AP Statistics

tính đồng nhất của các tỉ lệ

homogeneity of proportions

Còn gọi: homogeneity of proportions test

Tính đồng nhất của các tỉ lệ là kiểm định chi-bình phương xem một biến phân loại có cùng phân phối tỉ lệ ở hai hay nhiều tổng thể hay không.

Khi nhà nghiên cứu muốn so sánh tỉ lệ của một đặc điểm phân loại giữa nhiều nhóm khác nhau, họ cần một công cụ để phán đoán liệu các chênh lệch quan sát được có phải do ngẫu nhiên hay không. Tính đồng nhất của các tỉ lệ (homogeneity of proportions) chính là phép kiểm định chi-bình phương được thiết kế cho mục đích đó. Dữ liệu được tổ chức thành một bảng hai chiều, trong đó mỗi hàng đại diện cho một tổng thể và mỗi cột đại diện cho một giá trị của biến phân loại.

Giả thuyết không phát biểu rằng tỉ lệ của biến phân loại là như nhau ở mọi tổng thể. Để kiểm tra, ta tính tần số kỳ vọng cho từng ô bằng cách nhân tổng hàng với tổng cột rồi chia cho tổng chung, sau đó so sánh chúng với tần số thực tế bằng thống kê:

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Mỗi số hạng trong tổng đo mức chênh lệch giữa một ô quan sát $O_i$ và giá trị kỳ vọng $E_i$ tương ứng; tổng càng lớn thì bằng chứng chống lại giả thuyết không càng mạnh. Bậc tự do (degrees of freedom) của phân phối kiểm định là $df = (r - 1)(c - 1)$ , với $r$ là số hàng và $c$ là số cột.

Do đó, để kết luận có ý nghĩa, người ta so sánh giá trị $\chi^2$ tính được với giá trị tới hạn hoặc dùng giá trị p tương ứng. Tuy nhiên, phép kiểm định chỉ đáng tin khi mọi tần số kỳ vọng đều từ năm trở lên; nếu vi phạm, cần gộp các ô có tần số nhỏ hoặc dùng phương pháp khác. Khi điều kiện được thỏa mãn, nhà nghiên cứu có thể kết luận liệu các tổng thể có thực sự khác biệt về phân phối của biến phân loại hay không, thay vì chỉ dựa vào chênh lệch ngẫu nhiên trong mẫu.

Ký hiệu

\chi^2

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

kiểm định độ phù hợpgoodness-of-fit test

Khác nhau ở đâuKiểm định đồng nhất so sánh tỉ lệ giữa nhiều quần thể độc lập; kiểm định độ phù hợp so sánh phân phối của một biến đơn với phân phối kỳ vọng

Hay nhầm khiđề cho bảng hai chiều và yêu cầu chọn loại kiểm định chi bình phương nào phù hợp

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 795.

Công thức

\chi^2 = \htmlClass{fp-2}{\sum \frac{\htmlClass{fp-1}{\htmlClass{fp-0}{(O-E)}^2}}{E}}

Dùng để kiểm định xem tỉ lệ của một biến phân loại có phân bố như nhau trên hai hay nhiều tổng thể hay không. Thống kê này được tính trên toàn bộ bảng hai chiều; giá trị càng lớn thì bằng chứng chống lại giả thuyết đồng nhất càng mạnh.

Trong đó

\chi^2

Thống kê kiểm định chi-bình phương

O

Tần số quan sát thực tế trong mỗi ô của bảng

E

Tần số kỳ vọng trong mỗi ô, tính theo giả thuyết đồng nhất

\sum

Tổng cộng qua tất cả các ô trong bảng

E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}

Công thức tính tần số kỳ vọng (expected count) cho từng ô trong bảng, dựa trên tổng hàng, tổng cột và tổng chung. Đây là bước bắt buộc trước khi tính thống kê $\chi^2$ .

Trong đó

E

Tần số kỳ vọng của ô cần tính

\text{row total}

Tổng tần số của hàng chứa ô đó

\text{column total}

Tổng tần số của cột chứa ô đó

\text{grand total}

Tổng số quan sát của toàn bộ bảng

df = (r-1)(c-1)

Bậc tự do (degrees of freedom) xác định phân phối chi-bình phương nào được dùng để tra giá trị tới hạn hoặc tính trị số p. Trong kiểm định đồng nhất của các tỉ lệ, $r$ là số hàng (số tổng thể hoặc số nhóm) và $c$ là số cột (số mức của biến phân loại).

Trong đó

df

Bậc tự do của phân phối chi-bình phương

r

Số hàng trong bảng (số tổng thể so sánh)

c

Số cột trong bảng (số mức của biến phân loại)

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1900Karl Pearson

Kiểm định tính đồng nhất của các tỉ lệ bắt nguồn từ họ kiểm định khi bình phương do Karl Pearson khởi xướng năm 1900, khi ông công bố bài báo giới thiệu kiểm định độ phù hợp (goodness-of-fit test) dựa trên việc so sánh tần số quan sát với tần số kỳ vọng. Ý tưởng đó về sau được mở rộng để trả lời câu hỏi: nhiều tổng thể khác nhau có cùng một phân bố tỉ lệ cho một biến phân loại hay không.

