AP Statistics

quy tắc cộng xác suất

addition rule

Còn gọi: quy tắc cộng · addition rule

Quy tắc cộng xác suất là công thức tính xác suất của biến cố hợp A hoặc B, bằng tổng xác suất từng biến cố trừ đi phần giao để không đếm trùng.

Khi cần tìm xác suất (probability) một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra, ta dùng quy tắc cộng xác suất. Công thức tổng quát là $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ trong đó $A \cup B$ là biến cố A hoặc B (hoặc cả hai) xảy ra, còn $A \cap B$ là biến cố cả A và B cùng xảy ra. Sở dĩ phải trừ đi $P(A \cap B)$ là vì khi cộng $P(A)$ với $P(B)$ , phần giao giữa hai biến cố đã bị đếm hai lần, nên phải trừ bớt một lần để kết quả đúng; vì vậy công thức này luôn cho ra xác suất không vượt quá 1.

Riêng khi A và B là hai biến cố xung khắc, nghĩa là chúng không thể cùng xảy ra, thì $P(A \cap B) = 0$ và công thức rút gọn thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Đây là trường hợp đặc biệt hay gặp trong đề thi, chẳng hạn xác suất một học sinh chọn đúng một trong ba môn học không trùng nhau. Do đó, trước khi áp dụng công thức rút gọn, học sinh cần kiểm tra kỹ xem hai biến cố có thật sự xung khắc hay không, vì nhầm lẫn ở bước này là lỗi rất phổ biến.

Trong các bài toán có bảng hai chiều, quy tắc cộng xác suất thường được dùng để tính xác suất một cá thể thuộc hàng này hoặc cột kia, dựa trên tần số quan sát chia cho tổng số quan sát. Nhờ vậy, thí sinh có thể kết hợp quy tắc cộng với quy tắc nhân xác suất để giải các bài toán xác suất phức tạp hơn, nơi cả phép hợp và phép giao đều xuất hiện trong cùng một câu hỏi.

Ký hiệu

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Trực giác: Giống như đếm số người thích trà hoặc cà phê: nếu đếm riêng hai nhóm rồi cộng lại, người thích cả hai bị đếm hai lần nên phải trừ bớt một lần.

Công thức

P(A \cup B) = \htmlClass{fp-0}{P(A) + P(B)} - \htmlClass{fp-1}{P(A \cap B)}

dùng khi cần tính xác suất biến cố A hoặc B (hoặc cả hai) xảy ra, đặc biệt khi A và B có thể cùng xảy ra (không rời nhau)

Trong đó

P(A \cup B)

xác suất A xảy ra hoặc B xảy ra hoặc cả hai cùng xảy ra

P(A \cap B)

xác suất cả A và B cùng xảy ra

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

dùng khi A và B là hai biến cố rời nhau (mutually exclusive), tức không thể cùng xảy ra nên $P(A \cap B) = 0$ và không cần trừ phần giao

Trong đó

P(A \cup B)

xác suất A xảy ra hoặc B xảy ra

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1841Augustus De MorganGerolamo Cardano

Quy tắc cộng xác suất được nhà toán học Augustus De Morgan trình bày thành quy tắc rõ ràng trong bộ Penny Cyclopedia năm 1841, trên nền móng khái niệm xác suất mà Gerolamo Cardano đã ghi lại từ thế kỷ 16 khi bàn về các trò chơi may rủi.

Bài toán gốc rất đời thường: khi đặt cược vào một trò chơi, người ta muốn biết khả năng thắng theo cách này hoặc cách kia là bao nhiêu. Gerolamo Cardano là người đầu tiên viết ra định nghĩa xác suất như tỉ lệ số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả đồng khả năng, tức là đưa chuyện may rủi về một phân số đếm được. Nhờ cách nhìn ấy, việc gộp hai khả năng lại trở thành việc gộp hai nhóm kết quả. Đến năm 1841, Augustus De Morgan hệ thống hóa điều đó: ông định nghĩa xác suất rồi phát biểu quy tắc cộng cho hợp của các biến cố xung khắc, cùng các quy tắc tính xác suất của hợp và của giao.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đến thẳng từ phép tính nằm ở trung tâm quy tắc: muốn biết khả năng xảy ra biến cố này hoặc biến cố kia, ta cộng hai xác suất thành phần. Chữ "cộng" hợp lý nhất với trường hợp hai biến cố xung khắc (mutually exclusive events), khi chúng không thể cùng xảy ra và hai nhóm kết quả không chồng lên nhau. Khi chúng có phần chung, phép cộng đơn thuần đếm phần giao (intersection) tới hai lần, nên dạng tổng quát phải trừ bớt phần đó đi: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Công thức này nói rằng xác suất của hợp (union) bằng tổng hai xác suất trừ đi phần đã đếm trùng — đúng như hình ảnh hai vòng tròn giao nhau trong sơ đồ Ven (Venn diagram). Vì vậy cái tên vẫn giữ chữ "cộng" dù có thêm một phép trừ hiệu chỉnh.

