Đang tải bài học…

AP Statistics

kết cục

outcome

Còn gọi: kết quả · kết quả có thể xảy ra

Kết cục là một kết quả đơn lẻ có thể xảy ra khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên.

Khi ta gieo một con xúc xắc, mỗi lần gieo sẽ cho ta một con số từ 1 đến 6. Mỗi con số đó—1, 2, 3, 4, 5, hay 6—chính là một kết cục (outcome) của phép thử "gieo xúc xắc". Kết cục là kết quả đơn lẻ nhất có thể xảy ra khi ta thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, và nó không thể chia nhỏ hơn được nữa. Mọi phân tích xác suất đều bắt đầu từ việc liệt kê các kết cục, vì ta không thể đo lường khả năng xảy ra của điều gì đó nếu chưa rõ điều đó là gì.

Tập hợp tất cả các kết cục có thể xảy ra tạo thành không gian mẫu, thường ký hiệu là $S$ hoặc $\Omega$ . Chẳng hạn, khi gieo xúc xắc một lần, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Tuy nhiên, trong thực tế ta thường quan tâm đến một nhóm kết cục chứ không phải từng kết cục riêng lẻ. Khi đó ta nói đến biến cố—một tập con của không gian mẫu. Ví dụ, biến cố "gieo được số chẵn" gồm các kết cục $\{2, 4, 6\}$ . Do đó, kết cục là viên gạch nền, còn biến cố là bức tường xây từ những viên gạch đó.

Việc xác định đúng các kết cục quyết định trực tiếp đến tính đúng đắn của mọi tính toán xác suất sau này. Nếu ta mô tả không gian mẫu sai—chẳng hạn coi "xấp" và "ngửa" là hai kết cục của việc tung đồng xu nhưng lại quên rằng đồng xu có thể rơi xuống đất—thì mọi xác suất tính ra đều vô nghĩa. Vì vậy, bước đầu tiên khi giải bài toán xác suất luôn là liệt kê rõ ràng và đầy đủ tất cả các kết cục có thể xảy ra.

Ký hiệu

\omega

(omega) thường dùng để chỉ một kết cục cụ thể

Trực giác: Giống như từng trang riêng lẻ trong cuốn sách ghi lại tất cả những gì có thể xảy ra—mỗi trang là một kết cục, và cuốn sách là không gian mẫu.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1654Blaise PascalPierre de FermatChristiaan HuygensPierre-Simon LaplaceAndrey Kolmogorov

Thử nghiệm tương tác

Bấm lần lượt từng nhánh — mỗi đường trọn vẹn từ gốc ra lá là một kết cục

Hay hiểu sai

Kết cục không phải biến cố: một biến cố có thể gồm nhiều kết cục.

Liệt kê kết cục mà bỏ qua thứ tự là đếm thiếu.

Các kết cục đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của lần thử tiếp theo.

Khi có điều kiện, không gian mẫu bị thu nhỏ lại chứ không giữ nguyên.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Tại một hội chợ có trò quay số dùng vòng quay chia thành

12

ô bằng nhau, mỗi ô có cùng khả năng được kim chỉ vào sau mỗi lần quay. Trong đó có

7

ô màu xanh và

5

ô màu cam. Camille đã quay

4

lần và thu được dãy kết quả theo thứ tự: cam, xanh, cam, xanh. Cô sẽ quay thêm hai lần nữa.

aMô tả không gian mẫu cho màu của hai lần quay sắp tới và tính xác suất để cả hai lần đều ra màu cam.
bMột bạn của Camille nói: "Vì bốn lần vừa rồi ra xen kẽ cam – xanh – cam – xanh, lần quay thứ năm gần như chắc chắn sẽ ra cam." Hãy nhận xét lập luận này.

1Bước 1: Xác định kết cục cơ bản của một lần quay. Mỗi lần quay, thứ được xác định là ô mà kim dừng lại, và vì

12

ô bằng nhau nên

12

kết cục này đồng khả năng, mỗi kết cục có xác suất

1/12

. Gộp theo màu, ta được

P(\text{cam}) = 5/12

và

P(\text{xanh}) = 7/12

. Lưu ý rằng "cam" và "xanh" không phải là hai kết cục đồng khả năng: chúng là hai biến cố (event) gom nhiều kết cục cơ bản lại.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướckhông gian mẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến cốevent

Khác nhau ở đâuKết cục là một điểm duy nhất trong không gian mẫu, còn biến cố là một tập hợp gồm một hoặc nhiều kết cục

Hay nhầm khiđề hỏi xác suất của 'một kết cục cụ thể' nhưng thí sinh lại áp dụng công thức cộng xác suất dành cho biến cố gồm nhiều phần tử

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 33, 60, 219.

Ý niệm về các kết cục có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên hình thành cùng với lý thuyết xác suất (probability theory), được Pascal và Fermat dựng nền năm 1654 khi giải các bài toán về trò chơi may rủi, rồi được Laplace và Kolmogorov làm chặt về sau.

Trước giữa thế kỷ 17, may rủi vẫn bị coi là chuyện không thể tính toán được. Năm 1654, Pascal và Fermat trao đổi thư từ về các bài toán chia tiền cược trong trò chơi và qua đó dựng nên lý thuyết toán học của xác suất; ba năm sau, Huygens viết cuốn sách đầu tiên về đề tài này. Muốn tính được cơ hội thắng thua, người ta buộc phải liệt kê trước mọi khả năng có thể rơi ra của một lần gieo hay một lần rút bài — chính là các kết cục. Năm 1814, Laplace bảo vệ cách định nghĩa xác suất dựa trên các trường hợp đồng khả năng (equally possible cases), và đến năm 1933 Kolmogorov đưa ra hệ tiên đề xác suất (axioms of probability) đặt toàn bộ khung này lên nền chặt chẽ.

