Đang tải bài học…

AP Statistics

tổ hợp

combination

Tổ hợp (combination) là cách chọn k phần tử từ tập n phần tử mà không quan tâm thứ tự, chỉ đếm số nhóm khác nhau có thể tạo ra.

Khi ta chọn $k$ phần tử từ một tập gồm $n$ phần tử khác nhau, nếu chỉ quan tâm đến việc phần tử nào được chọn chứ không quan tâm thứ tự, ta dùng tổ hợp. Số tổ hợp được ký hiệu là ${n \choose k}$ hoặc $C(n,k)$ , và được tính bằng công thức:

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Trong đó $n!$ là giai thừa của $n$ , tức tích các số tự nhiên từ $1$ đến $n$ , còn $k!$ và $(n-k)!$ là giai thừa của số phần tử được chọn và số phần tử không được chọn. Công thức này cho biết có bao nhiêu nhóm $k$ phần tử khác nhau có thể tạo thành từ tập $n$ phần tử.

Để lý giải nguồn gốc của công thức trên, ta xuất phát từ việc đếm số cách sắp xếp có thứ tự rồi loại bỏ sự trùng lặp do hoán vị. Cụ thể, có $n!$ cách sắp xếp tất cả $n$ phần tử, nhưng vì thứ tự trong nhóm $k$ phần tử không quan trọng, ta chia cho $k!$ ; tương tự, thứ tự của $n-k$ phần tử còn lại cũng không quan trọng nên ta chia thêm $(n-k)!$ . Do đó, tổ hợp luôn nhỏ hơn hoặc bằng chỉnh hợp, và chỉ bằng nhau khi $k=0$ hoặc $k=n$ .

Không chỉ dừng lại ở lí thuyết, tổ hợp còn xuất hiện thường xuyên trong các bài toán xác suất và thống kê, đặc biệt khi ta cần đếm số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu. Ví dụ, khi rút 5 lá bài từ một bộ bài chuẩn, ta dùng tổ hợp vì tay bài $\{A♠, K♥\}$ được coi là giống tay bài $\{K♥, A♠\}$ . Ngoài ra, tổ hợp còn là nền tảng của phân phối nhị thức (binomial distribution), trong đó mỗi lần thử nghiệm chỉ có hai kết quả; vì vậy, khi quan tâm đến số lần thành công trong $n$ lần thử độc lập, ta lại một lần nữa cần đến tổ hợp để đếm các trường hợp có thể xảy ra.

Ký hiệu

{n \choose k}

C(n,k)

, hoặc

_nC_k

Trực giác: Chọn ba người trong lớp đi dọn thư viện: dù bạn chọn Anh rồi đến Bình hay chọn Bình trước rồi mới đến Anh, nhóm làm việc cuối cùng vẫn là một.

Công thức

C(n,k) = \binom{n}{k} = \htmlClass{fp-3}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n!}}{\htmlClass{fp-1}{k!}\htmlClass{fp-2}{(n-k)!}}}

Dùng khi cần đếm số cách chọn $k$ phần tử từ tập $n$ phần tử mà thứ tự chọn không quan trọng — chẳng hạn tính số tay bài, số cách chọn ủy ban, hoặc tính hệ số trong phân phối nhị thức (binomial distribution).

Trong đó

n

tổng số phần tử trong tập hợp ban đầu

k

số phần tử được chọn vào mỗi tổ hợp

n!

giai thừa của

n

, bằng

n \times (n-1) \times \cdots \times 1

\binom{n}{k}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 13 đến thế kỷ 17Leonardo FibonacciJordanus de NemoreBlaise PascalGottfried LeibnizJacob Bernoulli

Thử nghiệm tương tác

Chia cho k! — nhìn số cách xếp thứ tự biến mất, chỉ còn tổ hợp

Hay hiểu sai

Tổ hợp không quan tâm thứ tự, hoán vị (permutation) thì có.

Số nghiệm thức trong thiết kế thí nghiệm không tính bằng công thức tổ hợp.

Chữ "combination" trong đề suy luận thống kê thường chỉ là "cặp giá trị".

