AP Statistics

xác suất đồng thời

joint probability

Còn gọi: joint probability

Xác suất đồng thời là xác suất hai biến cố cùng xảy ra một lúc, ký hiệu P(A và B) hoặc P(A ∩ B).

Khi một phép thử ngẫu nhiên liên quan đến hai biến cố cùng lúc, câu hỏi tự nhiên đặt ra không chỉ là mỗi biến cố riêng lẻ có xác suất bao nhiêu, mà cả hai cùng xảy ra thì xác suất là bao nhiêu. Xác suất đồng thời chính là đại lượng trả lời câu hỏi đó, được viết dưới dạng $P(A \cap B)$ , đọc là xác suất của giao giữa biến cố A và biến cố B. Vì vậy, trong đề thi, đại lượng này thường xuất hiện dưới dạng một ô cụ thể bên trong bảng hai chiều, nơi hàng biểu diễn một biến phân loại và cột biểu diễn biến phân loại còn lại.

Về mặt tính toán, xác suất đồng thời gắn liền với quy tắc nhân xác suất (multiplication rule). Nếu hai biến cố độc lập (independent events) với nhau thì $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , nghĩa là việc A xảy ra hay không không ảnh hưởng gì đến khả năng B xảy ra. Ngược lại, khi A và B không độc lập, ta phải dùng công thức tổng quát hơn dựa trên xác suất có điều kiện (conditional probability): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ . Nhờ công thức này, xác suất đồng thời trở thành cầu nối để kiểm tra xem hai biến phân loại có độc lập với nhau hay không, một thao tác rất hay gặp khi phân tích bảng tần số.

Điều học sinh dễ nhầm là gộp xác suất đồng thời với xác suất có điều kiện. Xác suất đồng thời trả lời câu hỏi "cả hai cùng xảy ra so với toàn bộ không gian mẫu (sample space)", trong khi xác suất có điều kiện $P(B \mid A)$ chỉ xét trong phạm vi đã biết A xảy ra. Do đó, khi đọc bảng hai chiều, học sinh cần phân biệt rõ mẫu số là tổng toàn bảng hay chỉ tổng của một hàng, một cột; nhầm mẫu số là lỗi phổ biến nhất khi tính loại xác suất này trong bài thi.

Công thức

P(A \cap B) = \htmlClass{fp-0}{P(A)}\,\htmlClass{fp-1}{P(B \mid A)}

Dùng khi cần tính xác suất để hai biến cố cùng xảy ra đồng thời, đặc biệt khi biết xác suất có điều kiện giữa chúng; nếu $A$ và $B$ độc lập thì công thức rút gọn thành $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

Trong đó

P(A \cap B)

xác suất đồng thời của

A

và

B

, tức xác suất cả hai cùng xảy ra

P(A)

xác suất biên (marginal) của

A

P(B \mid A)

xác suất có điều kiện của

B

khi biết

A

đã xảy ra

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 17Blaise PascalPierre de FermatChristiaan HuygensAntoine Gombaud, Chevalier de Méré

Xác suất đồng thời là một nhánh phát triển từ lý thuyết xác suất hình thành ở châu Âu thế kỷ 17, khi Blaise Pascal và Pierre de Fermat trao đổi thư từ để giải các bài toán cờ bạc; ý tưởng xét nhiều biến ngẫu nhiên cùng lúc trên một không gian xác suất về sau được phát biểu thành phân phối đồng thời.

Câu chuyện quen thuộc nhất về khởi nguồn của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những câu hỏi cờ bạc mà Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, đặt ra cho Blaise Pascal. Trong quá trình giải các bài toán đó cùng Pierre de Fermat, người ta buộc phải tính khả năng của những kết cục xảy ra đồng thời — chẳng hạn con súc sắc thứ nhất ra mặt này trong khi con thứ hai ra mặt kia. Christiaan Huygens tiếp nối hai ông và cho xuất bản năm 1657 cuốn sách đầu tiên dành trọn cho xác suất, đưa ra lời giải hệ thống cùng các công thức tính khả năng của những kết cục khác nhau. Nhờ đó xác suất trở thành một ngành toán học chính thức, và việc xét đồng thời nhiều đại lượng ngẫu nhiên dần trở thành thao tác thường trực.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "đồng thời" trong tên gọi mô tả đúng điều mà khái niệm này làm: thay vì nhìn từng đại lượng riêng lẻ, ta đặt các biến ngẫu nhiên cùng lên một không gian xác suất (probability space) và hỏi về khả năng chúng cùng rơi vào những giá trị đã chỉ định. Khi chỉ có hai biến, phân phối tương ứng được gọi là phân phối hai biến (bivariate distribution), còn với số biến bất kỳ thì dùng tên phân phối nhiều biến (multivariate distribution) — nghĩa là cái tên phản ánh số lượng đại lượng được xét chung chứ không phản ánh một tính chất toán học nào khác. Chính vì các biến được xét chung mà ta mới phát biểu được điều kiện độc lập (independent) dưới dạng tích: $P(X=x \text{ and } Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$ Đẳng thức này nói rằng hai biến độc lập khi và chỉ khi xác suất đồng thời của mọi cặp giá trị bằng tích hai xác suất riêng lẻ. Bản thân từ "probability" thì có gốc xa hơn nhiều: nó đi từ tiếng Latin probabilis mà Cicero từng dùng với nghĩa "đáng tin, được số đông chấp nhận", qua tiếng Pháp cổ probabilite, và mãi đến năm 1718 mới mang nghĩa toán học như ngày nay.

