Đang tải bài học…

AP Statistics

không gian mẫu

sample space

Còn gọi: tập hợp các kết quả có thể · S

Không gian mẫu là tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên, các kết quả đôi một xung khắc và không bỏ sót.

Trước khi tính xác suất của bất kỳ biến cố nào, ta cần xác định rõ phép thử đó có thể sinh ra những kết quả nào. Không gian mẫu (sample space), thường ký hiệu là $S$ , liệt kê đầy đủ mọi kết quả riêng biệt có thể xuất hiện sau một lần thực hiện phép thử. Chẳng hạn, khi gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — sáu kết quả, không thiếu, không trùng.

Vì mọi biến cố đều là tập con của không gian mẫu, việc xây dựng $S$ chính xác là bước nền tảng cho mọi phép tính xác suất sau đó. Nếu $S$ thiếu kết quả hoặc đếm trùng, xác suất tính ra sẽ sai lệch ngay từ đầu. Do đó, khi gặp bài toán phức tạp hơn — ví dụ gieo hai con xúc xắc — ta thường dùng sơ đồ cây hoặc bảng liệt kê có hệ thống để đảm bảo không bỏ sót phần tử nào, và tổng số phần tử của $S$ khi đó là $6 \times 6 = 36$ .

Tuy nhiên, không gian mẫu không phải lúc nào cũng hữu hạn. Một phép thử như "đo thời gian chờ xe buýt tính bằng phút" cho $S = [0, \infty)$ , tức một khoảng liên tục trên trục số. Ngược lại, với phép thử chỉ có hai kết quả như tung đồng xu, $S = \{\text{sấp}, \text{ngửa}\}$ lại rất nhỏ. Dù hữu hạn hay vô hạn, nguyên tắc chung vẫn giữ nguyên: mỗi phần tử của $S$ phải xung khắc với mọi phần tử khác, nghĩa là không thể có hai kết quả cùng xảy ra trong một lần thử.

Ký hiệu

S

hoặc

\Omega

Trực giác: Không gian mẫu giống như danh sách tất cả các cửa có thể mở khi bạn bước vào một mê cung — trước khi chọn đường, bạn cần biết có bao nhiêu cửa và mỗi cửa dẫn đến đâu.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1931von Mises

Khái niệm không gian mẫu được von Mises đưa vào lý thuyết xác suất năm 1931, như một tập hợp nền chứa toàn bộ các kết quả (outcome) có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.

Trước khi có một tập hợp nền được đặt tên rõ ràng, việc tính xác suất thường bám vào từng bài toán cụ thể và khó nói chính xác "tất cả các khả năng" gồm những gì. Năm 1931, von Mises đưa vào khái niệm không gian mẫu để gom mọi kết quả có thể của một phép thử vào chung một tập hợp. Nhờ đó, mỗi biến cố (event) không còn là một mô tả bằng lời mà trở thành một tập con (subset) của tập hợp đó, và các phép toán trên tập hợp lập tức trở thành công cụ tính xác suất. Trong tài liệu, không gian mẫu thường được ký hiệu bằng $S$ hoặc $E$ .

Thử nghiệm tương tác

Bấm từng nhánh — mỗi đường đi từ gốc tới lá là một kết quả của không gian mẫu

Hay hiểu sai

Không gian mẫu là một tập hợp, không phải một con số.

Không gian mẫu là toàn bộ khả năng, còn biến cố chỉ là một phần của nó.

Ghép hai giai đoạn thì nhân số khả năng, đừng cộng.

Các kết quả trong không gian mẫu không nhất thiết đồng khả năng.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà hàng phục vụ suất ăn trưa gồm ba lựa chọn món chính là gà, bò và món chay, kèm đúng một loại thức uống là trà hoặc nước ép. Người quản lý ghi lại lựa chọn của 200 thực khách trong một ngày và thu được bảng hai chiều (two-way table) sau: trong nhóm chọn gà có 40 người uống trà và 30 người uống nước ép; trong nhóm chọn bò có 35 người uống trà và 25 người uống nước ép; trong nhóm chọn món chay có 45 người uống trà và 25 người uống nước ép. Chọn ngẫu nhiên một thực khách trong 200 người này.

aHãy viết không gian mẫu cho cặp (món chính, thức uống) của người được chọn.
bTính xác suất người được chọn dùng món chay và uống nước ép.
cTính xác suất người được chọn uống trà, và giải thích vì sao không thể lấy $1/2$ làm câu trả lời.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướchiện tượng ngẫu nhiên

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến cốevent

Khác nhau ở đâuKhông gian mẫu chứa tất cả kết cục có thể xảy ra, còn biến cố chỉ là một tập con — một hoặc nhiều kết cục được chọn ra theo điều kiện đặt ra

Hay nhầm khiđề hỏi 'liệt kê không gian mẫu' nhưng học sinh chỉ viết ra biến cố đang quan tâm thay vì toàn bộ kết cục có thể

Vì sao mang đúng cái tên này? Nguồn gốc chính xác của cụm từ "sample space" không được ghi lại rõ ràng, nhưng cách hiểu tự nhiên nhất đến từ bối cảnh lấy mẫu ngẫu nhiên: khi ta rút một mẫu từ tổng thể, mỗi kết quả có thể chính là một mẫu, nên tập hợp mọi kết quả đúng là "không gian của các mẫu có thể có". Chữ "không gian" ở đây không mang nghĩa hình học thông thường mà chỉ một tập hợp nền để đặt các đối tượng lên trên, giống cách các nhà toán học dùng từ này trong nhiều ngành khác. Vì vậy tên gọi tuy nghe trừu tượng nhưng phản ánh đúng vai trò: nó là cái khung chứa, còn biến cố chỉ là những phần được cắt ra từ khung ấy.

