AP Statistics

tổ hợpcombination

combinationVietnamese: tổ hợp

Tổ hợp (combination) là cách chọn k phần tử từ tập n phần tử mà không quan tâm thứ tự, chỉ đếm số nhóm khác nhau có thể tạo ra.A combination is a selection of $k$ elements from a set of $n$ elements in which order does not matter, so it counts only the distinct groups that can be formed.

Trực giác: Chọn ba người trong lớp đi dọn thư viện: dù bạn chọn Anh rồi đến Bình hay chọn Bình trước rồi mới đến Anh, nhóm làm việc cuối cùng vẫn là một.Intuition: Suppose three students in a class are picked to tidy the library. Choosing Alex and then Ben gives the same work crew as choosing Ben and then Alex.

Công thức chínhKey formula

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổ hợp là một nhóm gồm $k$ phần tử lấy từ $n$ phần tử khác nhau, trong đó mọi thứ tự lấy cùng các phần tử được xem là một kết quả. Số nhóm được ký hiệu $C(n,k)$ hoặc $\binom{n}{k}$ ; công thức giai thừa loại trùng lặp do hoán vị trong nhóm được chọn và nhóm còn lại.

Tổ hợp dùng trong xác suất và thống kê, như đếm vị trí của các lần thành công trong phân phối nhị thức. Khác phép chọn có thứ tự, đổi chỗ phần tử không tạo kết quả mới.

A combination is a group of $k$ elements chosen from $n$ distinct elements, where any two selections containing the same elements count as one outcome regardless of the order in which they were picked. The number of such groups is written $C(n,k)$ or $\binom{n}{k}$ ; the factorial formula divides out the orderings within the chosen group and within the group left behind.

Combinations appear throughout probability and statistics — for example, in counting the possible positions of the successes in a binomial distribution. Unlike an ordered selection, rearranging the elements of a combination produces no new outcome.

Ký hiệuNotation

{n \choose k}

C(n,k)

, hoặc

_nC_k

{n \choose k}

C(n,k)

, or

_nC_k

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

C(n,k) = \binom{n}{k} = \htmlClass{fp-3}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n!}}{\htmlClass{fp-1}{k!}\htmlClass{fp-2}{(n-k)!}}}

C(n,k) = \binom{n}{k} = \htmlClass{fp-3}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n!}}{\htmlClass{fp-1}{k!}\htmlClass{fp-2}{(n-k)!}}}

Dùng để đếm số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử khi thứ tự không quan trọng.Counts the number of ways to choose $k$ elements from $n$ elements when order does not matter.

Trong đóWhere

n

tổng số phần tử trong tập hợp ban đầutotal number of items in the original set

k

số phần tử được chọn vào mỗi tổ hợpnumber of items chosen for each combination

n!

giai thừa của

n

, bằng

n \times (n-1) \times \cdots \times 1

factorial of

n

, equal to

n \times (n-1) \times \cdots \times 1

\binom{n}{k}

ký hiệu hệ số nhị thức, đọc là "

n

chọn

k

"binomial coefficient notation, read as "

n

choose

k

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Thứ tự không ảnh hưởng đến tổ hợp.

Nếu đổi chỗ làm kết quả khác, phải dùng phép đếm có thứ tự; số cách khi đó bằng $k!$ lần số tổ hợp.

Trong phân phối nhị thức, hệ số $\binom{n}{k}$ không phải xác suất.

Nó đếm vị trí của $k$ lần thành công; $p^k(1-p)^{n-k}$ là xác suất của một dãy cụ thể. Với đúng một thứ tự, không nhân hệ số.

Order has no effect on a combination.

If swapping two elements produces a different outcome, you need an ordered count instead, which gives $k!$ times as many arrangements as combinations.

In a binomial distribution, the coefficient $\binom{n}{k}$ is not a probability.

It counts the possible positions of the $k$ successes, while $p^k(1-p)^{n-k}$ gives the probability of one specific sequence. If only one particular order is intended, do not multiply by the coefficient.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Giải thích vì sao dùng nCr.

Trong bài tự luận, nêu thứ tự không quan trọng và giá trị tính được đếm những nhóm nào.

Chỉ dùng công thức tổ hợp khi đề đếm nhóm không xét thứ tự.

Nếu đề chỉ liệt kê các bộ giá trị để so sánh, hãy dùng công cụ của bài đó.

Justify your use of nCr.

On free-response questions, state that order does not matter and say exactly which groups the value you computed is counting.

Use the combination formula only when the problem counts groups without regard to order.

If a question merely lists sets of values for comparison, use the tool that question calls for.

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsHiếm gặpRare

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 13 đến thế kỷ 17Leonardo FibonacciJordanus de NemoreBlaise PascalGottfried LeibnizJacob BernoulliPierre de Fermat

Năm 1654, Pascal và Fermat trao đổi về các bài toán may rủi, khiến phép đếm tổ hợp trở thành công cụ nền của xác suất.

In 1654, Pascal and Fermat exchanged letters about problems of chance, and combinatorial counting became a foundational tool of probability.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nhấn mạnh đúng chỗ khác biệt của khái niệm: một tổ hợp là một nhóm được gộp lại, nên thứ tự lấy ra không còn ý nghĩa. Nếu ta chọn hai vật từ nhóm $\{A,B,C\}$ thì $\{A,B\}$ và $\{B,A\}$ chỉ là một tổ hợp duy nhất, và tất cả các tổ hợp gồm hai vật là $\{A,B\}$ , $\{B,C\}$ , $\{A,C\}$ . Chính vì vậy nó tách hẳn khỏi hoán vị (permutations) — thuật ngữ mà Jacob Bernoulli thường được ghi công đặt ra không lâu sau đó, dù có ý kiến truy về Thomas Strode ở thế kỷ 17. Bản thân chữ "combinations" được Pascal và Leibniz dùng theo nghĩa chuyên môn từ thế kỷ 17, và tiếng Việt dịch sát ý gộp nhóm ấy thành "tổ hợp".

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Chọn k trong 5 — đếm đủ mọi cách, rồi gạt 'thứ tự có tính'

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới thiệu xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Cần trướcLearn firstbiến cốevent không gian mẫusample space

Dẫn tớiLeads tophân phối nhị thứcbinomial distribution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

biến cố xung khắc (mutually exclusive events)mutually exclusive events

Khác nhau ở đâuHow they differTổ hợp là công cụ đếm cách chọn nhóm không quan tâm thứ tự, còn biến cố xung khắc là tính chất của hai biến cố không thể cùng xảy ra

Hay nhầm khiMixed up whenđề hỏi xác suất chọn nhóm người — học sinh tính xác suất bằng trực giác thay vì dùng tổ hợp để đếm số cách chọn

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 65, 287, 346.