AP Statistics

biến cố bù

complement of an event

Còn gọi: phần bù · biến cố đối · E′ · EC · not E · 1 − P(E)

Biến cố bù là tập hợp mọi kết quả trong không gian mẫu không thuộc biến cố ban đầu, nên xác suất của hai biến cố cộng lại bằng 1.

Mỗi biến cố $E$ được xác định trên một không gian mẫu $S$ nhất định. Trong không gian đó, những kết quả không thuộc $E$ hợp thành một tập hợp mới, gọi là biến cố bù (complement of an event), ký hiệu $E'$ hoặc $E^c$ . Hai tập hợp này cùng nhau lấp đầy toàn bộ $S$ mà không chồng lên nhau, nên xác suất của chúng cộng lại bằng đúng 1.

Từ nhận xét đó suy ra công thức nền tảng của biến cố bù:

$P(E') = 1 - P(E)$

Công thức này phát biểu rằng xác suất để $E$ không xảy ra bằng 1 trừ đi xác suất để $E$ xảy ra. Do đó, nếu biết $P(E)$ , ta lập tức có $P(E')$ mà không cần cộng xác suất của từng kết quả nằm ngoài $E$ — một lợi thế lớn khi tập bù có nhiều phần tử hơn chính $E$ .

Trên thực tế, nhiều bài toán được giải nhanh hơn bằng cách tính xác suất của biến cố bù thay vì tính trực tiếp. Chẳng hạn, xác suất để một học sinh không đạt tín chỉ đại học bằng $1$ trừ xác suất đạt tín chỉ. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng quan hệ này chỉ đúng khi $P(E)$ đã bao gồm đúng và đủ mọi trường hợp thuộc $E$ ; nếu bỏ sót hoặc tính trùng, kết quả sẽ sai. Vì vậy, trước khi dùng công thức, luôn kiểm tra xem không gian mẫu đã được xác định đầy đủ chưa.

Ký hiệu

• $E'$ , $E^c$ , $\bar{E}$
•công thức: $P(E') = 1 - P(E)$

Trực giác: Nếu xác suất trời mưa ngày mai là 30%, thì xác suất trời không mưa là 70% — không cần biết thêm gì khác.

Công thức

P(A^c) = \htmlClass{fp-1}{1 - \htmlClass{fp-0}{P(A)}}

Dùng khi đề cho xác suất một biến cố và hỏi xác suất biến cố đó không xảy ra, hoặc khi đếm phần bù dễ hơn đếm trực tiếp.

Trong đó

A^c

biến cố bù — mọi kết quả trong không gian mẫu không thuộc A

P(A)

xác suất của biến cố A

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Khái niệm không gắn với một cá nhân hay mốc năm cụ thể trong các nguồn đã đọc; nó hình thành như một công cụ cơ bản của lý thuyết xác suất, dùng để tính xác suất của một biến cố bằng cách đi vòng qua phần "không xảy ra" của nó.

Trong nhiều bài toán, việc liệt kê và cộng xác suất của mọi kết quả thuận lợi cho một biến cố (event) là rất rườm rà, trong khi phần còn lại của không gian mẫu (sample space) lại đơn giản hơn hẳn. Chính nhu cầu thực dụng đó đã đẩy phần bù thành một khái niệm đứng riêng, kèm theo quy tắc phần bù (complement rule) phát biểu rằng tổng xác suất của một biến cố và của phần bù luôn bằng $1$ . Nhờ đó, biết một trong hai xác suất là lập tức suy ra xác suất còn lại, và người giải toán được quyền chọn hướng tính nào nhẹ hơn.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đến từ ý "bù cho đủ": phần bù, ký hiệu $A^C$ và đọc là "not $A$ ", gồm đúng những kết quả nằm trong không gian mẫu nhưng không nằm trong $A$ , nên ghép hai phần lại thì lấp kín toàn bộ không gian mẫu. Quan hệ lấp đầy ấy được viết gọn thành $P(A^C)=1-P(A)$ tức xác suất của phần bù chính là phần còn thiếu để tổng đạt $1$ . Vì vậy chữ "bù" trong tiếng Việt và chữ "complement" trong tiếng Anh cùng chỉ một ý: mảnh ghép làm cho bức tranh xác suất trở nên trọn vẹn.

Thử nghiệm tương tác

Chọn một biến cố trên lưới 36 ô — phần còn lại tự thành phần bù

Hay hiểu sai

Hai biến cố xung khắc chưa chắc là bù của nhau.

Bù của "ít nhất một" là "không có cái nào", không phải "nhiều nhất một".

Với biến rời rạc, lấy bù phải đổi dấu bằng sang vế kia.

Đổi chỗ điều kiện không cho ra biến cố bù.

Mẹo phòng thi

Gặp cụm "at least one" trong đề, hãy nghĩ ngay đến biến cố bù trước khi cộng.

Viết hẳn dòng $P(A^c)=1-P(A)$ ra giấy, đừng nhảy thẳng tới số.

