Đang tải bài học…

AP Statistics

xác suất của biến cố

probability of an event

Xác suất của biến cố là một số từ 0 đến 1 đo mức độ chắc chắn rằng biến cố đó sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện.

Mỗi biến cố gắn liền với một phép thử ngẫu nhiên đều có một con số đo lường khả năng nó xuất hiện, gọi là xác suất. Khi mọi kết quả của phép thử đều đồng khả năng, xác suất của biến cố $A$ được tính bằng thương số giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$

Trong đó $n(A)$ là số phần tử của biến cố $A$ và $n(S)$ là số phần tử của không gian mẫu. Chẳng hạn, khi gieo một con xúc xắc cân đối, xác suất để mặt chẵn xuất hiện là $3/6 = 0{,}5$ vì có ba mặt chẵn trong sáu mặt.

Do mọi biến cố đều có số kết quả thuận lợi nằm giữa 0 và $n(S)$ , xác suất luôn thỏa mãn $0 \leq P(A) \leq 1$ . Biến cố không thể có xác suất bằng 0, ngược lại biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1. Vì vậy, biến cố bù (complement) — biến cố "không $A$ " — có xác suất $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ , nghĩa là biết xác suất xảy ra ta suy ra ngay xác suất không xảy ra. Khi hai biến cố xung khắc (mutually exclusive), tức chúng không thể cùng xảy ra, xác suất của hợp bằng tổng hai xác suất riêng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Nhờ luật số lớn (law of large numbers), xác suất lý thuyết không chỉ nằm trên giấy. Khi lặp lại phép thử ngày càng nhiều, tần suất tương đối (relative frequency) xuất hiện của biến cố sẽ tiến dần về xác suất thực của nó. Đó là lý do ta có thể ước lượng xác suất bằng cách lặp lại thực nghiệm và đếm số lần biến cố xảy ra.

Ký hiệu

P(A)

Trực giác: Xác suất giống như "điểm dự báo" của một sự kiện: trời cho cơn mưa xác suất 0,8 nghĩa là trong mười hoàn cảnh tương tự, mưa đến tám lần.

Công thức

P(A) = \htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n(A)}}{n(S)}}

Dùng khi không gian mẫu có các kết quả đồng khả năng (equally likely outcomes): xác suất bằng số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể xảy ra.

Trong đó

P(A)

xác suất của biến cố A, nhận giá trị trong đoạn [0, 1]

n(A)

số kết quả thuận lợi, tức số phần tử của biến cố A

n(S)

tổng số kết quả có thể xảy ra, tức số phần tử của không gian mẫu S

P(A) = 1 - P(A^c)

Dùng khi tính xác suất của biến cố A dễ dàng hơn qua phần bù (complement) của nó: xác suất A xảy ra bằng 1 trừ xác suất A không xảy ra.

Trong đó

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 16 (Cardano) — nền tảng tiên đề năm 1933Gerolamo CardanoBlaise PascalPierre de FermatChristiaan HuygensJakob Bernoulli

Thử nghiệm tương tác

Khoanh các ô thuộc biến cố — nhìn tử số của xác suất đổi theo, rồi quay thử nghìn lượt

Hay hiểu sai

Công thức số cách thuận lợi chia tổng số cách chỉ đúng khi các kết quả đồng khả năng.

Xung khắc và độc lập là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau.

Cộng hai xác suất mà quên trừ phần giao là lỗi mất điểm phổ biến.

Xác suất là tần suất về lâu dài, không phải lời hứa cho vài lần tới.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Trong một kỳ thi AP Statistics, mỗi thí sinh nhận một điểm nguyên từ 1 đến 5. Gọi

X

là điểm của một thí sinh được chọn ngẫu nhiên trong toàn bộ thí sinh dự thi năm đó. Thống kê của hội đồng thi cho bảng sau:

P(X=1)=0{,}231

P(X=2)=0{,}165

P(X=3)=0{,}246

P(X=4)=0{,}201

P(X=5)=0{,}157

. Một trường đại học chỉ cấp tín chỉ cho thí sinh đạt từ 3 điểm trở lên.

aGiải thích vì sao bảng trên là một phân phối xác suất (probability distribution) hợp lệ.
bTính xác suất để một thí sinh được chọn ngẫu nhiên KHÔNG được cấp tín chỉ.
cTính xác suất để thí sinh đó được cấp tín chỉ bằng hai cách khác nhau và so sánh kết quả.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến cố không gian mẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

xác suấtprobability

Khác nhau ở đâuXác suất là khung lý thuyết tổng quát gồm tiên đề và tính chất, còn xác suất của biến cố là con số cụ thể gán cho một biến cố đã xác định

