Đang tải bài học…

AP Statistics

biến cố xung khắc

mutually exclusive events

Còn gọi: biến cố rời nhau · biến cố loại trừ nhau · disjoint events · disjoint

Hai biến cố xung khắc là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời trong cùng một phép thử ngẫu nhiên.

Hai biến cố được gọi là xung khắc (mutually exclusive events) khi chúng không thể cùng xảy ra trong một lần thực hiện phép thử ngẫu nhiên; nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không xảy ra, và ngược lại. Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc, biến cố "xuất hiện mặt chẵn" và biến cố "xuất hiện mặt lẻ" là hai biến cố xung khắc vì một số không thể vừa chẵn vừa lẻ.

Về mặt toán học, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi giao của chúng là biến cố rỗng, nghĩa là $P(A \cap B) = 0$ . Từ đó, nếu A và B xung khắc thì xác suất (probability) của hợp hai biến cố bằng tổng các xác suất riêng lẻ, tức là $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ; vì vậy, việc tính toán xác suất trở nên đơn giản hơn nhiều so với trường hợp tổng quát.

Tuy nhiên, cần phân biệt rõ giữa xung khắc và độc lập, vì đây là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau mà học sinh hay nhầm lẫn. Hai biến cố độc lập (independent events) là hai biến cố mà việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, trong khi hai biến cố xung khắc thì việc xảy ra của biến cố này đảm bảo biến cố kia không xảy ra. Do đó, nếu A và B xung khắc và có xác suất khác không, chúng không thể độc lập với nhau.

Ký hiệu

P(A \cap B) = 0

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Trực giác: Giống như việc tung một đồng xu: mặt sấp và mặt ngửa không thể cùng xuất hiện trong một lần tung.

Công thức

\htmlClass{fp-1}{P(\htmlClass{fp-0}{A \cap B})} = 0

Dùng để kiểm tra hoặc khẳng định hai biến cố là xung khắc (mutually exclusive events): nếu và chỉ nếu $P(A \cap B) = 0$ thì A và B xung khắc nhau.

Trong đó

P(A \cap B)

xác suất để cả biến cố A lẫn biến cố B cùng xảy ra

A \cap B

giao của hai biến cố A và B

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Dùng để tính xác suất hợp của hai biến cố xung khắc; chỉ áp dụng được khi đã xác nhận $P(A \cap B)=0$ , tức là hai biến cố không thể đồng thời xảy ra.

Trong đó

P(A \cup B)

xác suất để ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1654 (ý niệm) — 1933 (hệ tiên đề)Blaise PascalPierre de FermatAndrey KolmogorovChristiaan Huygens

Ý niệm về những kết cục không thể cùng xảy ra đã nằm sẵn trong thư từ giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat năm 1654 về các bài toán cờ bạc, nhưng phải đến năm 1933 nó mới được Andrey Kolmogorov phát biểu thành tiên đề trong hệ tiên đề xác suất.

Thử nghiệm tương tác

Bật hai biến cố lên lưới — soi xem vùng giao còn ô nào không

Hay hiểu sai

Xung khắc không có nghĩa là độc lập (independent).

Phải kiểm tra bằng số liệu, đừng kết luận xung khắc theo cảm tính.

Chỉ được dùng $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ sau khi đã chắc hai biến cố xung khắc.

Xung khắc không đồng nghĩa với biến cố bù (complement).

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên khoa học ở trường trung học có 78 học sinh. Trong số đó, 35 em tham gia ban nhạc của trường và 32 em nằm trong một đội thể thao. Có 16 em không tham gia ban nhạc và cũng không nằm trong đội thể thao nào. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong 78 em này. Gọi

B

là biến cố chọn được học sinh trong ban nhạc và

S

là biến cố chọn được học sinh thuộc đội thể thao.

aHai biến cố $B$ và $S$ có xung khắc hay không? Hãy tính xác suất cần thiết để chứng minh câu trả lời.
bTính $P(B \cup S)$ , tức xác suất chọn được học sinh tham gia ban nhạc hoặc đội thể thao (hoặc cả hai).
cHai biến cố $B$ và $S$ có độc lập hay không?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Biến cố xung khắc” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến cố

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến cố độc lậpindependent events

Khác nhau ở đâuXung khắc nghĩa là hai biến cố không thể cùng xảy ra, còn độc lập nghĩa là việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia

Hay nhầm khiđề cho P(A và B) = 0 rồi hỏi A và B có độc lập không — học sinh nhầm xung khắc với độc lập và trả lời sai

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 272–273, 277.

