bị lệch giữa cột này và cột kia, đó là dấu hiệu hai biến có liên hệ với nhau và cần mô tả cụ thể từng nhóm có xu hướng ra sao.

Ký hiệu

\frac{f_{ij}}{f_{i\cdot}}

, trong đó

f_{ij}

là tần số ô hàng

i

cột

j

và

f_{i\cdot}

là tổng hàng

i

— đây là tần số có điều kiện xác định chiều cao của ô tương ứng.

Trực giác: Hình dung một tấm khảm gốm: mỗi cột rộng hay hẹp tùy số lượng người trong nhóm đó, còn chiều cao từng ô gạch trong cột cho biết trong nhóm ấy mỗi lựa chọn chiếm bao nhiêu phần.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1981John HartiganBeat KleinerGeorg von MayrCharles Joseph MinardMichael Friendly

Thử nghiệm tương tác

Chuyển bảng sang biểu đồ khảm — nhìn cột rộng hẹp khác nhau

Hay hiểu sai

Chiều rộng của cột trong biểu đồ khảm không phải để trang trí — nó chính là cỡ của từng nhóm.

Chiều cao của mỗi mảng màu là tỉ lệ, không phải số người.

Cột rộng hẹp khác nhau không chứng tỏ hai biến có liên hệ.

Ranh giới lệch nhau một chút chưa đủ để khẳng định hai biến có liên hệ.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Sở Y tế một thành phố mở chiến dịch "Hydration and Health" nhằm khuyến khích người trưởng thành uống đủ nước mỗi ngày, sau khi các bác sĩ báo cáo rằng nhiều người thay nước lọc bằng cà phê và trà. Sở khảo sát một mẫu ngẫu nhiên gồm 300 người trưởng thành, ghi lại mức tiêu thụ đồ uống chứa caffeine mỗi ngày (thấp, trung bình, cao) và tình trạng uống đủ nước theo khuyến nghị (đủ, không đủ). Kết quả cho ở bảng hai chiều (two-way table) sau: nhóm caffeine thấp có 120 người, trong đó 84 người uống đủ nước; nhóm trung bình có 110 người, trong đó 55 người uống đủ nước; nhóm cao có 70 người, trong đó 21 người uống đủ nước. Sở muốn trình bày dữ liệu này bằng một biểu đồ khảm với ba cột ứng với ba mức caffeine.

aTính bề rộng của ba cột trong biểu đồ khảm và giải thích bề rộng đó biểu diễn điều gì.
bTính chiều cao của phần "đủ nước" trong mỗi cột, rồi kiểm tra rằng diện tích ô ứng với nhóm caffeine thấp và uống đủ nước đúng bằng tỷ lệ của ô đó trong toàn mẫu.
c

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Bảng & đồ thị cho hai biến phân loại” — khoá AP Statistics

Cần trướcbảng liên hợp tỉ lệ

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biểu đồ cộtbar chart

Khác nhau ở đâuBiểu đồ cột so sánh tần số hoặc tỉ lệ bằng chiều cao của các thanh riêng lẻ; biểu đồ khảm so sánh tỉ lệ đồng thời của hai biến bằng diện tích hình chữ nhật, nên hiện được cả phân phối biên lẫn phân phối có điều kiện trên cùng một hình

Hay nhầm khiđề cho bảng hai chiều và hỏi nên dùng biểu đồ nào để so sánh tỉ lệ có điều kiện giữa các hàng — học sinh chọn biểu đồ cột ghép thay vì biểu đồ khảm

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 55, 70, 154.

Biểu đồ khảm được John Hartigan và Beat Kleiner giới thiệu năm 1981 trong bài "Mosaics for contingency tables", nhằm biểu diễn bằng hình ảnh các bảng chéo (contingency table) của dữ liệu phân loại.