Bấm từng nhánh — mỗi đường đi từ gốc tới lá là một kết quả của không gian mẫu

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Viết không gian mẫu bằng ngoặc nhọn và giải thích ký hiệu ngay bên cạnh.

Dùng bảng hai chiều hoặc sơ đồ cây (tree diagram) để không bỏ sót kết quả nào.

Trước khi tính xác suất, kiểm tra nhanh hai điều kiện của không gian mẫu.

Tần suất trong đề AP StatisticsHiếm gặp

Bước 1: Trước hết cần xác định một kết quả (outcome) của phép thử là gì. Ở đây mỗi thực khách được mô tả bởi hai đặc điểm cùng lúc, nên một kết quả phải là một cặp gồm món chính đi với thức uống, chứ không phải chỉ riêng món chính. Vì có 3 món chính và 2 thức uống nên theo quy tắc nhân (multiplication rule), số kết quả là

3 \times 2 = 6

2Bước 2: Liệt kê đầy đủ 6 cặp đó, ta được không gian mẫu

S = \{(\text{ga}, \text{tra}), (\text{ga}, \text{nuoc ep}), (\text{bo}, \text{tra}), (\text{bo}, \text{nuoc ep}), (\text{chay}, \text{tra}), (\text{chay}, \text{nuoc ep})\}

. Trong bài thi có thể viết bằng tiếng Anh dạng {chicken–tea, chicken–juice, beef–tea, beef–juice, vegetarian–tea, vegetarian–juice}. Điều quan trọng là danh sách này vét hết mọi khả năng và không có hai khả năng nào trùng nhau.

3Bước 3: Sang ý (b), biến cố (event) "chay và nước ép" chỉ ứng với đúng một phần tử của không gian mẫu, và bảng cho biết có 25 người rơi vào ô này. Do đó

P = \dfrac{25}{200} = 0{,}125

. Lưu ý rằng ta chia cho 200 chứ không chia cho 6: sáu kết quả trong

S

không đồng khả năng (equally likely), nên phải dùng tần số thực tế.

4Bước 4: Với ý (c), biến cố "uống trà" gộp ba phần tử của

S

là (gà, trà), (bò, trà) và (chay, trà). Cộng lại ta có

40 + 35 + 45 = 120

người, nên

P = \dfrac{120}{200} = 0{,}60

. Con số

1/2

sai vì nó ngầm giả định hai loại thức uống có cơ hội bằng nhau, trong khi dữ liệu cho thấy khách chuộng trà hơn hẳn.

Không gian mẫu gồm 6 cặp (món chính, thức uống): gà–trà, gà–nước ép, bò–trà, bò–nước ép, chay–trà, chay–nước ép. Xác suất chọn được người dùng món chay kèm nước ép là $0{,}125$ , còn xác suất chọn được người uống trà là $0{,}60$ . Như vậy liệt kê không gian mẫu chỉ cho biết những gì có thể xảy ra; muốn biết mỗi khả năng xảy ra nhiều hay ít thì vẫn phải quay lại số liệu trong bảng.

2Ví dụ 2/2

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối sáu mặt, một con màu đỏ và một con màu xanh, rồi ghi lại số chấm trên mỗi con.

aMô tả không gian mẫu của phép thử và cho biết nó có bao nhiêu phần tử.
bTính xác suất tổng số chấm bằng 7.
cNếu chỉ quan tâm đến tổng số chấm thì không gian mẫu là gì, và vì sao không được dùng nó để tính xác suất ở ý (b)?

1Bước 1: Vì hai con xúc xắc phân biệt được bằng màu nên mỗi kết quả là một cặp có thứ tự

(d, x)

, với

d

là số chấm con đỏ và

x

là số chấm con xanh. Mỗi thành phần nhận 6 giá trị từ 1 đến 6, độc lập với thành phần kia, nên

S = \{(d, x) : 1 \le d \le 6,\ 1 \le x \le 6\}

và

n(S) = 6 \times 6 = 36

. Ba mươi sáu cặp này đồng khả năng vì cả hai con xúc xắc đều cân đối.

2Bước 2: Liệt kê các cặp có

d + x = 7

, ta được

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

, tức 6 cặp. Khi mọi phần tử của không gian mẫu đồng khả năng thì xác suất của một biến cố bằng tỉ số số phần tử:

P(\text{sum} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167

3Bước 3: Nếu bỏ qua chi tiết từng con và chỉ ghi tổng, ta thu được một không gian mẫu khác là

\{2, 3, 4, \ldots, 12\}

với 11 phần tử; đây chính là tập giá trị của biến ngẫu nhiên (random variable) "tổng số chấm". Tuy nhiên 11 phần tử này không đồng khả năng, vì tổng 2 chỉ đến từ một cặp duy nhất là

(1,1)

trong khi tổng 7 đến từ sáu cặp. Vì vậy công thức đếm

6/36

mới đúng, còn

1/11 \approx 0{,}091

là sai.

Không gian mẫu tự nhiên của phép thử gồm 36 cặp có thứ tự $(d, x)$ với $d, x$ chạy từ 1 đến 6, và xác suất để tổng số chấm bằng 7 là $6/36 = 1/6 \approx 0{,}167$ . Nếu chỉ ghi tổng thì không gian mẫu rút gọn còn $\{2, 3, \ldots, 12\}$ , nhưng các phần tử của nó không đồng khả năng nên không dùng để đếm được. Bài này cho thấy cùng một phép thử có thể mô tả bằng nhiều không gian mẫu khác nhau, và chỉ cách mô tả cho các kết quả đồng khả năng mới cho phép tính xác suất bằng cách đếm.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.