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Bật A rồi bật B — bốn ô sáng hai lần chính là phần bị cộng thừa

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Chỉ được cộng thẳng hai xác suất khi hai biến cố không thể cùng xảy ra.

Xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác nhau, không thay thế cho nhau được.

Chữ "hoặc" trong xác suất là hoặc bao hàm, không phải hoặc loại trừ.

Đừng dùng quy tắc cộng cho hai lần thử độc lập nối tiếp nhau.

Mẹo phòng thi

Viết công thức tổng quát ra giấy trước khi thay số, kể cả khi phần giao bằng 0.

Gặp bảng hai chiều thì đếm ô thay vì lắp công thức.

Luôn kiểm tra xem đáp án có nằm trong đoạn từ 0 đến 1 không.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học có 800 học sinh. Nhà trường khảo sát toàn bộ học sinh về việc tham gia hai câu lạc bộ ngoại khóa và thu được kết quả sau: 260 em chỉ sinh hoạt ở câu lạc bộ thể thao, 150 em chỉ sinh hoạt ở câu lạc bộ âm nhạc, 90 em sinh hoạt ở cả hai câu lạc bộ, và 300 em không tham gia câu lạc bộ nào. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Gọi

T

là biến cố học sinh đó sinh hoạt ở câu lạc bộ thể thao và

A

là biến cố học sinh đó sinh hoạt ở câu lạc bộ âm nhạc.

aTính $P(T \cup A)$ , tức xác suất học sinh được chọn tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ.
bTính xác suất học sinh được chọn không tham gia câu lạc bộ nào.
cHai biến cố $T$ và $A$ có xung khắc không? Có độc lập không? Giải thích bằng tính toán.

1Bước 1: Trước hết hãy quy mọi số đếm về xác suất bằng cách chia cho tổng 800. Số học sinh có tham gia thể thao gồm cả nhóm chỉ thể thao lẫn nhóm tham gia cả hai, nên

P(T) = \frac{260+90}{800} = \frac{350}{800} = 0{,}4375

. Tương tự,

P(A) = \frac{150+90}{800} = \frac{240}{800} = 0{,}30

, và phần chồng lấn của hai nhóm cho ta

P(T \cap A) = \frac{90}{800} = 0{,}1125

. Ba con số này chính là ba nguyên liệu mà quy tắc cộng cần đến.

2Bước 2: Áp dụng dạng tổng quát của quy tắc cộng cho hai biến cố bất kỳ:

P(T \cup A) = P(T) + P(A) - P(T \cap A).

Công thức này nói rằng khi cộng hai xác suất, 90 học sinh vừa chơi thể thao vừa chơi nhạc đã bị đếm hai lần, nên phải trừ bớt đúng một lần phần giao đó. Thay số, ta được

P(T \cup A) = 0{,}4375 + 0{,}30 - 0{,}1125 = 0{,}625

3Bước 3: Có thể kiểm chứng kết quả bằng cách đếm trực tiếp, và đây là thói quen nên giữ khi đề cho sẵn bảng hai chiều (two-way table). Số học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ là

260 + 150 + 90 = 500

, do đó xác suất bằng

\frac{500}{800} = 0{,}625

, trùng khớp với Bước 2.

4Bước 4: Ý (b) được giải nhanh nhờ biến cố đối (complement): không tham gia câu lạc bộ nào chính là phần bù của hợp hai biến cố. Vì vậy

P(\text{none}) = 1 - P(T \cup A) = 1 - 0{,}625 = 0{,}375

. Kết quả này khớp với dòng cuối của đề bài, vì

\frac{300}{800} = 0{,}375

5Bước 5: Sang ý (c), hai biến cố xung khắc (mutually exclusive) khi và chỉ khi chúng không thể cùng xảy ra, tức

P(T \cap A) = 0

. Ở đây

P(T \cap A) = 0{,}1125 \neq 0

nên chúng không xung khắc, và đó chính là lý do ta buộc phải trừ phần giao ở Bước 2. Để xét tính độc lập (independent), ta so sánh tích

P(T)P(A) = 0{,}4375 \times 0{,}30 = 0{,}13125

với

P(T \cap A) = 0{,}1125

; hai số này khác nhau nên hai biến cố cũng không độc lập.

Trong nhóm 800 học sinh này, xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ là $0{,}625$ , và xác suất em đó không tham gia câu lạc bộ nào là $0{,}375$ . Hai biến cố "chơi thể thao" và "chơi nhạc" không xung khắc vì có 90 em thuộc cả hai nhóm, đồng thời cũng không độc lập vì $P(T)P(A) = 0{,}13125$ khác với $P(T \cap A) = 0{,}1125$ — biết một em có chơi thể thao thì kỳ vọng về việc em đó chơi nhạc sẽ thay đổi.