Trong phân phối nhị thức, $\binom{n}{k}$ đếm vị trí của các lần thành công, không phải xác suất.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một tiệm bánh muốn tìm cách nướng tốt nhất cho một loại bánh mì nguyên cám. Hai yếu tố được xem xét là nhiệt độ lò (160°C, 180°C, 200°C) và thời gian nướng (25 phút, 35 phút). Tuy nhiên, cách nướng ở 200°C trong 35 phút bị loại khỏi nghiên cứu vì chắc chắn làm cháy vỏ bánh. Tiệm chuẩn bị được 30 mẻ bột giống hệt nhau để đưa vào thử nghiệm.

aNghiên cứu này có bao nhiêu tổ hợp nhiệt độ – thời gian được đem thử? Hãy liệt kê chúng.
bMô tả cách phân 30 mẻ bột vào các tổ hợp đó theo một thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên.

1Bước 1: Trước hết hãy đếm xem có bao nhiêu cách ghép nếu không loại bỏ gì. Yếu tố nhiệt độ có 3 mức, yếu tố thời gian có 2 mức, nên theo quy tắc nhân ta được

3 \times 2 = 6

cách ghép. Con số này nói rằng nếu ghép mọi mức nhiệt độ với mọi mức thời gian thì có 6 kiểu nướng khác nhau.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Xác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến cố không gian mẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến cố xung khắc (mutually exclusive events)mutually exclusive events

Khác nhau ở đâuTổ hợp là công cụ đếm cách chọn nhóm không quan tâm thứ tự, còn biến cố xung khắc là tính chất của hai biến cố không thể cùng xảy ra

Hay nhầm khiđề hỏi xác suất chọn nhóm người — học sinh tính xác suất bằng trực giác thay vì dùng tổ hợp để đếm số cách chọn

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 65, 287, 346.

ký hiệu hệ số nhị thức, đọc là "

n

chọn

k

Phép đếm tổ hợp lớn lên cùng ngành toán học tổ hợp (combinatorics), du nhập vào châu Âu từ thế kỷ 13 qua Leonardo Fibonacci và Jordanus de Nemore; chính Blaise Pascal và Gottfried Leibniz là những người bắt đầu dùng đúng chữ "combinations" từ thế kỷ 17.

Việc đếm số cách chọn ra một nhóm vật đã được nhiều nền văn minh cổ quan tâm, nhưng ở châu Âu thì mạch nghiên cứu bắt đầu từ thế kỷ 13. Fibonacci mang các ý tưởng của toán học Ả Rập và Ấn Độ vào lục địa này qua cuốn Liber Abaci, còn Jordanus de Nemore là người đầu tiên xếp các hệ số nhị thức (binomial coefficients) thành hình tam giác. Cũng cách sắp xếp ấy xuất hiện ở Trung Đông năm 1265 và ở Trung Quốc khoảng năm 1300, và ngày nay ta gọi nó là tam giác Pascal (Pascal's triangle). Đến thế kỷ 17, khi Pascal trao đổi thư từ với Pierre de Fermat năm 1654 về các bài toán may rủi, phép đếm này trở thành công cụ nền của lý thuyết xác suất.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nhấn mạnh đúng chỗ khác biệt của khái niệm: một tổ hợp là một nhóm được gộp lại, nên thứ tự lấy ra không còn ý nghĩa. Nếu ta chọn hai vật từ nhóm $\{A,B,C\}$ thì $\{A,B\}$ và $\{B,A\}$ chỉ là một tổ hợp duy nhất, và tất cả các tổ hợp gồm hai vật là $\{A,B\}$ , $\{B,C\}$ , $\{A,C\}$ . Chính vì vậy nó tách hẳn khỏi hoán vị (permutations) — thuật ngữ mà Jacob Bernoulli thường được ghi công đặt ra không lâu sau đó, dù có ý kiến truy về Thomas Strode ở thế kỷ 17. Bản thân chữ "combinations" được Pascal và Leibniz dùng theo nghĩa chuyên môn từ thế kỷ 17, và tiếng Việt dịch sát ý gộp nhóm ấy thành "tổ hợp".

Chia cho k! — nhìn số cách xếp thứ tự biến mất, chỉ còn tổ hợp

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Bấm máy bằng nCr và nPr, nhưng phải viết rõ đang dùng cái nào.

Với câu thiết kế thí nghiệm, đếm nghiệm thức trước khi đọc các phương án.

Đọc kỹ chữ "combination" trong đề: có khi nó không phải phép đếm.

Tần suất trong đề AP StatisticsHiếm gặp

Bước 2: Đề bài loại đi đúng một cách ghép là 200°C – 35 phút, do đó số tổ hợp thật sự được thử là

6 - 1 = 5

. Năm tổ hợp đó là: 160°C–25 phút, 160°C–35 phút, 180°C–25 phút, 180°C–35 phút và 200°C–25 phút. Trong ngôn ngữ thiết kế thí nghiệm, mỗi tổ hợp như vậy chính là một nghiệm thức (treatment), nên nghiên cứu có 5 nghiệm thức chứ không phải 6.