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Bấm ô "nữ và đi xe buýt" — đổi mẫu số, ba xác suất hiện ra

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Xác suất đồng thời không phải xác suất có điều kiện.

Mẹo phòng thi

Trước khi nhân hai xác suất, phải viết một câu biện minh cho tính độc lập.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học khảo sát toàn bộ 300 học sinh khối 12 về hai thói quen: có đi xe buýt đến trường hay không, và có ăn sáng trước khi đến trường hay không. Kết quả được tóm tắt trong bảng hai chiều (two-way table) dưới đây. | | Ăn sáng | Không ăn sáng | Tổng | |---|---|---|---|Đi xe buýt8436120Không đi xe buýt10278180Tổng186114300 Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số 300 học sinh này.

aTính xác suất học sinh được chọn vừa đi xe buýt vừa có ăn sáng. Xác suất này thuộc loại nào?
bTính xác suất học sinh được chọn có ăn sáng, biết rằng em đó đi xe buýt.
cHai biến cố "đi xe buýt" và "có ăn sáng" có độc lập với nhau không? Giải thích bằng số liệu.

1Bước 1: Trước hết hãy đặt ký hiệu cho gọn, vì mọi công thức phía sau đều dựa vào đó. Gọi

B

là biến cố học sinh được chọn đi xe buýt và

A

là biến cố học sinh đó có ăn sáng. Tổng số học sinh là

n = 300

, và vì mỗi học sinh có cùng cơ hội được chọn nên mọi xác suất đều tính theo tỉ số "số học sinh thỏa điều kiện chia cho 300". Cần phân biệt ngay từ đầu ba ô số trong bảng: ô giao nhau cho xác suất đồng thời, ô ở hàng hoặc cột "Tổng" cho xác suất biên (marginal probability), còn khi ta thu hẹp không gian mẫu vào một hàng hay một cột thì được xác suất có điều kiện (conditional probability).

2Bước 2: Ý (a) hỏi đúng ô giao của hàng "Đi xe buýt" và cột "Ăn sáng", tức là 84 học sinh thỏa đồng thời cả hai tính chất. Do đó

P(B \cap A) = \frac{84}{300} = 0{,}28.

Con số

0{,}28

nói rằng nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh khối 12 của trường, có 28% khả năng em đó vừa đi xe buýt vừa ăn sáng. Đây chính là xác suất đồng thời, vì cả hai điều kiện phải cùng xảy ra trên một cá thể duy nhất, và mẫu số vẫn là toàn bộ 300 học sinh chứ không bị thu hẹp.

3Bước 3: Ý (b) thì khác hẳn: cụm "biết rằng em đó đi xe buýt" cắt bỏ 180 học sinh không đi xe buýt, nên không gian mẫu chỉ còn 120 em ở hàng thứ nhất. Trong 120 em ấy có 84 em ăn sáng, vì vậy

P(A \mid B) = \frac{84}{120} = 0{,}70.

Có thể thu được cùng kết quả bằng định nghĩa

P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B) = 0{,}28 / 0{,}40 = 0{,}70

, và sự trùng khớp này cho thấy xác suất đồng thời và xác suất có điều kiện là hai mặt của cùng một quan hệ chứ không phải hai khái niệm rời nhau.

4Bước 4: Để trả lời ý (c), ta so sánh xác suất đồng thời thực tế với tích của hai xác suất biên. Ở đây

P(B) = 120/300 = 0{,}40

và

P(A) = 186/300 = 0{,}62

, nên nếu hai biến cố độc lập thì phải có

P(B)P(A) = 0{,}40 \times 0{,}62 = 0{,}248

. Tuy nhiên giá trị quan sát được là

0{,}28

, lớn hơn

0{,}248

, nên điều kiện độc lập không thỏa. Cách kiểm tra thứ hai cũng cho kết luận như vậy:

P(A \mid B) = 0{,}70

trong khi

P(A) = 0{,}62

, tức là biết một học sinh đi xe buýt đã làm thay đổi khả năng em đó ăn sáng.

Xác suất một học sinh khối 12 được chọn ngẫu nhiên vừa đi xe buýt vừa ăn sáng là $0{,}28$ ; nếu đã biết em đó đi xe buýt thì xác suất em ăn sáng tăng lên $0{,}70$ . Vì $P(B \cap A) = 0{,}28 \neq 0{,}248 = P(B)P(A)$ , hai biến cố "đi xe buýt" và "có ăn sáng" không độc lập: nhóm học sinh đi xe buýt có tỉ lệ ăn sáng cao hơn rõ rệt so với toàn khối.