2Ví dụ 2/2

Gọi

X

là số anh chị em ruột của một học sinh được chọn ngẫu nhiên tại một trường trung học. Phân bố xác suất (probability distribution) của

X

như sau:

P(X=0)=0{,}18

;

P(X=1)=0{,}32

;

P(X=2)=0{,}27

;

P(X=3)=0{,}15

;

P(X=4)=0{,}08

aTính $P(X \le 1)$ và nêu rõ vì sao ở đây được phép cộng thẳng các xác suất.
bTính $P(X \ge 3)$ bằng hai cách khác nhau.
cMột học sinh viết $P(X \le 1 \text{ hoặc } X \text{ chẵn}) = 0{,}50 + 0{,}53 = 1{,}03$ . Chỉ ra chỗ sai và tính lại cho đúng.

1Bước 1: Kiểm tra bảng phân bố trước khi tính:

0{,}18 + 0{,}32 + 0{,}27 + 0{,}15 + 0{,}08 = 1{,}00

, nên bảng hợp lệ. Điều quan trọng hơn là các giá trị

X = 0, 1, 2, 3, 4

đôi một loại trừ lẫn nhau: một học sinh không thể vừa có đúng 1 vừa có đúng 2 anh chị em. Nhờ đó mọi phần giao đều bằng

0

và quy tắc cộng rút về dạng đơn giản

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

2Bước 2: Với ý (a), biến cố

X \le 1

là hợp của hai kết quả rời nhau

X=0

và

X=1

, nên

P(X \le 1) = 0{,}18 + 0{,}32 = 0{,}50

. Ta cộng thẳng mà không trừ gì cả đúng vì

P(X=0 \cap X=1) = 0

3Bước 3: Ý (b) có thể làm trực tiếp:

P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) = 0{,}15 + 0{,}08 = 0{,}23

. Cách thứ hai đi qua phần bù, vì

P(X \le 2) = 0{,}18 + 0{,}32 + 0{,}27 = 0{,}77

nên

P(X \ge 3) = 1 - 0{,}77 = 0{,}23

. Hai cách cho cùng một con số, và cách thứ hai thường nhanh hơn khi đề hỏi "ít nhất" trong bảng có nhiều giá trị.

4Bước 4: Sang ý (c), hãy liệt kê hai biến cố ra thành tập giá trị. Biến cố

X \le 1

gồm

\{0, 1\}

với xác suất

0{,}50

, còn biến cố "

X

chẵn" gồm

\{0, 2, 4\}

với xác suất

0{,}18 + 0{,}27 + 0{,}08 = 0{,}53

. Hai tập này cùng chứa giá trị

0

, tức chúng không rời nhau, nên cộng thẳng là sai — bằng chứng lộ ngay ở kết quả

1{,}03 > 1

, điều không xác suất nào được phép.

5Bước 5: Phần giao của hai biến cố chính là

\{0\}

, nên

P(\text{giao}) = 0{,}18

. Áp dụng dạng tổng quát:

P(X \le 1 \cup X \text{ chan}) = 0{,}50 + 0{,}53 - 0{,}18 = 0{,}85.

Kiểm tra lại bằng cách gộp tập

\{0, 1, 2, 4\}

0{,}18 + 0{,}32 + 0{,}27 + 0{,}08 = 0{,}85

, đúng như công thức.

Xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên có nhiều nhất 1 anh chị em là $0{,}50$ , và xác suất em đó có ít nhất 3 anh chị em là $0{,}23$ . Lời giải $1{,}03$ của bạn học sinh sai vì đã cộng hai biến cố có chung kết quả $X = 0$ mà quên trừ phần đếm trùng; giá trị đúng là $0{,}85$ . Bài này cho thấy chỉ khi các biến cố không thể đồng thời xảy ra thì mới được cộng thẳng, còn trong mọi trường hợp khác phải dùng dạng tổng quát có trừ phần giao.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐộc lập và biến cố hợpXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyBiến cố xung khắcXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoá AP Statistics

Cần trướcxác suất đồng thời

Dẫn tớibảng hai chiều biến cố bù

Liên quanbiến cố biến cố xung khắc

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

quy tắc nhân xác suất (multiplication rule)multiplication rule

Khác nhau ở đâuQuy tắc cộng tính xác suất để ít nhất một trong hai biến cố xảy ra. Quy tắc nhân tính xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra.

Hay nhầm khiKhi đề dùng chữ "hoặc" và "và" lẫn lộn trong một câu dài, thí sinh hay nhân thay vì cộng.

biến cố xung khắc (mutually exclusive events)mutually exclusive events

Khác nhau ở đâuQuy tắc cộng là công thức tính xác suất hợp của hai biến cố bất kỳ. Biến cố xung khắc là điều kiện làm số hạng bị trừ trong công thức đó bằng 0.

Hay nhầm khiĐề không nói rõ hai biến cố xung khắc mà thí sinh vẫn cộng thẳng, quên trừ phần giao.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 270, 272–273.