Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối đều

uniform distribution

Phân phối đều là phân phối xác suất trong đó mọi giá trị trong một khoảng xác định đều có khả năng xuất hiện như nhau.

Phân phối đều (uniform distribution) mô tả một biến ngẫu nhiên có khả năng nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng nhất định với xác suất (probability) như nhau. Khi vẽ biểu đồ tần suất, phân phối này có dạng hình chữ nhật nằm ngang với chiều cao không đổi từ đầu đến cuối khoảng. Do đó, xác suất biến rơi vào một đoạn con bất kỳ chỉ phụ thuộc vào độ dài của đoạn đó, không phụ thuộc vào vị trí của đoạn trong toàn khoảng.

Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong khoảng từ $a$ đến $b$ . Hàm mật độ xác suất được định nghĩa bởi $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ với $a \leq x \leq b$ . Công thức này cho thấy xác suất trên mỗi đơn vị độ dài là hằng số, và diện tích toàn bộ hình chữ nhật bằng 1. Vì vậy, xác suất biến rơi vào đoạn $[c, d]$ nằm trong $[a, b]$ đơn giản là $(d - c)/(b - a)$ .

Trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation) của phân phối đều trên $[a, b]$ lần lượt là $\mu = \dfrac{a + b}{2}$ và $\sigma = \dfrac{b - a}{\sqrt{12}}$ . Nhờ đó, ta thấy trung bình nằm chính giữa khoảng, còn độ lệch chuẩn tỉ lệ thuận với độ rộng của khoảng. Ngược lại với nhiều phân phối thường gặp trong thực tế, phân phối đều ít xuất hiện trong dữ liệu (data) quan sát; tuy nhiên, nó đóng vai trò nền tảng trong lý thuyết xác suất và xuất hiện trong các kiểm định so sánh tần suất quan sát với kỳ vọng đồng đều.

Ký hiệu

U(a, b)

Trực giác: Hãy tưởng tượng một chiếc bánh xe quay hoàn toàn cân bằng được đánh số từ 0 đến 100—mọi vị trí đều có cùng cơ hội được kim chỉ vào, không có vùng nào được ưu tiên hơn vùng nào.

Công thức

f(x) = \htmlClass{fp-1}{\frac{1}{\htmlClass{fp-0}{b-a}}}

Dùng để tính mật độ xác suất tại một điểm; muốn tìm xác suất trên một khoảng thì nhân mật độ với độ dài khoảng đó.

Trong đó

f(x)

hàm mật độ xác suất tại giá trị x

a

cận dưới của miền giá trị

b

cận trên của miền giá trị

\mu = \frac{a+b}{2}

Dùng để tìm trung tâm của phân phối đều — đúng bằng trung điểm của hai cận.

Trong đó

\mu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

ý tưởng có từ thế kỷ 16; tên gọi "uniform" xuất hiện năm 1937Gerolamo CardanoPierre-Simon LaplaceJ. V. Uspensky

Ý tưởng về phân phối đều bắt nguồn từ quan niệm đồng khả năng trong các trò chơi xúc xắc thế kỷ 16, được Gerolamo Cardano bàn tới trong cuốn Liber de Ludo Aleae; cách phát biểu toán học hiện đại thường được gán cho Pierre-Simon Laplace ở thế kỷ 18, còn chính tên gọi "uniform" chỉ xuất hiện năm 1937.

Thử nghiệm tương tác

Kéo hai đầu mút $a$, $b$ — nhìn chiều cao hộp tự hạ xuống để diện tích luôn bằng 1

Hay hiểu sai

Với phân phối đều liên tục, xác suất tại một điểm bằng 0; chiều cao $1/(b-a)$ chỉ là mật độ.

Độ lệch chuẩn của phân phối đều là $(b-a)/\sqrt{12}$ , không phải nửa bề rộng khoảng.

Dữ liệu từ phân phối đều, nhưng trung bình mẫu $\bar{x}$ lại có phân phối gò đối xứng quanh $\mu$ .

Biểu đồ tần số trông phẳng chưa chứng minh tổng thể có phân phối đều.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Tại một trạm xe buýt ở trung tâm thành phố, xe chạy đúng lịch cứ mỗi 12 phút một chuyến. Một hành khách đi bộ ra trạm vào một thời điểm bất kỳ trong ngày, không hề biết chuyến vừa rồi đã rời trạm lúc nào. Gọi

X

là thời gian (tính bằng phút) mà người này phải chờ cho tới khi chuyến kế tiếp tới. Vì mọi thời điểm đến trạm đều có khả năng như nhau,

X

được mô hình hóa bằng phân phối đều liên tục (continuous uniform distribution) trên đoạn từ

0

đến

12

aTính xác suất hành khách phải chờ hơn 9 phút.
bTính xác suất thời gian chờ nằm trong khoảng từ 4 đến 9 phút.
cTính thời gian chờ trung bình và độ lệch chuẩn của $X$ .