Hay nhầm khikhi đề yêu cầu nêu tính chất của xác suất nói chung thay vì tính

P(A)

, hoặc ngược lại

xác suất có điều kiệnconditional probability

Khác nhau ở đâuXác suất của biến cố A tính trên toàn bộ không gian mẫu, còn xác suất có điều kiện

P(A \mid B)

chỉ xét phần không gian mẫu mà B đã xảy ra

Hay nhầm khiđề cho thông tin 'biết rằng...' hoặc 'trong số những...' mà học sinh vẫn dùng

P(A)

thay vì

P(A \mid B)

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 298.

P(A^c)

xác suất của phần bù biến cố A, tức xác suất A không xảy ra

Andrey Nikolaevich Kolmogorov

Cách đo khả năng xảy ra của một biến cố bằng tỉ số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả được Gerolamo Cardano nêu ra từ thế kỷ 16 khi phân tích các trò cờ bạc; đến năm 1933 Kolmogorov đặt nó lên nền tiên đề chặt chẽ.

Ý tưởng đo mức độ may rủi bằng một con số nảy sinh từ bàn đánh bạc chứ không từ giảng đường. Trong cuốn sách viết năm 1560 và mãi năm 1663 mới in, Cardano phân tích tổng của ba con xúc xắc và nhận ra có thể lấy tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể để đo khả năng thắng. Trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat năm 1654, rồi công trình của Huygens năm 1657, đã biến những mẹo tính này thành một môn khoa học. Sang thế kỷ 20, việc bảo hiểm và khoa học tự nhiên đòi hỏi nền móng chắc hơn, và hệ tiên đề (axioms) do Kolmogorov công bố năm 1933 đã đáp ứng đúng nhu cầu đó.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "probability" đi đường vòng qua tiếng Pháp cổ "probabilite" (thế kỷ 14) rồi ngược về tiếng Latinh "probabilitas", nghĩa gốc là "đáng tin, có thể chấp nhận được". Dạng tính từ "probabilis" được Cicero dùng để chỉ những ý kiến nghe hợp lý, được số đông tán thành — tức là ban đầu từ này thuộc về hùng biện và triết học chứ chưa dính dáng gì đến con số. Nghĩa toán học chỉ xuất hiện vào năm 1718, khi các tác giả bắt đầu gán cho mỗi biến cố một giá trị đo được thay vì một lời phán đoán. Ký hiệu quen thuộc $P(A)$ thì trẻ hơn nhiều: nó được dùng trong cuốn sách năm 1933 của Kolmogorov, trong đó chữ in hoa để chỉ biến cố được mượn thẳng từ lý thuyết tập hợp, nơi chữ in hoa vốn dùng đặt tên cho tập hợp. Điều này giải thích vì sao trong đề thi, một biến cố luôn được mô tả như một tập con của không gian mẫu (sample space).

Khoanh các ô thuộc biến cố — nhìn tử số của xác suất đổi theo, rồi quay thử nghìn lượt

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Diễn giải xác suất theo ngữ cảnh: nếu lặp lại rất nhiều lần thì khoảng bao nhiêu phần trăm số lần.

Viết ký hiệu xác suất ra giấy trước khi bấm máy.

Gặp cụm "at least one", hãy nghĩ ngay tới biến cố phần bù.

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

Bước 1: Một bảng phân phối hợp lệ phải thỏa hai điều kiện: mọi xác suất nằm trong đoạn từ 0 đến 1, và tổng của chúng bằng 1. Điều kiện thứ nhất hiển nhiên đúng vì cả năm số đều dương và nhỏ hơn 1. Kiểm tra điều kiện thứ hai:

0{,}231+0{,}165+0{,}246+0{,}201+0{,}157=1{,}000

. Vậy bảng đã cho là một phân phối xác suất hợp lệ.

2Bước 2: Biến cố "không được cấp tín chỉ" xảy ra khi và chỉ khi thí sinh đạt 1 hoặc 2 điểm. Hai biến cố

\{X=1\}

và

\{X=2\}

không thể cùng xảy ra vì mỗi thí sinh chỉ có một điểm duy nhất, nên chúng là hai biến cố xung khắc (mutually exclusive) và ta được phép cộng thẳng xác suất:

P(X\le 2)=P(X=1)+P(X=2)=0{,}231+0{,}165=0{,}396

3Bước 3: Cách thứ nhất để tính xác suất được cấp tín chỉ là dùng biến cố bù (complement). Vì "đạt từ 3 trở lên" đúng là phần còn lại của "đạt 1 hoặc 2", ta có

P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-0{,}396=0{,}604

. Công thức này nói rằng xác suất của phần bù bằng 1 trừ đi xác suất của chính biến cố đó.