Nguồn đối chiếu

vsae.nlThe Origin of Statistics

Bấm lần lượt từng nhánh — mỗi đường trọn vẹn từ gốc ra lá là một kết cục

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Trong câu thiết kế thí nghiệm, "outcome" nghĩa là kết quả đo được, không phải kết cục xác suất.

Bài tự luận nên liệt kê thẳng các kết cục ra giấy trước khi tính.

Trước khi chia số kết cục thuận lợi cho tổng số, hãy kiểm tra chúng có đồng khả năng không.

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

2Bước 2: Ý (a) — lập không gian mẫu (sample space) cho hai lần quay theo màu. Vì mỗi lần quay cho một trong hai màu, hai lần quay sinh ra bốn kết cục ghép:

\{(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)\}

, trong đó

C

là cam và

X

là xanh. Bốn kết cục này phủ hết mọi khả năng và không chồng lên nhau, nhưng chúng không có xác suất bằng nhau vì số ô hai màu không bằng nhau.

3Bước 3: Ý (a) — tính xác suất. Kết quả lần quay sau không phụ thuộc lần quay trước, tức hai lần quay là độc lập (independent), nên ta được phép nhân xác suất:

P(C \cap C) = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{25}{144} \approx 0{,}174.

Con số này nói rằng nếu lặp lại rất nhiều lượt "quay hai lần", khoảng

17{,}4\%

số lượt sẽ cho cam ở cả hai lần.

4Bước 4: Ý (b) — kiểm tra lập luận. Vòng quay không lưu lại lịch sử: nó không "biết" bốn lần trước đã ra gì, nên xác suất ra cam ở lần thứ năm vẫn đúng bằng

5/12 \approx 0{,}417

, nhỏ hơn

7/12 \approx 0{,}583

của màu xanh. Niềm tin rằng một dãy kết quả trong quá khứ làm thay đổi khả năng của lần tiếp theo là ngụy biện con bạc (gambler's fallacy). Thực tế, cam vẫn là màu ít khả năng hơn ở mọi lần quay.

Với hai lần quay sắp tới, không gian mẫu theo màu gồm bốn kết cục $(C,C)$ , $(C,X)$ , $(X,C)$ , $(X,X)$ , và xác suất cả hai lần đều ra cam là $25/144 \approx 0{,}174$ . Lập luận của người bạn là sai: các lần quay độc lập nhau nên dãy cam – xanh – cam – xanh trước đó không hề làm tăng khả năng ra cam; lần thứ năm vẫn có xác suất ra cam là $5/12$ , thậm chí còn thấp hơn xác suất ra xanh.

2Ví dụ 2/2

Một trò chơi trên máy tính mô phỏng việc tung một đồng xu cân đối ba lần liên tiếp và ghi lại dãy kết quả theo thứ tự, với

H

là mặt ngửa và

T

là mặt sấp. Chẳng hạn, dãy

HTH

nghĩa là lần một ngửa, lần hai sấp, lần ba ngửa.

aLiệt kê đầy đủ không gian mẫu và tính xác suất của biến cố "có đúng hai mặt ngửa trong ba lần tung".
bMột học sinh cho rằng dãy $HTH$ dễ xảy ra hơn dãy $HHH$ vì "trông ngẫu nhiên hơn". Hãy giải thích tại sao nhận định đó sai.

1Bước 1: Ý (a) — liệt kê. Mỗi lần tung có hai kết cục, nên ba lần tung cho

2 \times 2 \times 2 = 8

dãy:

HHH

HHT

HTH

THH

HTT

THT

TTH

TTT

. Vì đồng xu cân đối và các lần tung độc lập, mỗi dãy có xác suất

\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8} = 0{,}125.

Nói cách khác, tám dãy này là tám kết cục đồng khả năng của phép thử.

2Bước 2: Ý (a) — đếm các kết cục thuận lợi. Biến cố "đúng hai mặt ngửa" xảy ra khi dãy là

HHT

HTH

hoặc

THH

, tức gồm

3

trong

8

kết cục. Do các kết cục đồng khả năng, ta chỉ cần lấy tỉ số:

P(\text{đúng } 2\ H) = \frac{3}{8} = 0{,}375.

Vậy khoảng

37{,}5\%

số lượt chơi sẽ cho đúng hai mặt ngửa.

3Bước 3: Ý (b) — phân biệt kết cục với biến cố. Cả

HTH

lẫn

HHH

đều là một dãy cụ thể, tức một kết cục đơn lẻ, nên mỗi dãy đều có xác suất đúng

1/8

. Cảm giác "

HTH

dễ hơn" bắt nguồn từ việc nhầm dãy cụ thể với nhóm dãy: nhóm "hai ngửa một sấp" quả thật có xác suất

3/8

, lớn hơn nhóm "ba ngửa" chỉ có

1/8

, nhưng đó là so sánh giữa hai biến cố chứ không phải giữa hai kết cục.

Không gian mẫu gồm tám dãy $HHH$ , $HHT$ , $HTH$ , $THH$ , $HTT$ , $THT$ , $TTH$ , $TTT$ , mỗi dãy có xác suất $1/8$ ; do đó xác suất được đúng hai mặt ngửa trong ba lần tung là $3/8 = 0{,}375$ . Nhận định của học sinh là sai vì $HTH$ và $HHH$ đều là kết cục đơn lẻ nên đồng khả năng; điều đúng là biến cố "hai ngửa một sấp" gồm ba kết cục nên dễ xảy ra hơn biến cố "ba ngửa" chỉ gồm một kết cục.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.