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướcxác suất

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối chuẩnnormal distribution

Khác nhau ở đâuPhân phối đều có mật độ xác suất không đổi trên một đoạn hữu hạn, trong khi phân phối chuẩn có mật độ cao nhất ở giữa và giảm dần về hai phía theo hình chuông

Hay nhầm khiđề cho histogram hoàn toàn phẳng và hỏi đây là phân phối gì — thí sinh hay nhầm với phân phối chuẩn vì cả hai đều đối xứng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 94, 152, 449.

kỳ vọng (trung bình) của phân phối

a

cận dưới của miền giá trị

b

cận trên của miền giá trị

\sigma^2 = \frac{(b-a)^2}{12}

Dùng để đo mức phân tán của phân phối đều; phương sai chỉ phụ thuộc vào độ rộng miền, không phụ thuộc vào vị trí trung tâm.

Trong đó

\sigma^2

phương sai của phân phối

a

cận dưới của miền giá trị

b

cận trên của miền giá trị

Trước khi có lý thuyết xác suất, người chơi xúc xắc đã phải trả lời một câu hỏi rất thực tế: nên đặt cược thế nào cho công bằng khi sáu mặt của con súc sắc chẳng mặt nào hơn mặt nào. Cuốn cẩm nang về cờ bạc Liber de Ludo Aleae ở thế kỷ 16 đã bàn đến ý niệm đồng khả năng (equiprobability) chính từ nhu cầu đó. Về sau, khi giải tích được đưa vào xác suất, mô hình "mọi kết quả như nhau" được mở rộng từ một số hữu hạn mặt xúc xắc sang cả một khoảng số thực, và dạng liên tục (continuous uniform distribution) trở thành mô hình chuẩn cho những đại lượng chỉ biết nằm giữa hai cận mà không có lý do thiên vị vùng nào.

Vì sao mang đúng cái tên này? Nguồn gốc của chữ "uniform" không được ghi chép dứt khoát, nhưng giả thuyết phổ biến là nó thoát thai từ quan niệm mọi kết quả đều có cùng khả năng xảy ra trong trò xúc xắc. Chữ "đều" vì thế không nói về khoảng cách giữa các giá trị mà nói về cơ hội: mọi kết quả đều được đối xử như nhau, không kết quả nào được ưu ái. Đáng chú ý là bối cảnh sinh ra cái tên lại là trường hợp rời rạc, còn ngày nay ta vẫn dùng đúng tính từ ấy cho trường hợp liên tục. Tên gọi này được ghi nhận lần đầu năm 1937, trong cuốn Introduction to Mathematical Probability của J. V. Uspensky. Trong nhiều tài liệu, phân phối đều liên tục còn mang một tên thứ hai là phân phối chữ nhật (rectangular distribution), lấy từ dáng đồ thị: hàm mật độ giữ nguyên một độ cao trên toàn khoảng $[a,b]$ nên phần diện tích dưới đường cong đúng là một hình chữ nhật. Hai cái tên vì vậy mô tả cùng một sự vật từ hai phía: một bên nhìn vào cơ hội, một bên nhìn vào hình dạng.

Kéo hai đầu mút $a$, $b$ — nhìn chiều cao hộp tự hạ xuống để diện tích luôn bằng 1

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Vẽ hình chữ nhật, ghi chiều cao $1/(b-a)$ và tô miền cần tính trước khi bấm máy.

Đừng dùng normalcdf cho bài phân phối đều; chỉ cần tỉ số độ dài đoạn trên toàn khoảng.

Với xác suất có điều kiện, thu hẹp về khoảng điều kiện rồi lấy tỉ số độ dài.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Trước hết cần dựng đúng mô hình. Với

X

phân phối đều trên

[0,\;12]

, đồ thị hàm mật độ là một đoạn thẳng nằm ngang có độ cao không đổi

f(x)=\frac{1}{12},\qquad 0\le x\le 12.

Độ cao này được chọn sao cho diện tích hình chữ nhật bên dưới bằng

12\times\frac{1}{12}=1

, đúng bằng tổng xác suất. Nhờ vậy, mọi xác suất về sau chỉ là bài toán tính diện tích hình chữ nhật chứ không cần bảng tra nào.

2Bước 2 — ý (a): Sự kiện "chờ hơn 9 phút" ứng với phần đồ thị từ

x=9

đến

x=12

, tức một hình chữ nhật rộng

12-9=3

và cao

\frac{1}{12}

. Do đó

P(X>9)=3\times\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=0{,}25.

Nói cách khác, khoảng một phần tư số lần ra trạm thì hành khách sẽ phải đứng chờ trên 9 phút.

3Bước 3 — ý (b): Lập luận tương tự cho khoảng giữa: bề rộng là

9-4=5

, chiều cao vẫn là

\frac{1}{12}

, nên

P(4<X<9)=\frac{9-4}{12}=\frac{5}{12}\approx 0{,}4167.

