Đang tải bài học…

AP Statistics

xác suất có điều kiện

conditional probability

Còn gọi: P(A|B) · xác suất điều kiện · conditional probability notation · P(B|A) · xác suất của A khi biết B · probability of A given B · A given B

Xác suất có điều kiện là xác suất biến cố A xảy ra khi đã biết biến cố B xảy ra, ký hiệu $P(A \mid B)$ .

Xác suất có điều kiện xuất hiện khi thông tin về một biến cố làm thay đổi không gian mẫu mà chúng ta đang xét. Thay vì tính xác suất của A trên toàn bộ không gian ban đầu, ta thu hẹp không gian đó về phần đã biết là B đã xảy ra. Công thức xác định quan hệ này là:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Trong đó $P(A \cap B)$ là xác suất cả hai biến cố cùng xảy ra, còn $P(B)$ là xác suất của biến cố đã biết. Nói cách khác, công thức này đo tỉ lệ phần giao giữa A và B so với toàn bộ phần B.

Từ công thức trên, ta suy ra quy tắc nhân tổng quát (general multiplication rule): $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ . Quy tắc này áp dụng cho mọi cặp biến cố, bất kể chúng có độc lập hay không. Tuy nhiên, khi A và B độc lập, biết B xảy ra không làm thay đổi xác suất của A, tức là $P(A|B) = P(A)$ . Do đó quy tắc nhân rút gọn thành $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , và đây chính là tiêu chuẩn để kiểm tra tính độc lập.

Một lưu ý quan trọng là xác suất có điều kiện và xác suất biến cố xung khắc (mutually exclusive events) thường bị nhầm lẫn. Nếu A và B xung khắc thì $P(A \cap B) = 0$ , suy ra $P(A|B) = 0$ : biết B đã xảy ra thì A chắc chắn không xảy ra. Ngược lại, hai biến cố độc lập không thể xung khắc trừ khi một trong hai có xác suất bằng 0. Phân biệt được hai khái niệm này là điều kiện tiên quyết để giải đúng các bài toán xác suất nhiều biến cố trong đề thi.

Ký hiệu

• $P(A|B)$ : xác suất của A khi biết B đã xảy ra
• $P(B|A)$ : xác suất của B khi biết A đã xảy ra.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến cố độc lập (independent events)independent events

Khác nhau ở đâuXác suất có điều kiện là một giá trị tính được, còn biến cố độc lập là một tính chất kiểm tra xem giá trị đó có bằng xác suất gốc không

Hay nhầm khiđề hỏi "tính

P(A \mid B)

" nhưng học sinh nhầm sang kết luận ngay rằng A và B độc lập mà không so sánh

P(A \mid B)

với

P(A)

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 273, 353, 359.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{P(B \mid A)} = \htmlClass{fp-3}{\dfrac{\htmlClass{fp-1}{P(A \cap B)}}{\htmlClass{fp-2}{P(A)}}}

Dùng khi đề cho xác suất giao của hai sự kiện và xác suất của sự kiện điều kiện, hoặc khi cần tính xác suất một sự kiện trong tập con đã bị ràng buộc bởi sự kiện khác.

Trong đó

P(B \mid A)

xác suất của sự kiện B khi biết sự kiện A đã xảy ra (conditional probability)

P(A \cap B)

xác suất cả hai sự kiện A và B cùng xảy ra

P(A)

xác suất sự kiện A xảy ra, đóng vai trò điều kiện

\htmlClass{fp-0}{P(A \cap B)} = \htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{P(A)} \cdot \htmlClass{fp-2}{P(B \mid A)}}

Dùng khi cần tính xác suất hai sự kiện cùng xảy ra mà đã biết xác suất của sự kiện thứ nhất và xác suất có điều kiện của sự kiện thứ hai sau khi sự kiện thứ nhất đã xảy ra.

Trong đó

P(A \cap B)

xác suất cả hai sự kiện A và B cùng xảy ra

P(A)

xác suất sự kiện A xảy ra

P(B \mid A)

xác suất của sự kiện B khi biết sự kiện A đã xảy ra

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1654Blaise PascalPierre de FermatChristiaan HuygensJohn HuddeAbraham de MoivreThomas BayesRichard PricePierre-Simon LaplaceAndrey Kolmogorov

Xác suất có điều kiện nảy sinh từ trao đổi thư từ giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat năm 1654 quanh bài toán chia tiền cược, rồi được Thomas Bayes đưa vào một quy tắc hình thức năm 1763 và cuối cùng được Andrey Kolmogorov đặt trên nền tiên đề năm 1933.