2Ví dụ 2/2

Một hộp đựng 12 bóng đèn trông giống hệt nhau, trong đó có 3 bóng bị hỏng và 9 bóng còn tốt. Một kỹ thuật viên lấy ra 2 bóng để kiểm tra.

aNếu hai bóng được lấy lần lượt và không hoàn lại, tính xác suất cả hai bóng đều hỏng.
bNếu bóng thứ nhất được trả lại hộp trước khi lấy bóng thứ hai, tính xác suất cả hai bóng đều hỏng và giải thích vì sao kết quả khác câu (a).

1Bước 1: Gọi

H_1

là biến cố bóng lấy lần thứ nhất bị hỏng và

H_2

là biến cố bóng lấy lần thứ hai bị hỏng. Điều đề bài hỏi là xác suất đồng thời

P(H_1 \cap H_2)

, tức là khả năng cả hai lần lấy đều rơi vào bóng hỏng. Công cụ chung cho mọi tình huống kiểu này là quy tắc nhân tổng quát (general multiplication rule)

P(H_1 \cap H_2) = P(H_1) \cdot P(H_2 \mid H_1),

trong đó thừa số thứ hai buộc ta phải nhìn lại hộp sau khi lần lấy thứ nhất đã xảy ra.

2Bước 2: Với cách lấy không hoàn lại ở ý (a), lần đầu hộp còn nguyên 12 bóng nên

P(H_1) = 3/12 = 0{,}25

. Sau khi một bóng hỏng đã bị lấy ra, hộp chỉ còn 11 bóng và trong đó còn 2 bóng hỏng, do đó

P(H_2 \mid H_1) = 2/11

. Nhân hai thừa số lại:

P(H_1 \cap H_2) = \frac{3}{12} \times \frac{2}{11} = \frac{6}{132} = \frac{1}{22} \approx 0{,}0455.

Vậy chỉ khoảng 4,55% số lần kiểm tra sẽ gặp trường hợp cả hai bóng đều hỏng.

3Bước 3: Ở ý (b), bóng thứ nhất được trả lại nên hộp trở về đúng trạng thái ban đầu trước lần lấy thứ hai. Khi đó kết quả lần đầu không còn ảnh hưởng gì đến lần sau, nghĩa là

P(H_2 \mid H_1) = P(H_2) = 0{,}25

và quy tắc nhân rút gọn thành tích của hai xác suất riêng lẻ:

P(H_1 \cap H_2) = 0{,}25 \times 0{,}25 = 0{,}0625.

Giá trị

0{,}0625

lớn hơn

0{,}0455

vì trong cách lấy không hoàn lại, việc rút đi một bóng hỏng đã làm nghèo kho bóng hỏng còn lại, kéo xác suất của lần thứ hai từ

0{,}25

xuống

2/11 \approx 0{,}182

Khi lấy không hoàn lại, xác suất đồng thời để cả hai bóng đều hỏng là $1/22 \approx 0{,}0455$ ; khi có hoàn lại, xác suất này là $0{,}0625$ . Hai kết quả khác nhau cho thấy xác suất đồng thời luôn được tính bằng quy tắc nhân tổng quát, và chỉ khi các lần lấy độc lập thì mới được phép thay xác suất có điều kiện bằng xác suất ban đầu để nhân trực tiếp hai con số.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Cần trướcbiến cố xác suất

Dẫn tớiquy tắc nhân xác suất biến cố độc lập

Liên quanxác suất có điều kiện

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

xác suất có điều kiện (conditional probability)conditional probability

Khác nhau ở đâuXác suất đồng thời lấy toàn bộ không gian mẫu làm mẫu số. Xác suất có điều kiện chỉ lấy phần không gian mà biến cố điều kiện đã xảy ra làm mẫu số.

Hay nhầm khiĐề cho bảng hai chiều và hỏi "chọn ngẫu nhiên một người, xác suất người đó vừa là nam vừa hút thuốc" so với "biết người đó là nam, xác suất hút thuốc" — câu đầu chia cho tổng toàn bảng, câu sau chia cho tổng hàng nam.

tần số tương đối đồng thời (joint relative frequency)joint relative frequency

Khác nhau ở đâuXác suất đồng thời là giá trị lý thuyết gán cho hai biến cố cùng xảy ra. Tần số tương đối đồng thời là tỉ lệ đếm được từ một ô của bảng dữ liệu đã thu thập.

Hay nhầm khiKhi đề đưa bảng dữ liệu mẫu, nhiều thí sinh gọi tỉ lệ trong ô là xác suất và kết luận độc lập ngay, trong khi số liệu mẫu chỉ ước lượng cho xác suất của tổng thể.