Đang tải bài học…

AP Statistics

chuỗi

run

Chuỗi (run) là một dãy các phần tử giống nhau liên tiếp trong một dãy quan sát, được bao quanh bởi phần tử khác loại hoặc bởi đầu và cuối của dãy.

Khi sắp xếp một dãy quan sát theo thứ tự xuất hiện, ta thường gặp những đoạn mà các phần tử kế tiếp mang cùng một đặc điểm — chẳng hạn cùng giới tính, cùng dấu cộng hoặc trừ, hoặc cùng vượt hay không vượt một ngưỡng cho trước. Mỗi đoạn liên tiếp như vậy được gọi là một chuỗi (run). Chẳng hạn, trong dãy kết quả tung đồng xu HHTTHHH, ta đếm được ba chuỗi: hai mặt ngửa đầu tiên tạo thành chuỗi thứ nhất, hai mặt sấp kế tiếp tạo thành chuỗi thứ hai, và ba mặt ngửa cuối cùng tạo thành chuỗi thứ ba. Điểm chuyển tiếp giữa hai phần tử khác loại chính là nơi một chuỗi kết thúc và chuỗi mới bắt đầu.

Số chuỗi trong một dãy mang thông tin quan trọng về tính ngẫu nhiên của cách sắp xếp. Nếu các phần tử được bố trí hoàn toàn ngẫu nhiên, số chuỗi quan sát được sẽ dao động quanh một giá trị kỳ vọng xác định bởi công thức $\mu_R = \frac{2n_1 n_2}{n_1 + n_2} + 1$ , trong đó $n_1$ và $n_2$ lần lượt là số lượng phần tử thuộc hai loại. Công thức này cho thấy giá trị kỳ vọng tăng khi hai nhóm có kích thước cân bằng và giảm khi một nhóm chiếm đa số áp đảo.

Do đó, khi số chuỗi thực tế thấp hơn nhiều so với kỳ vọng, các phần tử cùng loại có xu hướng cụm lại thành từng khối lớn — dấu hiệu của sự sắp xếp không ngẫu nhiên. Ngược lại, khi số chuỗi cao hơn nhiều so với kỳ vọng, các phần tử xen kẽ quá đều đặn, gợi ý một quy luật luân phiên ngầm. Nhờ đó, kiểm định chuỗi (runs test) cho phép nhà nghiên cứu đánh giá tính ngẫu nhiên của dữ liệu mà không cần giả định trước phân phối của tổng thể.

Ký hiệuR (số chuỗi), n_1, n_2 (số phần tử mỗi loại)

Trực giác: Hãy tưởng tượng một hàng cây ven đường: nếu ba cây thông đứng liền nhau rồi đến hai cây bàng rồi bốn cây thông nữa, mỗi đoạn cây cùng loại chính là một "chuỗi" — đếm số chuỗi giúp ta đoán người trồng cây có chọn vị trí ngẫu nhiên hay không.

Thử nghiệm tương tác

Đếm số chuỗi trong 20 lần tung đồng xu — rồi kéo độ rộng nhóm để xem dạng phân phối

Hay hiểu sai

Một chuỗi dài chưa phải bằng chứng dữ liệu mất tính ngẫu nhiên.

Chuỗi độ dài 1 vẫn là một chuỗi và vẫn phải đếm.

Sau một chuỗi dài, xác suất của lần tiếp theo không hề thay đổi.

Chuỗi các phần dư cùng dấu là dấu hiệu mô hình sai, không phải dấu hiệu dữ liệu xấu.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một vận động viên bóng rổ ném phạt với xác suất vào bóng bằng

0.8

ở mỗi lần ném, và các lần ném là độc lập với nhau. Huấn luyện viên theo dõi các đoạn ném vào liên tiếp mà không bị ngắt quãng bởi một lần trượt, tức là các chuỗi ném vào của vận động viên này. Trong một buổi tập, vận động viên thực hiện

10

lần ném phạt.

aTính xác suất để năm lần ném đầu tiên đều vào bóng.
bTính xác suất để chuỗi ném vào ngay từ đầu buổi tập có độ dài đúng bằng $5$ .
cMô tả một cách dùng bảng chữ số ngẫu nhiên để ước lượng xác suất có ít nhất một chuỗi từ $5$ lần ném vào liên tiếp trở lên trong $10$ lần ném.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướcmẫu ngẫu nhiên

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 35, 60, 110.