Ở phân phối liên tục, việc dùng dấu

<

hay

\le

không làm thay đổi kết quả vì xác suất tại một điểm đơn lẻ bằng

0

. Vì vậy đáp số cho

P(4\le X\le 9)

cũng là

0{,}4167

4Bước 4 — ý (c): Với phân phối đều trên

[a,\;b]

, tâm của hình chữ nhật chính là trung bình, còn độ lệch chuẩn (standard deviation) có công thức riêng:

\mu=\frac{a+b}{2},\qquad \sigma=\frac{b-a}{\sqrt{12}}.

Thay

a=0

và

b=12

ta được

\mu=\frac{0+12}{2}=6

phút và

\sigma=\frac{12}{\sqrt{12}}=\sqrt{12}\approx 3{,}464

phút. Con số

\mu=6

hợp lý về mặt trực giác vì hình chữ nhật đối xứng quanh điểm giữa, còn

\sigma

cho biết thời gian chờ dao động khá rộng quanh mốc 6 phút.

Hành khách có xác suất $0{,}25$ phải chờ hơn 9 phút và xác suất khoảng $0{,}4167$ phải chờ từ 4 đến 9 phút. Trung bình mỗi lần ra trạm người đó chờ $6$ phút, với độ lệch chuẩn khoảng $3{,}46$ phút.

2Ví dụ 2/2

Một câu lạc bộ trò chơi nghi ngờ con xúc xắc sáu mặt dùng trong giải đấu đã bị mài lệch. Ban tổ chức tung con xúc xắc đó 120 lần một cách độc lập và ghi lại số lần xuất hiện của từng mặt: mặt 1 được 15 lần, mặt 2 được 24 lần, mặt 3 được 18 lần, mặt 4 được 26 lần, mặt 5 được 21 lần và mặt 6 được 16 lần. Hãy kiểm tra ở mức ý nghĩa

\alpha=0{,}05

xem dữ liệu có cung cấp bằng chứng thuyết phục rằng sáu mặt không xuất hiện theo phân phối đều hay không.

1Bước 1: Đây là tình huống một biến phân loại có sáu mức, và câu hỏi là các mức đó có xuất hiện với tỉ lệ bằng nhau hay không, nên công cụ phù hợp là kiểm định chi bình phương độ phù hợp (chi-square goodness-of-fit test) cho phân phối đều. Giả thuyết không (null hypothesis) phát biểu rằng

H_0: p_1=p_2=\cdots=p_6=\tfrac{1}{6}

, tức con xúc xắc cân đối. Giả thuyết đối là

H_a

: ít nhất một trong sáu tỉ lệ khác

\tfrac{1}{6}

. Cần nhấn mạnh rằng

H_a

không chỉ ra mặt nào lệch, nó chỉ nói rằng mô hình đều bị vi phạm ở đâu đó.

2Bước 2: Tiếp theo là kiểm tra điều kiện và tính số đếm kỳ vọng. Các lần tung là độc lập và ngẫu nhiên theo mô tả của đề, còn số đếm kỳ vọng của mỗi mặt là

E_i=120\times\frac{1}{6}=20.

Mọi

E_i

đều bằng

20\ge 5

nên điều kiện về cỡ mẫu lớn được thỏa mãn, và ta được phép dùng phân phối chi bình phương để xấp xỉ. Chính vì mô hình đều cho mọi tỉ lệ như nhau nên toàn bộ số đếm kỳ vọng đều bằng nhau — đây là dấu hiệu nhận diện nhanh dạng bài này.

3Bước 3: Thống kê kiểm định đo tổng mức chênh lệch tương đối giữa quan sát và kỳ vọng:

\chi^2=\sum\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.

Cộng từng số hạng với

E_i=20

\frac{25}{20}=1{,}25

;

\frac{16}{20}=0{,}80

;

\frac{4}{20}=0{,}20

;

\frac{36}{20}=1{,}80

;

\frac{1}{20}=0{,}05

;

\frac{16}{20}=0{,}80

. Tổng lại ta có

\chi^2=1{,}25+0{,}80+0{,}20+1{,}80+0{,}05+0{,}80=4{,}90

4Bước 4: Bậc tự do của kiểm định độ phù hợp là số nhóm trừ một, tức

df=6-1=5

. Tra phân phối chi bình phương với

df=5

cho

P(\chi^2\ge 4{,}90)\approx 0{,}43

; nếu dùng giá trị tới hạn thì ngưỡng ở

\alpha=0{,}05

là

11{,}07

, mà

4{,}90<11{,}07

. Hai cách đọc dẫn tới cùng một kết luận: giá trị

p

lớn hơn

0{,}05

rất nhiều nên ta không bác bỏ

H_0

. Điều này hợp lý vì với

df=5

, một mẫu sinh ra từ xúc xắc cân đối vẫn thường cho

\chi^2

quanh mức

5

Vì giá trị $p\approx 0{,}43>0{,}05$ , ta không bác bỏ giả thuyết không. Dữ liệu 120 lần tung không cung cấp bằng chứng thuyết phục cho thấy sáu mặt của con xúc xắc xuất hiện lệch khỏi phân phối đều; nói cách khác, các chênh lệch quan sát được hoàn toàn có thể chỉ do biến thiên ngẫu nhiên của việc lấy mẫu.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.