Đang tải bài học…

AP Statistics

sơ đồ cây

tree diagram

Sơ đồ cây là công cụ đồ thị dùng để liệt kê có hệ thống tất cả các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm xác suất qua nhiều giai đoạn.

Sơ đồ cây (tree diagram) được xây dựng bằng cách vẽ các nhánh xuất phát từ một gốc, và mỗi nhánh đại diện cho một kết quả ở giai đoạn đầu tiên. Sau đó, từ mỗi nhánh đó, người ta lại kẻ tiếp các nhánh con tương ứng với các kết quả có thể xảy ra ở giai đoạn tiếp theo. Do đó, mỗi đường đi từ gốc đến một lá cuối cùng xác định một kết quả hoàn chỉnh của toàn bộ thí nghiệm.

Đặc điểm nổi bật của sơ đồ cây là khả năng tích hợp xác suất có điều kiện (conditional probability) trực tiếp lên từng nhánh. Cụ thể, xác suất ghi trên nhánh đầu là xác suất của sự kiện ở giai đoạn một, còn xác suất ghi trên các nhánh con là xác suất của sự kiện ở giai đoạn hai khi đã biết kết quả ở giai đoạn một. Nhờ vậy, để tính xác suất của một đường đi cụ thể, ta nhân các xác suất dọc theo đường đó theo quy tắc nhân tổng quát $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A),$ trong đó $P(B \mid A)$ là xác suất của sự kiện $B$ khi biết $A$ đã xảy ra.

Cuối cùng, sau khi có xác suất của từng đường đi, người ta cộng các đường đi cùng dẫn đến một sự kiện để tìm xác suất tổng. Đây chính là nền tảng để tính xác suất ngược, tức là từ kết quả quan sát được suy ngược lại nguyên nhân, một dạng bài xuất hiện thường xuyên trong đề thi. Vì vậy, sơ đồ cây không chỉ là công cụ liệt kê mà còn là bộ khung tổ chức tính toán cho những bài toán xác suất nhiều tầng phức tạp.

Ký hiệu

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)

Trực giác: Hình dung bạn đứng ở ngã tư, rẽ trái hoặc rẽ phải; tại mỗi đường bạn chọn lại gặp một ngã tư khác — sơ đồ cây vẽ toàn bộ hành trình có thể đi và ghi xác suất lên mỗi khúc đường.

Công thức

P(A \cap B) = \htmlClass{fp-0}{P(A)} \cdot \htmlClass{fp-1}{P(B|A)}

Dùng khi đọc kết quả trên một đường đi của sơ đồ cây: nhân xác suất từng nhánh dọc theo đường đó để ra xác suất của giao hai sự kiện.

Trong đó

P(A \cap B)

xác suất xảy ra đồng thời cả A lẫn B

P(A)

xác suất của sự kiện A tại nhánh đầu tiên

P(B|A)

xác suất của B khi biết A đã xảy ra, ghi trên nhánh thứ hai

P(B) = \sum_{i} P(A_i) \cdot P(B|A_i)

Dùng để cộng xác suất của một sự kiện kết quả B qua tất cả các nhánh dẫn tới nó — tức là áp dụng quy tắc xác suất toàn phần (law of total probability) sau khi đã nhân xác suất trên từng đường đi.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1296 (Arbor scientiae) — tên gọi được ghi nhận từ 1965Ramon LlullCharles DarwinNoam Chomsky

Sơ đồ hình cây khởi nguồn từ truyền thống vẽ tri thức theo lối phân nhánh của nhà triết học người Tây Ban Nha Ramon Llull ở thế kỷ 13, được Charles Darwin đưa vào khoa học hiện đại năm 1859, và mãi đến năm 1965 mới có tên gọi chính thức trong tiếng Anh.

Thử nghiệm tương tác

Bấm một nhánh — nhìn xác suất nhân dọc đường từ gốc tới lá

Hay hiểu sai

Đi dọc một nhánh thì nhân, không cộng.

Con số trên nhánh tầng hai là xác suất có điều kiện (conditional probability), không phải xác suất của lá.