Câu hỏi khởi thủy rất đời thường: hai người đang chơi một ván cược thì phải bỏ dở, và tiền cược nên chia thế nào khi một bên đã thắng nhiều hiệp hơn bên kia? Đó chính là bài toán chia điểm (problem of points) mà Pascal và Fermat bàn với nhau năm 1654, và để trả lời họ buộc phải tính xác suất thắng chung cuộc trong điều kiện phần đã đấu đã biết. Hơn mười năm sau, Christiaan Huygens và John Hudde trao đổi thư từ về đúng chỗ khác nhau giữa xác suất có điều kiện và xác suất không điều kiện. Từ sòng bạc, ý tưởng này lan sang xét nghiệm y khoa, dự báo thời tiết và lọc thư rác.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "có điều kiện" trỏ đúng cái mệnh đề đặt sau chữ "biết rằng": ta không hỏi biến cố xảy ra hay không nói chung, mà hỏi nó xảy ra trong điều kiện một biến cố khác đã xảy ra rồi. Cách đọc ký hiệu $P(A \mid B)$ là "xác suất của $A$ khi đã biết $B$ ", và vạch đứng chính là chỗ chứa điều kiện ấy. Tên gọi này chỉ đọng lại muộn: cụm tiếng Anh conditional probability được ghi nhận lần đầu vào khoảng 1960–1965, tức là sau khi khái niệm đã sống trong toán học suốt ba thế kỷ. Trước đó người ta gọi vòng vo, chẳng hạn Abraham de Moivre trong lần tái bản thứ hai của The Doctrine of Chances năm 1738 vẫn phải mô tả tính độc lập (independence) bằng lời rằng hai biến cố độc lập khi biến cố này xảy ra không thúc đẩy cũng không cản trở biến cố kia. Ngược lại, quy tắc lật ngược điều kiện mang tên Thomas Bayes lại được đặt tên rất sớm: bài luận An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances in năm 1763 sau khi ông mất, do Richard Price công bố, và định lý Bayes (Bayes' theorem) giữ tên tác giả cho tới nay dù Pierre-Simon Laplace mới là người mở rộng và hệ thống hóa nó trong Théorie analytique des probabilités năm 1812.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

$P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$ là hai số khác nhau.

Xác suất có điều kiện không phải xác suất giao.

Xung khắc không có nghĩa là độc lập — thực ra là ngược lại.

Với bảng hai chiều, mẫu số là tổng của một dòng hoặc một cột.

Mẹo phòng thi

Viết ra ký hiệu $P(A\mid B)$ với tên biến cố cụ thể trước khi tính.

Các cụm "given that", "among those who", "of the students who" đều báo hiệu điều kiện.

Muốn kết luận độc lập, phải so sánh hai số và viết rõ so sánh đó.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học khảo sát toàn bộ 500 học sinh khối 12 về hai việc: có tham gia đội tuyển thể thao của trường hay không, và có đi làm thêm ngoài giờ hay không. Kết quả được ghi lại trong bảng hai chiều (two-way table) dưới đây. | | Có làm thêm | Không làm thêm | Tổng | |---|---|---|---|Có chơi thể thao66154220Không chơi thể thao112168280Tổng178322500 Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số 500 học sinh này. Gọi

S

là biến cố học sinh đó có chơi thể thao và

J

là biến cố học sinh đó có đi làm thêm.

aTính $P(J \mid S)$ và diễn giải kết quả bằng lời trong ngữ cảnh bài toán.
bTính $P(S \mid J)$ . Giải thích vì sao con số này khác với kết quả câu (a).
cHai biến cố $S$ và $J$ có độc lập hay không? Hãy trình bày căn cứ tính toán.

1Bước 1: Trước hết cần nhớ rằng khi có điều kiện, không gian mẫu bị thu hẹp lại chỉ còn phần thỏa điều kiện đó. Công thức nền là

P(B \mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

trong đó

P(A\cap B)

là xác suất cả hai biến cố cùng xảy ra, còn

P(A)

là xác suất của biến cố đóng vai trò điều kiện. Với dữ liệu cho dưới dạng bảng đếm, ta không cần đổi sang xác suất mà chỉ cần lấy số ô giao chia cho số ở dòng hoặc cột được lấy làm điều kiện. Do đó mọi việc quy về đọc đúng mẫu số.

2Bước 2: Với câu (a), điều kiện là "học sinh có chơi thể thao", nên mẫu số là tổng dòng thứ nhất:

220

học sinh. Trong nhóm đó có

66

em đi làm thêm, vậy

P(J \mid S)=\frac{66}{220}=0{,}30.