P(A)

xác suất biến cố A xảy ra

P(B)

xác suất biến cố B xảy ra

Xác suất không sinh ra trong giảng đường mà ở các sòng bạc Pháp thế kỷ 17, nơi giới quý tộc muốn tìm lợi thế toán học trong trò xúc xắc và bài. Khi Pascal và Fermat trao đổi thư từ năm 1654, họ buộc phải phân biệt những kết cục có thể trùng nhau với những kết cục loại trừ nhau, dù chưa gọi tên hiện tượng ấy. Cùng thế kỷ đó, Christiaan Huygens cho ra đời một trong những cuốn sách đầu tiên về xác suất. Câu hỏi xuyên suốt nhiều thế kỷ sau vẫn là: khi nào được phép cộng thẳng các xác suất, khi nào phải trừ đi phần chồng lấn? Biến cố xung khắc chính là trường hợp đơn giản nhất, khi phần chồng lấn chắc chắn bằng không.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mô tả đúng quan hệ giữa hai biến cố: chúng loại trừ lẫn nhau, nghĩa là một biến cố xảy ra thì biến cố kia bị chặn hoàn toàn, không thể cùng xuất hiện trong một phép thử. Trong tài liệu tiếng Anh, khái niệm này còn mang một tên thứ hai là biến cố rời nhau (disjoint events), vay từ ngôn ngữ tập hợp: hai tập không có phần tử chung thì phần giao rỗng, và chính chỗ giao rỗng ấy làm cho quy tắc cộng (addition rule) trở nên đơn giản. Kolmogorov đặt quan hệ này vào trung tâm lý thuyết khi phát biểu rằng xác suất của hợp một họ đếm được các biến cố đôi một rời nhau (pairwise disjoint) bằng tổng các xác suất riêng lẻ, tức $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ trong trường hợp hai biến cố. Công thức này nói rằng khi không có phần chồng lấn, ta chỉ việc cộng — không phải trừ đi thứ gì cả.

Bật hai biến cố lên lưới — soi xem vùng giao còn ô nào không

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Kết luận xung khắc phải kèm dòng chữ "cannot occur at the same time" hoặc $P(A \cap B) = 0$ .

Với bảng hai chiều (two-way table), hãy nhìn thẳng vào ô giao trước khi trả lời.

Cẩn thận với những cụm chữ ngầm báo tính xung khắc trong đề.

Tần suất trong đề AP StatisticsHiếm gặp

Bước 1: Trước hết cần tìm số học sinh nằm trong ít nhất một trong hai hoạt động. Vì có 16 em không thuộc hoạt động nào, phần còn lại của lớp phải nằm trong ban nhạc hoặc đội thể thao:

78 - 16 = 62

em. Do đó

P(B \cup S) = 62/78

, và đây chính là đáp số của ý (b) — ta tính được nó trước cả khi biết phần giao.

2Bước 2: Bây giờ dùng quy tắc cộng tổng quát (general addition rule)

P(B \cup S) = P(B) + P(S) - P(B \cap S)

theo chiều ngược lại để rút ra phần giao (intersection). Thay số theo số học sinh cho gọn:

35 + 32 - |B \cap S| = 62

, suy ra

|B \cap S| = 67 - 62 = 5

. Vậy có 5 em vừa chơi trong ban nhạc vừa thi đấu thể thao, và

P(B \cap S) = 5/78 \approx 0{,}064

3Bước 3: Hai biến cố xung khắc khi và chỉ khi chúng không thể cùng xảy ra, tức

P(B \cap S) = 0

. Ở đây

P(B \cap S) = 5/78 \ne 0

, nghĩa là vẫn tồn tại học sinh nằm trong cả hai nhóm. Vì vậy câu trả lời cho ý (a) là không, kèm bằng chứng số học là giá trị

5/78

vừa tìm được.

4Bước 4: Ý (c) hỏi một chuyện khác hẳn, nên đừng lẫn hai khái niệm. Hai biến cố độc lập (independent events) khi

P(B \cap S) = P(B) \cdot P(S)

. Ta có

P(B) \cdot P(S) = \dfrac{35}{78} \cdot \dfrac{32}{78} = \dfrac{1120}{6084} \approx 0{,}184

, trong khi

P(B \cap S) \approx 0{,}064

. Hai số này khác nhau nên

B

và

S

không độc lập.

