AP Statistics

các kết quả đồng khả năng

equally likely outcomes

Còn gọi: equally likely outcomes

Các kết quả đồng khả năng là các kết quả có cùng xác suất xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên, ví dụ mỗi mặt xúc xắc cân đối đều có xác suất bằng nhau.

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, nếu mọi kết quả có thể xảy ra đều mang cùng một mức khả năng xuất hiện thì ta gọi chúng là các kết quả đồng khả năng (equally likely outcomes). Tung một đồng xu cân đối cho ra mặt ngửa và mặt sấp với cơ hội như nhau, còn tung một con xúc xắc cân đối thì cả sáu mặt đều có cùng xác suất. Chính nhờ tính chất này mà ta có thể dùng công thức xác suất cổ điển $P(A) = k/n$ để tính xác suất của biến cố (probability of an event) $A$ , trong đó $k$ là số kết quả thuận lợi cho $A$ và $n$ là tổng số kết quả có thể xảy ra.

Tuy nhiên, điều kiện đồng khả năng không phải lúc nào cũng đúng, và đây chính là điểm học sinh hay nhầm lẫn khi mới học xác suất. Ví dụ khi tung hai đồng xu, các tổng số mặt ngửa có thể là 0, 1 hoặc 2, nhưng ba kết quả này không đồng khả năng vì có hai cách để ra đúng một mặt ngửa trong khi chỉ có một cách để ra toàn ngửa hoặc toàn sấp. Do đó, trước khi áp dụng công thức đếm đơn giản, người làm bài cần xác định rõ không gian mẫu (sample space) đang xét có thật sự gồm những kết quả cùng khả năng xảy ra hay không.

Trong chương trình AP Statistics, khái niệm này thường xuất hiện ở phần mở đầu về xác suất, làm nền tảng để hiểu các quy tắc cộng, quy tắc nhân và sau đó là phân phối xác suất (probability distribution) của biến ngẫu nhiên (random variable). Ngược lại, khi các kết quả không đồng khả năng, người ta buộc phải gán xác suất riêng cho từng kết quả dựa trên dữ liệu thực nghiệm hoặc mô hình lý thuyết, thay vì chia đều cho tổng số kết quả. Nhờ đó, việc nhận diện đúng tình huống đồng khả năng giúp tránh sai lầm phổ biến khi tính xác suất bằng trực giác.

Ký hiệu

P(A) = k/n

Trực giác: Giống như rút một lá bài từ bộ bài đã xáo đều — mỗi lá đều có cơ hội được rút ngang nhau, không lá nào được ưu ái hơn.

Công thức

P(A)=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{k}}{\htmlClass{fp-1}{n}}}

dùng khi không gian mẫu hữu hạn và mọi kết quả có cùng cơ hội xảy ra, ví dụ tung một đồng xu cân đối hay rút một lá bài từ bộ bài đầy đủ — lúc đó không cần biết phân bố xác suất, chỉ cần đếm số kết quả

Trong đó

P(A)

xác suất biến cố

A

xảy ra

k

số kết quả đồng khả năng thuộc biến cố

A

n

tổng số kết quả đồng khả năng trong không gian mẫu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 16Gerolamo CardanoJacob BernoulliAbraham de Moivre

Ý tưởng coi mọi kết quả của một phép thử là có cùng khả năng xuất hiện bắt nguồn từ Gerolamo Cardano (1501–1576), người viết định nghĩa đầu tiên được ghi nhận về xác suất trong cuốn sách bàn về các trò chơi may rủi. Nó ra đời để trả lời một câu hỏi rất thực tế: trong một ván bạc, cơ hội thắng của người chơi là bao nhiêu.