Đề hỏi ngược chiều điều kiện thì phải chia, không được đọc thẳng trên nhánh.

Lấy mẫu không hoàn lại thì xác suất ở tầng sau phải thay đổi.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Ở một trường trung học, mỗi học sinh đến trường bằng đúng một trong ba cách: 45% đi xe buýt, 30% đi xe đạp và 25% đi bộ. Theo dõi trong nhiều tháng, ban giám hiệu ghi nhận rằng trong nhóm đi xe buýt có 10% số buổi đến muộn, trong nhóm đi xe đạp là 5%, còn trong nhóm đi bộ là 20%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường trong một buổi học bất kỳ.

aVẽ sơ đồ cây mô tả tình huống và tính xác suất để học sinh được chọn đến muộn.
bBiết học sinh được chọn đến muộn, tính xác suất em ấy đi xe buýt.

1Bước 1: Dựng tầng thứ nhất của cây theo phương tiện đi lại, vì đây là thông tin được cho trước và không phụ thuộc vào điều gì khác. Ba nhánh xuất phát từ gốc mang các xác suất

P(B)=0{,}45

cho xe buýt,

P(D)=0{,}30

cho xe đạp và

P(W)=0{,}25

cho đi bộ, trong đó tổng ba số đúng bằng

1

nên ba nhánh đã phủ kín mọi khả năng. Từ mỗi nhánh đó lại tách ra hai nhánh con "đến muộn" (ký hiệu

M

) và "không muộn", và các con số

0{,}10

;

0{,}05

;

0{,}20

chính là xác suất có điều kiện (conditional probability)

P(M\mid B)

P(M\mid D)

P(M\mid W)

. Điều cần nhớ là các số ghi trên nhánh tầng hai luôn là xác suất có điều kiện, chứ không phải xác suất của riêng biến cố đến muộn.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Xác suất có điều kiện” — khoá AP Statistics

Cần trướckhông gian mẫu biến cố

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

bảng hai chiềutwo-way table

Khác nhau ở đâuSơ đồ cây trình bày tuần tự từng giai đoạn của thí nghiệm và dùng phép nhân xác suất theo nhánh, còn bảng hai chiều tóm gọn tần số hoặc xác suất của hai biến phân loại trong một lưới không có thứ tự thời gian

Hay nhầm khiđề cho dữ liệu về hai đặc điểm của cùng một cá thể — nếu không có quan hệ nhân–quả theo thứ tự thì dùng bảng hai chiều; nếu sự kiện diễn ra theo từng bước nối tiếp thì dùng sơ đồ cây

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 270, 274.

P(B)

xác suất tổng của sự kiện B, tổng hợp từ mọi nhánh

A_i

các sự kiện phân hoạch không gian mẫu, ứng với các nhánh gốc của sơ đồ cây

P(A_i) \cdot P(B|A_i)

xác suất trên một đường đi cụ thể kết thúc tại B

Ban đầu, cây không phải công cụ xác suất mà là cách sắp xếp tri thức. Tập hợp các sơ đồ dạng cây về khoa học và hiểu biết con người mang tên Arbor scientiae của Llull, công bố năm 1296, được xem là cột mốc lớn của việc trực quan hóa dữ liệu (data visualization). Đến năm 1859, Darwin dành hẳn tám trang trong công trình về nguồn gốc các loài để giải thích sơ đồ "Cây sự sống", vì ông tin rằng chỉ hình vẽ mới lột tả nổi các quan hệ chằng chịt giữa những loài đã tuyệt chủng và loài còn sống. Nhờ đó, ý tưởng "mỗi nhánh sinh ra từ một nhánh trước nó" trở thành khuôn mẫu chung. Xác suất thừa hưởng đúng khuôn mẫu ấy: đi dọc một đường từ gốc ra ngọn thì nhân các xác suất trên đường đó, tức

P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)