Nói bằng lời: trong những học sinh khối 12 có chơi thể thao, khoảng

30\%

đi làm thêm ngoài giờ. Lưu ý rằng con số

220

ở mẫu chính là dấu hiệu cho thấy ta đã "đứng bên trong" nhóm chơi thể thao để tính.

3Bước 3: Câu (b) đảo chiều điều kiện, nên mẫu số phải đổi sang tổng cột "Có làm thêm", tức

178

học sinh. Tử số vẫn là ô giao

66

vì đó vẫn là nhóm vừa chơi thể thao vừa làm thêm, và ta được

P(S \mid J)=\frac{66}{178}\approx 0{,}371.

Hai kết quả khác nhau không phải do tính sai mà do mẫu số khác nhau: câu (a) chia cho

220

, câu (b) chia cho

178

. Vì vậy

P(J \mid S)

và

P(S \mid J)

là hai đại lượng khác hẳn nhau, và việc đánh đồng chúng là lỗi rất thường gặp trong bài thi.

4Bước 4: Để trả lời câu (c), ta so sánh xác suất có điều kiện với xác suất không điều kiện: hai biến cố độc lập (independent events) khi và chỉ khi

P(J \mid S)=P(J)

. Ở đây

P(J)=\frac{178}{500}=0{,}356

trong khi

P(J \mid S)=0{,}30

, hai số này không bằng nhau nên

S

và

J

không độc lập. Có thể kiểm chứng thêm bằng cách so sánh hai dòng:

P(J \mid S)=0{,}30

còn

P(J \mid S^{c})=\frac{112}{280}=0{,}40

, chênh lệch rõ rệt. Nhờ đó ta thấy việc biết một học sinh có chơi thể thao đã làm thay đổi khả năng em ấy đi làm thêm.

Trong nhóm học sinh có chơi thể thao, tỉ lệ đi làm thêm là $0{,}30$ ; ngược lại, trong nhóm học sinh có đi làm thêm, tỉ lệ chơi thể thao là khoảng $0{,}371$ . Vì $P(J \mid S)=0{,}30$ khác $P(J)=0{,}356$ (và cũng khác $P(J \mid S^{c})=0{,}40$ ), hai biến cố "chơi thể thao" và "đi làm thêm" không độc lập: học sinh trong đội tuyển thể thao ít đi làm thêm hơn so với học sinh không chơi thể thao, điều này hợp lý vì thời gian tập luyện đã chiếm phần lớn giờ rảnh.

2Ví dụ 2/2

Một loại bệnh xuất hiện ở

2\%

dân số trưởng thành của một thành phố. Bệnh viện dùng một xét nghiệm sàng lọc có đặc điểm sau: nếu người được xét nghiệm thực sự mắc bệnh thì xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất

0{,}95

; nếu người đó không mắc bệnh thì xét nghiệm vẫn cho kết quả dương tính với xác suất

0{,}10

. Chọn ngẫu nhiên một người trưởng thành trong thành phố và cho làm xét nghiệm này.

aTính xác suất người được chọn nhận kết quả dương tính.
bBiết người đó nhận kết quả dương tính, tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

1Bước 1: Ta đặt

D

là biến cố người được chọn mắc bệnh và

T

là biến cố xét nghiệm cho kết quả dương tính. Đề bài cho

P(D)=0{,}02

P(T \mid D)=0{,}95

và

P(T \mid D^{c})=0{,}10

; con số cuối chính là tỉ lệ dương tính giả (false positive). Vẽ sơ đồ cây với nhánh thứ nhất tách theo có bệnh hay không, nhánh thứ hai tách theo kết quả xét nghiệm, ta sẽ thấy ngay hai đường dẫn tới kết quả dương tính. Cách bố trí này giúp không nhầm lẫn giữa xác suất có điều kiện đã cho và xác suất cần tìm.

2Bước 2: Nhân dọc theo từng nhánh của cây bằng quy tắc nhân tổng quát (general multiplication rule)

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

, ta có

P(D\cap T)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019

và

P(D^{c}\cap T)=0{,}98\times 0{,}10=0{,}098.

Số thứ nhất là tỉ lệ người vừa mắc bệnh vừa được phát hiện, số thứ hai là tỉ lệ người khỏe nhưng bị báo động nhầm. Đáng chú ý là nhánh thứ hai lớn hơn hẳn nhánh thứ nhất, đơn giản vì nhóm người khỏe đông gấp

49

lần nhóm mắc bệnh.