Vào thế kỷ 16, cờ bạc là chuyện thường ngày nhưng chưa ai biết tính cơ hội thắng thua bằng con số. Cardano, vừa là thầy thuốc vừa là con bạc, nhận ra rằng với một con xúc xắc cân đối thì không có mặt nào được thiên vị, nên có thể đếm số kết quả thuận lợi rồi chia cho tổng số kết quả có thể xảy ra. Cách hiểu này biến xác suất thành một tỉ lệ đếm được, và suốt nhiều thế hệ nó là nền tảng của lý thuyết xác suất cổ điển. Phải đến khi Jacob Bernoulli mở rộng sang những tình huống mà các khả năng không còn bằng nhau, người ta mới có công cụ suy luận cho các bài toán đời thực thiếu tính đối xứng.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi phản ánh đúng giả định làm nên nó: các kết quả được xem là "đồng khả năng" vì không có bằng chứng nào cho thấy tự nhiên ưu ái kết quả này hơn kết quả kia. Lập luận ủng hộ giả định ấy thường dựa vào tính đối xứng vật lý của vật thể — đồng xu cân đối, xúc xắc cân đối — nên nếu phép thử có $n$ kết quả thì mỗi kết quả nhận xác suất $1/n$ . Trong triết học xác suất, nguyên tắc gán xác suất bằng nhau khi không có thông tin phân biệt được gọi là nguyên lý bàng quan (principle of indifference), và chính nó giải thích vì sao một cái tên nghe như lời khẳng định về thế giới thật ra chỉ là một quy ước tính toán.

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Bấm "tổng bằng 7" — 36 ô bằng nhau nhưng chỉ 6 ô sáng lên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Không phải cứ có $k$ kết quả là mỗi kết quả có xác suất $1/k$ .

Tổng hai xúc xắc có 11 giá trị nhưng KHÔNG đồng khả năng.

Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản đòi hỏi mọi MẪU cùng cỡ đều đồng khả năng, không chỉ mọi cá thể.

Đồng khả năng là giả định phải kiểm chứng, không phải kết luận rút từ dữ liệu.

Mẹo phòng thi

Viết rõ một câu biện minh cho giả định đồng khả năng trước khi dùng $n(A)/n(S)$ .

Khi nghi ngờ, hãy liệt kê không gian mẫu ở mức chi tiết nhất.

Đừng nhầm đồng khả năng với độc lập (independent).

Tần suất trong đề AP StatisticsHiếm gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trò chơi hội chợ dùng hai con xúc xắc cân đối, mỗi con có sáu mặt ghi từ 1 đến 6. Người chơi gieo đồng thời hai con rồi cộng hai số chấm nhận được. Ban tổ chức khẳng định rằng mọi kết quả của phép gieo đều có khả năng xuất hiện như nhau, còn một người chơi thì lập luận rằng vì tổng chỉ nhận các giá trị từ 2 đến 12 nên mười một tổng này cũng đồng khả năng.

aMô tả không gian mẫu của phép gieo hai con xúc xắc và tính xác suất để tổng số chấm bằng 7.
bLập luận của người chơi đúng hay sai? Dùng xác suất của tổng bằng 2 và tổng bằng 7 để giải thích.

1Bước 1: Xác định đúng tập hợp các kết quả đồng khả năng. Vì hai con xúc xắc cân đối và được gieo độc lập, mỗi cặp có thứ tự

(x, y)

với

x

là số chấm của con thứ nhất và

y

là số chấm của con thứ hai đều có cùng khả năng xảy ra. Không gian mẫu (sample space) do đó gồm

6 \times 6 = 36

cặp, và mỗi cặp có xác suất

1/36

2Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố (event) "tổng bằng 7". Các cặp thỏa mãn là

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

, tất cả là

6

cặp. Áp dụng công thức xác suất cổ điển (classical probability)

P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}

trong đó

n(A)

là số kết quả thuận lợi và

n(S)

là tổng số kết quả đồng khả năng, ta được

P(\text{sum} = 7) = 6/36 = 1/6 \approx 0{,}1667

3Bước 3: Tính xác suất của tổng bằng 2 để so sánh. Chỉ có duy nhất cặp

(1,1)

cho tổng bằng 2, nên

P(\text{sum} = 2) = 1/36 \approx 0{,}0278

. Con số này nhỏ hơn hẳn

1/6

, vì vậy hai tổng khác nhau rõ ràng không có cùng khả năng xảy ra.

4Bước 4: Chỉ ra chỗ sai trong lập luận của người chơi. Người chơi đã gán tính đồng khả năng cho các giá trị của tổng, trong khi tính chất đó chỉ thuộc về

36

cặp

(x, y)

. Mỗi tổng được ghép từ một số lượng cặp khác nhau — tổng 7 có sáu cặp, tổng 2 chỉ có một cặp — nên xác suất của chúng phải khác nhau. Nếu mười một tổng thật sự đồng khả năng thì mỗi tổng có xác suất

1/11 \approx 0{,}0909

, không khớp với bất kỳ giá trị nào tính được ở trên.