Khi số liệu được xếp thành bảng chéo với nhiều biến phân loại, người đọc phải dò từng con số mới thấy được mối liên hệ giữa các biến. Năm 1981, Hartigan và Kleiner đề xuất cách chia đệ quy một hình vuông đơn vị thành các ô chữ nhật sao cho diện tích mỗi ô tỉ lệ với tần số ô (cell frequency) tương ứng, nhờ đó cấu trúc của bảng hiện ra thành hình. Ý tưởng dùng diện tích hình chữ nhật để biểu thị tích của hai đại lượng vốn đã có từ trước: Charles Joseph Minard năm 1844 dùng các thanh chia và có bề rộng thay đổi trong "Tableau-graphique", còn dạng khảm sớm nhất được biết đến thuộc về Georg von Mayr năm 1877.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi bắt nguồn từ chính hình dáng của đồ thị. Hình vuông ban đầu bị cắt liên tiếp theo từng biến, mỗi lần cắt lại sinh ra những mảnh chữ nhật nhỏ hơn, và kết quả cuối cùng là một mặt phẳng lát kín bằng các ô gạch (tiles) lớn nhỏ khác nhau — đúng như một bức tranh khảm. Vì vậy bài báo gốc năm 1981 đặt tựa là "Mosaics for contingency tables", và chữ "mosaic" đi theo dạng đồ thị này từ đó đến nay. Trong tiếng Việt, "khảm" giữ nguyên hình ảnh ấy: các mảnh ghép lại thành một tổng thể, mà diện tích mỗi mảnh mới là thông tin cần đọc, chứ không phải chiều dài hay chiều rộng riêng lẻ.

Chuyển bảng sang biểu đồ khảm — nhìn cột rộng hẹp khác nhau

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Khi đề bảo mô tả liên hệ, phải viết ra ít nhất hai tỉ lệ cụ thể kèm ngữ cảnh.

Xác định biến nào nằm ở trục ngang trước khi đọc bất cứ con số nào.

Nếu đề hỏi biểu đồ khảm hơn gì biểu đồ cột chồng, hãy nêu thẳng chiều rộng.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Dựa vào biểu đồ khảm, mô tả mối liên hệ (association) giữa mức tiêu thụ caffeine và tình trạng uống đủ nước của 300 người trong nghiên cứu.

1Bước 1: Trước hết cần thấy rằng bề rộng mỗi cột của biểu đồ khảm được quy định bởi tổng số người trong nhóm caffeine tương ứng, tức là bởi tỷ lệ biên của biến xếp theo trục ngang. Với cỡ mẫu

n=300

, ta có

120/300=0{,}40

110/300\approx 0{,}367

và

70/300\approx 0{,}233

. Vì vậy cột "thấp" chiếm 40% chiều ngang, cột "trung bình" chiếm khoảng 36,7% và cột "cao" chỉ chiếm khoảng 23,3%. Bề rộng ở đây không nói gì về việc uống đủ nước; nó chỉ cho biết mỗi mức caffeine chiếm bao nhiêu phần trong mẫu, và đó chính là thông tin mà biểu đồ cột chồng theo tỷ lệ (segmented bar chart) đã làm mất vì mọi cột đều rộng như nhau.

2Bước 2: Tiếp theo, chiều cao của phần "đủ nước" trong mỗi cột là tỷ lệ có điều kiện (conditional relative frequency) tính theo từng nhóm caffeine, nghĩa là lấy số người đủ nước chia cho tổng số người của chính nhóm đó. Ta được

84/120=0{,}70

cho nhóm thấp,

55/110=0{,}50

cho nhóm trung bình và

21/70=0{,}30

cho nhóm cao. Phần còn lại của mỗi cột là tỷ lệ không đủ nước, lần lượt bằng

0{,}30

0{,}50

và

0{,}70

, nên mỗi cột luôn cao đủ 100%. Nhờ cách chia này, ba cột so sánh được với nhau ngay cả khi số người trong ba nhóm rất chênh lệch.

3Bước 3: Bây giờ kiểm tra ý nghĩa diện tích. Ô ứng với "caffeine thấp và uống đủ nước" có bề rộng

0{,}40

và chiều cao

0{,}70

, nên diện tích của nó là

0{,}40\times 0{,}70=0{,}28

. Mặt khác, tỷ lệ chung của ô này trong toàn mẫu là

84/300=0{,}28

, đúng bằng diện tích vừa tính. Do đó trong biểu đồ khảm, diện tích mỗi ô chính là tỷ lệ chung của ô tương ứng trong bảng hai chiều, và đây là điểm khiến loại biểu đồ này hiển thị được đồng thời cả cỡ nhóm lẫn cơ cấu bên trong nhóm.

4Bước 4: Cuối cùng, so sánh chiều cao các phần "đủ nước" giữa ba cột để trả lời câu hỏi về mối liên hệ. Chiều cao giảm đều từ

0{,}70

xuống

0{,}50

rồi xuống

0{,}30

khi đi từ mức caffeine thấp sang trung bình rồi sang cao, tức là các đoạn phân chia không nằm thẳng hàng ngang. Nếu hai biến không có mối liên hệ thì ba tỷ lệ này phải xấp xỉ bằng nhau, mà ở đây khoảng cách tới 40 điểm phần trăm nên không thể coi là dao động ngẫu nhiên nhỏ. Khi viết câu trả lời, phải nêu con số cụ thể kèm ngữ cảnh chứ không chỉ nói chung chung là "có liên hệ".