(a) $B$ và $S$ không xung khắc, vì $P(B \cap S) = 5/78 \approx 0{,}064 \ne 0$ : có 5 học sinh vừa ở trong ban nhạc vừa ở trong đội thể thao. (b) $P(B \cup S) = 62/78 \approx 0{,}795$ , tức khoảng 79,5% học sinh của lớp tham gia ít nhất một trong hai hoạt động. (c) Vì $P(B \cap S) \approx 0{,}064$ khác $P(B)P(S) \approx 0{,}184$ nên việc một học sinh chơi trong ban nhạc và việc em đó thi đấu thể thao không độc lập với nhau.

2Ví dụ 2/2

Bảng sau ghi lại dữ liệu từ những người dự khán một trận bóng rổ của trường trung học, cho biết mỗi người cổ vũ cho đội nào và có mua đồ ăn trong trận hay không. | | Đội nhà | Đội khách | Tổng | |---|---|---|---|Có mua đồ ăn12040160Không mua đồ ăn603090Tổng18070250 Chọn ngẫu nhiên một người trong 250 khán giả. Gọi

F

là biến cố người đó có mua đồ ăn,

N

là biến cố người đó không mua đồ ăn và

H

là biến cố người đó cổ vũ cho đội nhà.

aCặp biến cố $F$ và $H$ có xung khắc không?
bCặp biến cố $F$ và $N$ có xung khắc không? Tính $P(F \cup N)$ .
cTính $P(F \cup H)$ và kiểm tra lại kết quả bằng cách đếm trực tiếp trên bảng.

1Bước 1: Với bảng hai chiều, phần giao của hai biến cố chính là ô nằm ở chỗ hàng gặp cột. Ô giao của hàng "Có mua đồ ăn" và cột "Đội nhà" chứa 120 người, nên

P(F \cap H) = 120/250 = 0{,}48

. Con số này khác 0, do đó

F

và

H

không xung khắc: một khán giả hoàn toàn có thể vừa cổ vũ đội nhà vừa mua đồ ăn.

2Bước 2: Sang ý (b), hãy để ý rằng

F

và

N

nằm ở hai hàng khác nhau của bảng, mà mỗi người chỉ được xếp vào đúng một hàng. Không có khán giả nào vừa mua vừa không mua đồ ăn, nên

P(F \cap N) = 0

và hai biến cố này xung khắc. Hơn nữa chúng còn là hai biến cố bù (complementary events) của nhau, vì

160 + 90 = 250

phủ kín toàn bộ nhóm khảo sát.

3Bước 3: Khi hai biến cố xung khắc, quy tắc cộng rút gọn lại thành

P(F \cup N) = P(F) + P(N)

vì không phải trừ đi phần giao. Thay số:

\dfrac{160}{250} + \dfrac{90}{250} = \dfrac{250}{250} = 1

. Kết quả bằng 1 là hợp lý, bởi chắc chắn mỗi khán giả rơi vào một trong hai trường hợp.

4Bước 4: Ý (c) trở lại trường hợp không xung khắc, nên phải trừ phần giao để tránh đếm hai lần:

P(F \cup H) = \dfrac{160}{250} + \dfrac{180}{250} - \dfrac{120}{250} = \dfrac{220}{250} = 0{,}88

. Kiểm tra bằng cách đếm trực tiếp: nhóm này gồm 120 người cổ vũ đội nhà có mua đồ ăn, 40 người cổ vũ đội khách có mua đồ ăn và 60 người cổ vũ đội nhà không mua đồ ăn, tổng cộng

120 + 40 + 60 = 220

người. Hai cách cho cùng một đáp số, nên kết quả đáng tin.

(a) $F$ và $H$ không xung khắc vì $P(F \cap H) = 120/250 = 0{,}48 \ne 0$ . (b) $F$ và $N$ xung khắc vì $P(F \cap N) = 0$ ; khi đó $P(F \cup N) = 0{,}64 + 0{,}36 = 1$ . (c) $P(F \cup H) = 220/250 = 0{,}88$ : có 88% khán giả hoặc mua đồ ăn, hoặc cổ vũ đội nhà, hoặc cả hai. So sánh hai ý đầu cho thấy điều quyết định tính xung khắc không phải là hai biến cố "nghe có vẻ trái ngược", mà là ô giao của chúng trên bảng có bằng 0 hay không.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.