, nghĩa là khả năng cả hai biến cố cùng xảy ra bằng xác suất biến cố đầu nhân với xác suất có điều kiện (conditional probability) của biến cố sau.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên đến từ hình dáng: một thân chính tách ra thành nhiều nhánh, mỗi nhánh lại tách tiếp, đúng như dáng cây. Điều trớ trêu là sơ đồ thường bị vẽ ngược so với cây thật, gốc nằm ở trên đỉnh còn các "lá" rủ xuống dưới, hoặc trong bài toán xác suất thì gốc nằm bên trái và các nhánh trải sang phải. Thuật ngữ tiếng Anh mãi mới được chuẩn hóa: từ điển Oxford ghi nhận cả "tree structure" lẫn "tree-diagram" xuất hiện năm 1965 trong công trình về lý thuyết cú pháp của Noam Chomsky, nơi ông dùng cây để tách một câu thành các thành phần nhỏ dần. Vì vậy, khi bạn vẽ cây cho hai lần tung đồng xu, bạn đang mượn lại đúng cái hình ảnh mà triết học, sinh học tiến hóa và ngôn ngữ học đều đã dùng trước đó.

Bấm một nhánh — nhìn xác suất nhân dọc đường từ gốc tới lá

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Ghi nhãn đầy đủ cho mọi nhánh trước khi tính, kể cả nhánh phần bù.

Viết ký hiệu xác suất bằng lời của bài toán, đừng chỉ để lại dãy số.

Gặp cụm "given that" trong đề là dấu hiệu phải quay về mẫu số nhỏ hơn.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Nhân dọc theo từng đường đi từ gốc ra lá để có xác suất của giao hai biến cố, đúng theo quy tắc nhân tổng quát (general multiplication rule)

P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)

. Ta được

P(B\cap M)=0{,}45\times 0{,}10=0{,}045

P(D\cap M)=0{,}30\times 0{,}05=0{,}015

và

P(W\cap M)=0{,}25\times 0{,}20=0{,}050

. Mỗi tích này trả lời một câu hỏi rất cụ thể, chẳng hạn

0{,}045

là tỉ lệ học sinh vừa đi xe buýt vừa đến muộn trong toàn trường, không phải tỉ lệ trong riêng nhóm đi xe buýt.

3Bước 3: Cộng ba lá cùng dẫn tới "đến muộn" lại, vì ba con đường ấy rời nhau và không bỏ sót trường hợp nào. Đây chính là quy tắc xác suất toàn phần (law of total probability):

P(M)=0{,}045+0{,}015+0{,}050=0{,}110.

Vậy khoảng

11\%

số học sinh đến muộn trong một buổi học ngẫu nhiên. Kết quả này nằm giữa

5\%

và

20\%

đúng như trực giác, bởi nó là trung bình có trọng số của ba tỉ lệ thành phần với trọng số là quy mô ba nhóm.

4Bước 4: Sang ý (b), đề đảo ngược chiều điều kiện: cây cho ta

P(M\mid B)

nhưng câu hỏi cần

P(B\mid M)

. Dùng định nghĩa xác suất có điều kiện với tử số lấy từ Bước 2 và mẫu số lấy từ Bước 3:

P(B\mid M)=\frac{P(B\cap M)}{P(M)}=\frac{0{,}045}{0{,}110}\approx 0{,}409.

Nói cách khác, trong số những học sinh đến muộn thì khoảng

40{,}9\%

là học sinh đi xe buýt. Tính tương tự sẽ được

P(D\mid M)=0{,}015/0{,}110\approx 0{,}136

và

P(W\mid M)=0{,}050/0{,}110\approx 0{,}455

; ba số này cộng lại bằng

1

, một phép thử nhanh cho thấy lời giải nhất quán.

5Bước 5: Cuối cùng, hãy trình bày đủ các phép nhân và phép cộng ở trên chứ đừng chỉ ghi mỗi con số cuối. Bài thi cho điểm dựa trên việc người chấm nhìn thấy bạn dùng đúng cấu trúc nhân dọc theo nhánh rồi cộng ngang các lá; một đáp số trần trụi không kèm quá trình gần như không được điểm nào.

Xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên đến muộn là $P(M)=0{,}110$ , tức khoảng $11\%$ số học sinh của trường. Nếu biết trước rằng học sinh đó đến muộn thì xác suất em ấy đi xe buýt là khoảng $0{,}409$ , nghĩa là cứ mười học sinh đến muộn thì khoảng bốn em đi xe buýt. Con số $0{,}409$ lớn hơn hẳn $0{,}10$ ban đầu, cho thấy việc biết "em ấy đến muộn" đã làm thay đổi đáng kể nhận định về phương tiện đi lại của em.

2Ví dụ 2/2

Một hộp bút gồm 8 chiếc, trong đó có 3 chiếc bị lỗi và 5 chiếc còn tốt. Nhân viên kiểm tra chất lượng rút ngẫu nhiên lần lượt 2 chiếc bút ra khỏi hộp và không bỏ chiếc đã rút trở lại (without replacement).

aTính xác suất cả hai chiếc bút rút ra đều bị lỗi.
bTính xác suất có đúng một chiếc bút bị lỗi trong hai chiếc rút ra.
cTính xác suất có ít nhất một chiếc bút bị lỗi.

1Bước 1: Ở đây sơ đồ cây đóng vai trò khác hẳn ví dụ trước: nó không dùng để đảo chiều điều kiện mà để theo dõi một quá trình diễn ra qua hai giai đoạn. Tầng một ứng với chiếc bút thứ nhất, với

P(L_1)=3/8

cho bút lỗi và

P(T_1)=5/8

cho bút tốt. Điểm mấu chốt là vì không hoàn lại nên sau lần rút đầu trong hộp chỉ còn 7 chiếc, do đó các xác suất ghi trên tầng hai phải được cập nhật lại chứ không lặp lại con số của tầng một.

2Bước 2: Xét ý (a) bằng cách đi theo nhánh lỗi rồi lại lỗi. Sau khi đã rút ra một chiếc lỗi, hộp còn 7 chiếc trong đó 2 chiếc lỗi, nên

P(L_2\mid L_1)=2/7

. Nhân dọc theo đường đi:

P(L_1\cap L_2)=\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}\approx 0{,}107.

Vậy chỉ khoảng

10{,}7\%

khả năng nhân viên rút trúng hai chiếc hỏng liên tiếp.

3Bước 3: Ý (b) đòi hỏi gộp hai lá khác nhau, vì "đúng một chiếc lỗi" xảy ra theo hai con đường: lỗi trước tốt sau, hoặc tốt trước lỗi sau. Ta có

P(L_1\cap T_2)=\frac{3}{8}\times\frac{5}{7}=\frac{15}{56}

và

P(T_1\cap L_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}

. Cộng lại được

\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\approx 0{,}536.

Hai đường cho cùng một giá trị là chuyện tình cờ dễ hiểu, vì tử số của cả hai tích đều là

3\times 5

; tuy nhiên vẫn phải kể đủ hai đường, quên một đường là mất một nửa xác suất.

4Bước 4: Với ý (c), thay vì cộng ba lá có chứa bút lỗi, hãy dùng biến cố đối cho gọn. Nhánh "tốt rồi tốt" có xác suất

P(T_1\cap T_2)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}

, nên

P(\text{ít nhất một lỗi})=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}\approx 0{,}643.

Có thể kiểm tra chéo bằng cách cộng trực tiếp kết quả của (a) và (b):

\frac{3}{28}+\frac{15}{28}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}

, đúng bằng con số vừa tìm. Sự trùng khớp này xác nhận rằng bốn lá của cây đã được liệt kê đầy đủ và tổng xác suất của chúng bằng

1

Xác suất cả hai chiếc bút đều bị lỗi là $3/28\approx 0{,}107$ ; xác suất có đúng một chiếc lỗi là $15/28\approx 0{,}536$ ; và xác suất có ít nhất một chiếc lỗi trong hai chiếc rút ra là $9/14\approx 0{,}643$ . Như vậy trong hơn sáu phần mười số lần kiểm tra, nhân viên sẽ phát hiện được ít nhất một chiếc bút hỏng. Toàn bộ lời giải chỉ dựa vào một thao tác lặp lại: nhân các xác suất dọc theo mỗi nhánh của sơ đồ cây, rồi cộng các nhánh cùng dẫn tới kết quả mà đề quan tâm.

Dẫn tớixác suất

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.