Đếm số chuỗi trong 20 lần tung đồng xu — rồi kéo độ rộng nhóm để xem dạng phân phối

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Kiểm định chuỗi (runs test) không nằm trong chương trình AP, đừng viết tên nó ra.

Khi đọc biểu đồ phần dư, phải viết ra được từ khóa mô tả mẫu hình.

Cẩn thận với các câu hỏi trắc nghiệm gài chữ "streak" hoặc "hot hand".

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

Bước 1 (a): Vì các lần ném độc lập, xác suất của một dãy kết quả bằng tích các xác suất thành phần. Do đó xác suất năm lần đầu đều vào bóng là

0.8^5

2Bước 2 (a): Tính giá trị:

0.8^5 = 0.32768 \approx 0.328

. Nghĩa là trong khoảng một phần ba số buổi tập, vận động viên sẽ mở màn bằng năm quả vào liên tiếp — một chuỗi dài như vậy không hề hiếm khi tỉ lệ vào bóng đã cao sẵn.

3Bước 3 (b): Chuỗi mở đầu có độ dài đúng bằng

5

nghĩa là năm lần đầu vào bóng và lần thứ sáu phải trượt; nếu lần thứ sáu cũng vào thì chuỗi đã dài hơn

5

. Đây chính là cách biến ngẫu nhiên hình học (geometric random variable) đếm số lần thử cho tới thất bại đầu tiên.

4Bước 4 (b): Vậy xác suất cần tìm là

0.8^5 \times 0.2 = 0.32768 \times 0.2 = 0.065536 \approx 0.0655

. Con số này nhỏ hơn hẳn kết quả câu (a) vì ta đã bắt lần ném thứ sáu phải trượt, tức là loại bỏ mọi chuỗi dài từ sáu trở lên.

5Bước 5 (c): Gán mã số cho mô phỏng (simulation): các chữ số từ

0

đến

7

ứng với ném vào (chiếm

8

trong

10

chữ số, đúng bằng xác suất

0.8

), còn

8

và

9

ứng với ném trượt. Cách gán này giữ đúng tỉ lệ nên mỗi chữ số đọc được đóng vai trò một lần ném.

6Bước 6 (c): Một lần thử gồm việc đọc liên tiếp

10

chữ số từ bảng, ghi lại dãy vào–trượt tương ứng, rồi xét xem trong dãy đó có xuất hiện đoạn từ

5

chữ số thuộc nhóm

0

–

7

đứng liền nhau hay không. Nếu có thì đánh dấu "thành công", nếu không thì "thất bại".

7Bước 7 (c): Lặp lại quy trình đó, chẳng hạn

200

lần, mỗi lần đọc tiếp từ chỗ vừa dừng chứ không quay lại đầu bảng. Ước lượng xác suất cần tìm là tỉ số giữa số lần thử có chuỗi dài từ

5

trở lên và tổng số lần thử, tức

\hat{p} = k/200

với

k

là số lần thành công.

Xác suất vận động viên mở màn buổi tập bằng năm quả vào liên tiếp là $0.8^5 \approx 0.328$ , còn xác suất chuỗi mở màn đó dừng lại ở đúng năm quả (quả thứ sáu trượt) chỉ là $0.0655$ . Với câu hỏi về chuỗi dài ít nhất $5$ trong toàn bộ $10$ lần ném, việc liệt kê mọi trường hợp là quá rườm rà, nên ta ước lượng bằng mô phỏng: gán $0$ – $7$ cho ném vào, $8$ – $9$ cho ném trượt, đọc từng nhóm $10$ chữ số và tính tỉ lệ số nhóm chứa chuỗi từ năm chữ số $0$ – $7$ liền nhau trở lên.