Không gian mẫu gồm 36 cặp có thứ tự đồng khả năng, mỗi cặp có xác suất $1/36$ ; từ đó xác suất tổng số chấm bằng 7 là $6/36 = 1/6 \approx 0{,}1667$ . Khẳng định của ban tổ chức là đúng nhưng chỉ đúng với các cặp $(x, y)$ , còn lập luận của người chơi là sai: vì $P(\text{sum} = 2) = 1/36$ khác $P(\text{sum} = 7) = 6/36$ nên mười một tổng từ 2 đến 12 không đồng khả năng.

2Ví dụ 2/2

Một trường trung học có 1200 học sinh, phân bố theo khối như sau: khối 9 có 340 học sinh, khối 10 có 310 học sinh, khối 11 có 290 học sinh và khối 12 có 260 học sinh. Ban giám hiệu chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách toàn trường, sao cho mọi học sinh đều có cùng cơ hội được chọn, để phỏng vấn về chất lượng bữa ăn bán trú.

aTính xác suất học sinh được chọn thuộc khối 12.
bMột bạn cho rằng vì trường có bốn khối nên xác suất chọn được học sinh khối 12 là $1/4 = 0{,}25$ . Hãy nhận xét lập luận này.

1Bước 1: Kiểm tra tổng số học sinh để bảo đảm số liệu nhất quán:

340 + 310 + 290 + 260 = 1200

. Vậy danh sách toàn trường gồm đúng 1200 tên, và cách chọn ngẫu nhiên đơn giản (simple random sampling) khiến mỗi tên đều có xác suất được rút bằng nhau là

1/1200

2Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi. Biến cố "học sinh được chọn thuộc khối 12" gồm đúng 260 học sinh trong danh sách, nên

n(A) = 260

còn

n(S) = 1200

3Bước 3: Áp dụng công thức xác suất cổ điển:

P(A) = \frac{260}{1200} = \frac{13}{60} \approx 0{,}2167.

Nói cách khác, nếu lặp lại việc chọn ngẫu nhiên này rất nhiều lần thì khoảng 21,67% số lần ta gặp một học sinh khối 12.

4Bước 4: Phân tích lập luận của bạn học sinh. Giá trị

0{,}25

chỉ đúng nếu bốn khối là bốn kết quả đồng khả năng, tức là ta bốc thăm tên khối chứ không bốc thăm tên học sinh. Ở đây phép chọn tác động lên 1200 cá nhân, và bốn khối có sĩ số lệch nhau nên chúng không thể đồng khả năng: khối 9 có xác suất

340/1200 \approx 0{,}2833

, lớn hơn hẳn khối 12. Do đó

0{,}25

là con số ước lượng quá cao cho khối 12.

Xác suất học sinh được phỏng vấn thuộc khối 12 là $260/1200 = 13/60 \approx 0{,}2167$ . Lập luận của bạn học sinh sai vì đã nhầm đơn vị mang tính đồng khả năng: chính 1200 học sinh mới có cơ hội được chọn như nhau, còn bốn khối có sĩ số khác nhau nên xác suất của chúng lần lượt là $0{,}2833$ ; $0{,}2583$ ; $0{,}2417$ và $0{,}2167$ chứ không phải đều bằng $0{,}25$ .

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyGiới thiệu xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoá AP Statistics

Cần trướckết cục

Dẫn tớixác suất của biến cố mô phỏng

Liên quankhông gian mẫu biến cố

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối đều (uniform distribution)uniform distribution

Khác nhau ở đâuCác kết quả đồng khả năng là giả định về từng kết cục rời rạc trong không gian mẫu. Phân phối đều là mô hình xác suất của một biến ngẫu nhiên, thường liên tục.

Hay nhầm khiKhi đề cho quay bánh xe hoặc chọn số ngẫu nhiên trong một khoảng, thí sinh hay dùng phép đếm thay vì tính diện tích.

mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample)simple random sample

Khác nhau ở đâuCác kết quả đồng khả năng nói về xác suất bằng nhau của từng kết cục trong một phép thử. Mẫu ngẫu nhiên đơn giản là cách chọn khiến mọi nhóm cùng cỡ có cơ hội như nhau.

Hay nhầm khiCâu hỏi cho mỗi cá thể cùng cơ hội được chọn nhưng cách chọn vẫn không phải SRS, ví dụ mẫu hệ thống hay mẫu phân tầng.