4Bước 4: Cách thứ hai là cộng trực tiếp ba trường hợp rời nhau:

P(X\ge 3)=0{,}246+0{,}201+0{,}157=0{,}604

. Hai cách cho cùng một kết quả, đúng như mong đợi; trong phòng thi nên chọn cách bù khi số trường hợp phải cộng ít hơn, vì như vậy vừa nhanh vừa ít sai số.

Bảng đã cho là một phân phối xác suất hợp lệ vì mọi xác suất đều thuộc đoạn từ 0 đến 1 và tổng bằng 1. Xác suất để một thí sinh được chọn ngẫu nhiên không được cấp tín chỉ là $0{,}396$ , tức khoảng 39,6% thí sinh đạt 1 hoặc 2 điểm. Ngược lại, xác suất thí sinh đó đạt từ 3 điểm trở lên và được trường cấp tín chỉ là $0{,}604$ , tức khoảng 60,4%.

2Ví dụ 2/2

Một hãng nước giải khát quảng cáo rằng trung bình cứ 10 nắp chai thì có 1 nắp trúng thưởng. Một nhóm học sinh muốn kiểm chứng con số này nên ghi lại kết quả mở nắp theo từng chặng: trong 20 nắp đầu tiên có 4 nắp trúng, sau khi mở đủ 200 nắp thì tổng cộng có 26 nắp trúng, và sau khi mở đủ 2000 nắp thì tổng cộng có 209 nắp trúng.

aTính tần số tương đối tích lũy của biến cố "nắp trúng thưởng" tại ba mốc 20, 200 và 2000 nắp, rồi giải thích dãy số này minh họa điều gì.
bNếu chấp nhận xác suất trúng thưởng của một nắp bất kỳ là 0,10, hãy tính xác suất để một nắp được mở ra không trúng thưởng.
cMột bạn lập luận: "Mình vừa mở 9 nắp liên tiếp đều trượt, nên nắp thứ 10 gần như chắc chắn trúng." Hãy nhận xét.

1Bước 1: Tần số tương đối tích lũy tại mỗi mốc là tỉ số giữa số nắp trúng và tổng số nắp đã mở tính đến mốc đó. Ta có

4/20=0{,}200

, rồi

26/200=0{,}130

, và cuối cùng

209/2000=0{,}1045

. Ba con số này lần lượt là 0,200; 0,130 và 0,1045.

2Bước 2: Càng mở nhiều nắp, tần số tương đối càng nhích lại gần 0,10 và dao động quanh giá trị đó ngày một ít hơn. Đây chính là nội dung của luật số lớn (law of large numbers): về dài hạn, tần số tương đối tích lũy của một biến cố tiến dần đến xác suất của biến cố ấy. Do đó ước lượng dựa trên 2000 nắp đáng tin hơn hẳn ước lượng dựa trên 20 nắp, và số liệu thu được không hề mâu thuẫn với lời quảng cáo của hãng.

3Bước 3: Gọi

E

là biến cố "nắp trúng thưởng", khi đó "nắp không trúng" chính là phần bù

E^{c}

. Áp dụng quy tắc bù,

P(E^{c})=1-P(E)=1-0{,}10=0{,}90

. Nói cách khác, cứ 10 nắp thì trung bình có 9 nắp trượt.

4Bước 4: Lập luận của bạn học sinh là một ngộ nhận quen thuộc. Các nắp chai được sản xuất và phân phối độc lập với nhau, nên kết quả của 9 lần trước không làm thay đổi xác suất của lần thứ 10: xác suất trúng vẫn là

0{,}10

. Luật số lớn nói rằng tỉ lệ trúng sẽ ổn định quanh 0,10 khi số lần mở rất lớn, chứ không hứa hẹn rằng những lần trượt vừa qua sẽ được "bù" lại ngay sau đó.

Ba tần số tương đối 0,200; 0,130 và 0,1045 ngày càng sát 0,10, minh họa việc tần số tương đối tích lũy hội tụ về xác suất của biến cố khi số phép thử tăng lên. Với xác suất trúng thưởng là 0,10, xác suất một nắp bất kỳ không trúng thưởng là 0,90. Cuối cùng, vì các lần mở nắp độc lập với nhau nên nắp thứ 10 vẫn chỉ có xác suất trúng 0,10, bất kể chuỗi 9 lần trượt trước đó.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.