quy tắc nhân xác suất

Chỉ được nhân trực tiếp $P(A)P(B)$ khi hai biến cố độc lập.

Dạng tổng quát của quy tắc nhân luôn là $P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)$, trong đó xác suất của biến cố thứ hai phải được tính lại trên điều kiện biến cố thứ nhất đã xảy ra. Khi và chỉ khi hai biến cố độc lập (independent events) thì $P(B\mid A)=P(B)$, lúc đó công thức mới rút gọn thành tích hai xác suất ban đầu. Vì vậy trước khi nhân, học sinh phải tự hỏi biết A xảy ra có làm thay đổi khả năng của B hay không; nếu có thay đổi mà vẫn nhân thẳng thì kết quả sai ngay từ dòng đầu.

Xung khắc không phải là độc lập — hai khái niệm này gần như trái ngược nhau.

Hai biến cố xung khắc (mutually exclusive) thì không thể cùng xảy ra, nên $P(A\cap B)=0$; biết A đã xảy ra là biết chắc B không xảy ra, tức $P(B\mid A)=0\neq P(B)$. Do đó hai biến cố xung khắc có xác suất dương thì chắc chắn phụ thuộc nhau, không bao giờ độc lập. Lỗi thường gặp là thấy chữ "không thể cùng xảy ra" rồi vẫn nhân $P(A)P(B)$ ra một số dương, trong khi đáp án đúng bằng 0.

Rút không hoàn lại thì các lần rút không độc lập.

Khi lấy ra một quân bài, một viên bi hay một học sinh mà không trả lại, tổng số phần tử giảm đi và thành phần còn lại thay đổi, nên mẫu số của lần sau khác mẫu số của lần đầu. Chẳng hạn rút liên tiếp hai quân át từ bộ bài là $\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}$ chứ không phải $\left(\frac{4}{52}\right)^2$. Tuy nhiên, nếu mẫu lấy ra nhỏ hơn 10% kích thước tổng thể thì điều kiện 10% (10% condition) cho phép coi các lần chọn là gần độc lập và dùng phép nhân đơn giản như một xấp xỉ.

Đừng lẫn $P(A\cap B)$ với $P(A\mid B)$.

Xác suất giao là tỉ lệ của những cá thể vừa có A vừa có B trên TOÀN BỘ tổng thể, còn xác suất có điều kiện (conditional probability) chỉ xét trong nhóm đã thỏa B, tức mẫu số bị thu hẹp lại còn $P(B)$. Quan hệ giữa chúng chính là quy tắc nhân viết ngược: $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Khi đọc đề bằng tiếng Anh, cụm "and" báo hiệu giao, còn "given that", "among those who", "of the students who" báo hiệu điều kiện; nhầm hai cụm này là mất trọn câu dù tính toán không sai chỗ nào.

Gặp cụm "at least one", hãy nghĩ ngay đến phần bù.

Tính trực tiếp phải cộng nhiều trường hợp rời rạc, còn dùng phần bù chỉ cần một dòng: $P(\text{at least one})=1-P(\text{none})$, trong đó $P(\text{none})$ là tích các xác suất thất bại qua từng lần thử độc lập. Ví dụ với $n$ lần thử độc lập cùng xác suất thành công $p$ thì kết quả là $1-(1-p)^n$. Mẹo này xuất hiện rất đều ở phần trắc nghiệm và tiết kiệm được vài phút quý giá.

Khi trình bày tự luận, phải viết ra dòng kiểm tra tính độc lập trước khi nhân.

Giám khảo chấm theo lập luận chứ không chỉ theo con số, nên chỉ ghi mỗi phép tính $0.6\times0.5=0.3$ có thể bị trừ điểm dù đáp số đúng. Hãy viết rõ lý do: các lần thử là độc lập vì có hoàn lại, hoặc vì cỡ mẫu nhỏ hơn 10% tổng thể, hoặc vì đề đã nêu giả thiết đó. Một câu ngắn bằng tiếng Anh như "The trials are independent, so we may multiply" là đủ để giữ trọn điểm phần lập luận.

Với bài nhiều giai đoạn, vẽ sơ đồ cây và nhân dọc theo từng nhánh.

Xác suất ghi trên nhánh cấp hai đã là xác suất có điều kiện, nên tích các nhánh dọc theo một đường đi chính là $P(A\cap B)$ theo đúng quy tắc nhân. Sau đó cộng các nhánh cùng thỏa yêu cầu để ra xác suất toàn phần, và nếu đề hỏi ngược chiều thì lấy nhánh mong muốn chia cho tổng vừa cộng. Kiểm tra nhanh bằng cách cộng tất cả kết quả cuối cây: tổng phải bằng 1, nếu lệch thì chắc chắn có một mẫu số bị dùng sai.