2Ví dụ 2/2

Trong bóng chày, chỉ số

\text{WHIP}

đo số lần đi bóng và số cú đánh trúng mà một cầu thủ ném bóng để đối phương thực hiện trên mỗi hiệp, còn

\text{ERA}

đo số điểm trung bình mà đội đối phương ghi được từ cầu thủ đó; cả hai càng nhỏ thì cầu thủ càng giỏi. Với tám cầu thủ ném bóng được xếp theo thứ tự

\text{WHIP}

tăng dần, đường hồi quy bình phương tối thiểu dự đoán

\text{ERA}

theo

\text{WHIP}

là

\hat{y} = -1.85 + 4.60x

. Số liệu quan sát như sau:

x = 0.95

với

y = 2.82

;

x = 1.05

với

y = 3.18

;

x = 1.15

với

y = 3.34

;

x = 1.25

với

y = 3.70

;

x = 1.35

với

y = 4.11

;

x = 1.45

với

y = 4.57

;

x = 1.55

với

y = 5.38

;

x = 1.65

với

y = 5.94

aTính phần dư của hai cầu thủ có $\text{WHIP}$ bằng $0.95$ và $1.15$ , rồi cho biết dấu của chúng.
bDấu của tám phần dư lần lượt là $+,\ +,\ -,\ -,\ -,\ -,\ +,\ +$ . Hãy đếm số chuỗi dấu và giải thích điều đó nói gì về tính thích hợp của mô hình tuyến tính.

1Bước 1 (a): Phần dư (residual) được tính theo công thức

e = y - \hat{y}

, tức là lấy giá trị quan sát trừ đi giá trị mà đường hồi quy dự đoán. Vì vậy trước hết phải thay

x

vào phương trình đường thẳng để có

\hat{y}

2Bước 2 (a): Với

x = 0.95

\hat{y} = -1.85 + 4.60(0.95) = -1.85 + 4.37 = 2.52

, do đó

e = 2.82 - 2.52 = 0.30 > 0

. Cầu thủ này có

\text{ERA}

thực tế cao hơn dự đoán, nên điểm của anh ta nằm phía trên đường hồi quy.

3Bước 3 (a): Với

x = 1.15

\hat{y} = -1.85 + 4.60(1.15) = -1.85 + 5.29 = 3.44

, do đó

e = 3.34 - 3.44 = -0.10 < 0

. Điểm này nằm phía dưới đường hồi quy, tức mô hình đã dự đoán

\text{ERA}

cao hơn thực tế.

4Bước 4 (b): Một chuỗi là một đoạn gồm các dấu giống nhau đứng liền nhau và bị chặn hai đầu bởi dấu khác (hoặc bởi đầu và cuối dãy). Tách dãy

+,\ +,\ -,\ -,\ -,\ -,\ +,\ +

ta được ba đoạn:

(+\,+)

(-\,-\,-\,-)

và

(+\,+)

, nên số chuỗi bằng

3

5Bước 5 (b): Nếu đường thẳng là mô hình đúng, dấu của các phần dư phải rải rác ngẫu nhiên khi

x

tăng dần, và với bốn dấu dương cùng bốn dấu âm ta thường thấy khoảng năm chuỗi ngắn xen kẽ nhau. Ở đây chỉ có ba chuỗi, mỗi chuỗi khá dài — quá ít so với mức trông đợi, nghĩa là các dấu tụ lại theo khối chứ không xáo trộn.

6Bước 6 (b): Ba khối dương – âm – dương chính là dấu hiệu của một đường cong lõm: hai đầu dữ liệu nằm trên đường thẳng, phần giữa nằm dưới. Do đó biểu đồ phần dư (residual plot) có dạng chữ U chứ không phải một đám mây không hình thù, và đó là bằng chứng chống lại mô hình tuyến tính (linear model).

Cầu thủ có $\text{WHIP} = 0.95$ có phần dư $0.30$ (dương, nằm trên đường hồi quy), còn cầu thủ có $\text{WHIP} = 1.15$ có phần dư $-0.10$ (âm, nằm dưới đường hồi quy). Tám phần dư chỉ tạo thành ba chuỗi dấu dài dạng dương – âm – dương, ít hơn hẳn số chuỗi mà ta trông đợi khi các dấu xuất hiện ngẫu nhiên. Vì vậy mô hình hồi quy tuyến tính giữa $\text{ERA}$ và $\text{WHIP}$ chưa phù hợp với bộ dữ liệu này: quan hệ giữa hai chỉ số bóng chày có dạng cong, và ta nên thử một mô hình cong hoặc một phép biến đổi dữ liệu trước khi dùng đường thẳng để dự đoán.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.