3Bước 3: Vì có 30 mẻ bột và 5 nghiệm thức, mỗi nghiệm thức nên nhận

30/5 = 6

mẻ để các nhóm cân bằng nhau. Ta đánh số 30 mẻ bột từ 01 đến 30, rồi dùng máy tính sinh 30 số nguyên khác nhau trong khoảng 1 đến 30 (lấy không hoàn lại). Sáu mẻ ứng với sáu số đầu tiên được nướng ở 160°C trong 25 phút, sáu mẻ kế tiếp nướng ở 160°C trong 35 phút, và cứ thế cho đến hết năm nghiệm thức.

4Bước 4: Sau khi nướng xong, ta chấm điểm chất lượng bánh của từng mẻ rồi so sánh điểm trung bình giữa năm nhóm. Nhờ việc gán ngẫu nhiên ở Bước 3, mọi khác biệt sẵn có giữa các mẻ bột được rải đều cho năm nhóm, nên chênh lệch quan sát được có thể quy cho cách nướng. Đây đúng là tinh thần của thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên (completely randomized design).

Nghiên cứu có 5 tổ hợp nhiệt độ – thời gian được đem thử: 160°C–25 phút, 160°C–35 phút, 180°C–25 phút, 180°C–35 phút và 200°C–25 phút; tổ hợp 200°C–35 phút bị loại nên tổng số nghiệm thức giảm từ 6 xuống 5. Ba mươi mẻ bột được đánh số và gán ngẫu nhiên sao cho mỗi tổ hợp nhận đúng 6 mẻ, sau đó so sánh điểm chất lượng bánh trung bình giữa năm nhóm để tìm cách nướng tốt nhất.

2Ví dụ 2/2

Một dây chuyền sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng hỏng là 0,1 và các bóng hỏng độc lập với nhau. Một nhân viên kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 8 bóng từ dây chuyền và đếm số bóng hỏng trong đó.

aCó bao nhiêu cách chọn ra 3 vị trí hỏng trong 8 bóng được kiểm tra?
bTính xác suất để có đúng 3 bóng hỏng trong 8 bóng.

1Bước 1: Câu hỏi "có bao nhiêu cách chọn 3 trong 8" không quan tâm đến thứ tự: chọn bóng số 1, 2, 5 hay chọn bóng số 5, 1, 2 cũng chỉ là một kết cục. Vì vậy ta dùng công thức tổ hợp

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

, trong đó

n

là tổng số phần tử và

k

là số phần tử được chọn. Công thức này đếm số nhóm

k

phần tử lấy từ

n

phần tử mà không phân biệt thứ tự.

2Bước 2: Thay

n = 8

và

k = 3

, ta có

\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56

. Vậy có 56 cách sắp xếp vị trí của 3 bóng hỏng trong dãy 8 bóng, và mỗi cách là một kịch bản riêng dẫn đến cùng kết quả "đúng 3 bóng hỏng".

3Bước 3: Xét một kịch bản cụ thể, chẳng hạn ba bóng đầu hỏng còn năm bóng sau tốt. Do các bóng độc lập, xác suất của kịch bản đó bằng tích

(0{,}1)^3 (0{,}9)^5

. Điều quan trọng là mọi kịch bản trong 56 kịch bản đều có cùng xác suất này, chỉ khác nhau ở chỗ đặt các thừa số.

4Bước 4: Nhân số kịch bản với xác suất của mỗi kịch bản, ta được

P(X = 3) = \binom{8}{3}(0{,}1)^3(0{,}9)^5 = 56 \times 0{,}001 \times 0{,}59049 \approx 0{,}0331

. Đây chính là công thức của phân phối nhị thức (binomial distribution) với

n = 8

và

p = 0{,}1

, trong đó tổ hợp

\binom{n}{k}

đóng vai trò hệ số nhị thức (binomial coefficient) đếm số kịch bản.

Có $\binom{8}{3} = 56$ cách chọn ra 3 vị trí hỏng trong 8 bóng đèn được kiểm tra. Nhân 56 với xác suất $(0{,}1)^3(0{,}9)^5$ của mỗi kịch bản, ta được xác suất có đúng 3 bóng hỏng trong 8 bóng lấy ngẫu nhiên xấp xỉ $0{,}0331$ , tức khoảng 3,3%.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.