Ba cột có bề rộng $0{,}40$ , $0{,}367$ và $0{,}233$ , phản ánh việc nhóm caffeine thấp đông nhất còn nhóm caffeine cao ít người nhất trong 300 người được khảo sát. Phần "đủ nước" cao lần lượt $0{,}70$ , $0{,}50$ và $0{,}30$ , và ô "thấp – đủ nước" có diện tích $0{,}40\times0{,}70=0{,}28$ , khớp với tỷ lệ chung $84/300=0{,}28$ . Biểu đồ khảm cho thấy có mối liên hệ giữa mức tiêu thụ caffeine và tình trạng uống đủ nước: mức caffeine càng cao thì tỷ lệ người uống đủ nước càng thấp, từ 70% ở nhóm dùng ít caffeine xuống 50% ở nhóm trung bình và chỉ còn 30% ở nhóm dùng nhiều caffeine. Vì đây là dữ liệu quan sát nên kết luận chỉ dừng ở mức có liên hệ trong mẫu 300 người này, không được phát biểu rằng caffeine gây ra tình trạng thiếu nước.

2Ví dụ 2/2

Một chuỗi cửa hàng khảo sát 400 khách hàng để tìm hiểu xem cách đặt hàng có liên quan gì đến mức hài lòng hay không. Trong số này, 160 khách đặt qua ứng dụng điện thoại và 120 người trong đó nói là hài lòng; 140 khách đặt qua trang web và 105 người trong đó nói là hài lòng; 100 khách đặt trực tiếp tại quầy và 75 người trong đó nói là hài lòng. Bộ phận phân tích vẽ một biểu đồ khảm với ba cột ứng với ba cách đặt hàng.

aTính bề rộng ba cột và chiều cao phần "hài lòng" của mỗi cột.
bHình dạng của biểu đồ khảm cho thấy điều gì về mối liên hệ giữa cách đặt hàng và mức hài lòng?

1Bước 1: Bề rộng mỗi cột lấy theo tỷ lệ khách hàng của từng cách đặt hàng trên tổng

n=400

, cho ta

160/400=0{,}40

cho ứng dụng,

140/400=0{,}35

cho trang web và

100/400=0{,}25

cho quầy. Ba bề rộng này cộng lại bằng

1

, đúng như yêu cầu của một biểu đồ khảm. Nhìn vào hình, người đọc lập tức biết kênh ứng dụng đông khách nhất và kênh tại quầy ít khách nhất mà không cần tra bảng số.

2Bước 2: Chiều cao phần "hài lòng" trong mỗi cột được tính riêng trong từng nhóm:

120/160=0{,}75

105/140=0{,}75

và

75/100=0{,}75

. Ba giá trị này bằng nhau, nên ba đoạn phân chia giữa phần hài lòng và phần không hài lòng nằm trên cùng một đường ngang. Hình vẽ vì thế trông như một hình chữ nhật lớn bị cắt ngang một nhát duy nhất, chỉ khác nhau ở các vạch dọc chia cột.

3Bước 3: Khi các đoạn nằm thẳng hàng như vậy, tỷ lệ hài lòng không thay đổi theo cách đặt hàng, tức là biết khách dùng kênh nào cũng không giúp dự đoán tốt hơn về mức hài lòng của họ. Kiểm tra bằng diện tích cũng thấy điều đó: ô "ứng dụng – hài lòng" có diện tích

0{,}40\times0{,}75=0{,}30

, đúng bằng tích của tỷ lệ biên

0{,}40

và tỷ lệ hài lòng chung

300/400=0{,}75

. Đây chính là dấu hiệu của tính độc lập giữa hai biến phân loại (categorical variables) trong dữ liệu mẫu.

Ba cột rộng $0{,}40$ , $0{,}35$ và $0{,}25$ , còn phần "hài lòng" của cả ba cột đều cao $0{,}75$ . Vì các đoạn phân chia thẳng hàng, biểu đồ khảm cho thấy không có bằng chứng về mối liên hệ giữa cách đặt hàng và mức hài lòng: dù đặt qua ứng dụng, qua trang web hay tại quầy, đều có khoảng 75% khách hàng nói là hài lòng. Điều duy nhất mà biểu đồ tiết lộ thêm so với việc chỉ nhìn ba tỷ lệ là cỡ của từng nhóm khách, thể hiện qua bề rộng cột.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.