Kiểm tra lại dấu bằng khi bấm máy phân phối tích lũy.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Trong một kỳ thi AP, điểm số của thí sinh là số nguyên từ 1 đến 5. Chọn ngẫu nhiên một thí sinh và gọi

X

là điểm của thí sinh đó. Phân bố xác suất của

X

được cho trong bảng sau:

P(X=1)=0{,}148

;

P(X=2)=0{,}231

;

P(X=3)=0{,}253

;

P(X=4)=0{,}203

;

P(X=5)=0{,}165

. Một trường đại học chỉ công nhận tín chỉ cho thí sinh đạt từ 3 điểm trở lên.

aTính xác suất để thí sinh được chọn KHÔNG được công nhận tín chỉ. Hãy trình bày theo hai cách: cộng trực tiếp và dùng quy tắc bù.
bChọn ngẫu nhiên hai thí sinh một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một trong hai người được công nhận tín chỉ.

1Bước 1: Đặt tên biến cố cho rõ ràng trước khi tính. Gọi

C

là biến cố "thí sinh được công nhận tín chỉ", tức là

X \ge 3

. Khi đó biến cố bù (complement)

C^{c}

là "thí sinh không được công nhận tín chỉ", tương ứng với

X \le 2

. Vì mỗi thí sinh chỉ nhận đúng một điểm số nên hai biến cố này không thể cùng xảy ra và cũng không thể cùng không xảy ra.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến cố không gian mẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến cố xung khắcmutually exclusive events

Khác nhau ở đâuHai biến cố xung khắc chỉ không thể đồng thời xảy ra, còn biến cố bù bắt buộc hợp lại thành toàn bộ không gian mẫu

Hay nhầm khiđề cho

P(A)

P(B)

= 1 rồi hỏi quan hệ giữa A và B — học sinh hay kết luận xung khắc thay vì bù nhau

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 298.

2Ví dụ 2/2

Chiều cao của phụ nữ trưởng thành ở một thành phố có phân bố xấp xỉ chuẩn với trung bình

\mu = 64

inch và độ lệch chuẩn (standard deviation)

\sigma = 2{,}5

inch. Chọn ngẫu nhiên một phụ nữ trong thành phố và gọi

X

là chiều cao của người đó.

aTính xác suất để người được chọn cao ít nhất 67 inch.
bTính xác suất để người được chọn KHÔNG có chiều cao nằm trong khoảng từ 61,5 inch đến 67 inch.

1Bước 1: Bảng chuẩn và máy tính thường trả về xác suất ở phía bên trái, nghĩa là dạng

P(X \le x)

. Câu hỏi lại đòi phía bên phải, nên ta viết lại biến cố cần tìm qua biến cố bù:

\{X \ge 67\}

là bù của

\{X < 67\}

. Với biến ngẫu nhiên liên tục thì

P(X = 67) = 0

, do đó không cần phân biệt dấu

<

và

\le

2Bước 2: Chuẩn hóa mốc 67 inch về điểm

z

z = \frac{67 - 64}{2{,}5} = 1{,}2.

Con số này cho biết 67 inch nằm cao hơn trung bình đúng 1,2 độ lệch chuẩn. Tra bảng chuẩn được

P(Z < 1{,}2) = 0{,}8849

3Bước 3: Áp dụng quy tắc bù để lấy đuôi phải:

P(X \ge 67) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151.

Vậy khoảng 11,5% phụ nữ trong thành phố cao từ 67 inch trở lên.

4Bước 4: Sang ý (b), ta tính phần "nằm trong khoảng" trước rồi mới lấy phần bù. Mốc dưới có

z = \frac{61{,}5 - 64}{2{,}5} = -1

, và

P(Z < -1) = 0{,}1587

. Do đó

P(61{,}5 \le X \le 67) = 0{,}8849 - 0{,}1587 = 0{,}7262.

Phép trừ này lấy diện tích bên trái mốc 67 rồi bỏ đi phần diện tích nằm dưới mốc 61,5.

5Bước 5: Biến cố "không nằm trong khoảng" gồm hai đuôi rời nhau, nhưng ta không cần cộng hai đuôi vì chúng chính là phần bù của khoảng vừa tính:

P(X < 61{,}5 \text{ or } X > 67) = 1 - 0{,}7262 = 0{,}2738.

Có thể kiểm tra lại bằng cách cộng trực tiếp hai đuôi:

0{,}1587 + 0{,}1151 = 0{,}2738

, đúng bằng kết quả trên.

Xác suất để một phụ nữ được chọn ngẫu nhiên cao ít nhất 67 inch là khoảng $0{,}1151$ , và xác suất để chiều cao của cô ấy nằm ngoài khoảng từ 61,5 đến 67 inch là khoảng $0{,}2738$ . Cả hai kết quả đều đến từ cùng một ý tưởng: khi biến cố cần tìm khó tính trực tiếp, ta tính biến cố bù rồi lấy $1$ trừ đi, vì tổng xác suất của một biến cố và biến cố bù của nó luôn bằng $1$ .