Trước khi có công cụ này, người ta chỉ so sánh được tỉ lệ của hai tổng thể với nhau, chẳng hạn tỉ lệ ủng hộ của nam và của nữ. Nhưng thực tế thường bày ra nhiều nhóm cùng lúc và biến quan tâm lại có nhiều hơn hai mức trả lời, nên phép so sánh từng cặp trở nên chắp vá. Nhu cầu đó dẫn tới việc gom toàn bộ số liệu vào một bảng tần số hai chiều (contingency table), rồi đo một lần cho tất cả bằng thống kê $\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ trong đó $O$ là tần số quan sát và $E$ là tần số kỳ vọng nếu các nhóm thật sự giống nhau. Nhờ vậy, một con số duy nhất đủ để kết luận cho nhiều nhóm và nhiều mức trả lời.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đến thẳng từ giả thuyết không (null hypothesis) chứ không phải từ cách tính. Trong tiếng Anh, "homogeneous" nghĩa là giống nhau về cấu trúc hay thành phần, và điều ta đặt ra ở giả thuyết không đúng là như thế: phân bố của biến phân loại được giả định giống nhau ở mọi tổng thể, tỉ lệ trả lời mỗi mức đều bằng nhau giữa các nhóm. Vì bài toán được đặt tên theo điều mình muốn kiểm chứng, phép kiểm định mang tên "tính đồng nhất", còn chữ "của các tỉ lệ" chỉ rõ đối tượng được đem ra so: các tỉ lệ trong từng nhóm. Đây cũng là chỗ dễ lẫn với kiểm định tính độc lập, vốn dùng cùng công thức nhưng hỏi một câu khác hẳn — hai biến trên cùng một mẫu có liên hệ hay không.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Kiểm định đồng nhất và kiểm định độc lập khác nhau ở cách lấy mẫu, không ở phép tính.

Bậc tự do là $(r-1)(c-1)$ , không phải số ô trừ một.

Thống kê khi bình phương chỉ nhận tần số, không nhận tỉ lệ phần trăm.

Bác bỏ $H_0$ không cho biết nhóm nào khác nhóm nào.

Mẹo phòng thi

Viết đủ ba điều kiện trước khi tính, đặc biệt là số kỳ vọng.

Phát biểu giả thuyết bằng lời, đừng viết $p_1=p_2$ khi biến có ba loại trở lên.

Gọi đúng tên kiểm định và kết luận theo ngữ cảnh bài toán.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một công ty tư vấn tiếp thị cho chuỗi khách sạn nghi ngờ rằng nam và nữ có sở thích khác nhau về tông màu trang trí phòng ngủ. Người tư vấn cho mỗi người trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 110 nam và mỗi người trong một mẫu ngẫu nhiên độc lập gồm 90 nữ xem ảnh ba phương án màu (A, B, C), rồi hỏi họ thích phương án nào nhất. Kết quả thu được như sau: trong nhóm nam có 50 người chọn A, 35 người chọn B và 25 người chọn C; trong nhóm nữ có 30 người chọn A, 25 người chọn B và 35 người chọn C. Người tư vấn muốn kiểm định ở mức ý nghĩa

\alpha=0{,}05

aPhát biểu giả thuyết không và giả thuyết đối, đồng thời giải thích vì sao đây là kiểm định về tính đồng nhất chứ không phải kiểm định tính độc lập.
bKiểm tra các điều kiện và tính các tần số kỳ vọng.
cTính giá trị thống kê kiểm định, số bậc tự do và giá trị p.
dNêu kết luận trong ngữ cảnh bài toán và cho biết loại sai lầm nào có thể đã mắc phải.

1Bước 1 — Đặt giả thuyết (ý a): Ở đây ta có hai tổng thể riêng biệt là nam và nữ, và người nghiên cứu chủ động lấy hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với cỡ mẫu đã định trước là 110 và 90. Mỗi người chỉ được hỏi một câu duy nhất, tức là chỉ có một biến phân loại là màu ưa thích. Vì vậy câu hỏi đặt ra là hai tổng thể ấy có cùng phân bố tỉ lệ lựa chọn hay không, và giả thuyết được viết là

H_0

: tỉ lệ chọn mỗi phương án màu là như nhau ở nam và nữ, đối lại

H_a

: có ít nhất một phương án màu mà tỉ lệ chọn ở nam khác ở nữ. Ngược lại, nếu người tư vấn chỉ lấy một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 khách rồi ghi lại đồng thời giới tính và màu ưa thích của họ, thì bài toán sẽ trở thành kiểm định tính độc lập (test for independence). Hai cách hỏi khác nhau ở cách lấy mẫu chứ không khác ở phép tính, nên phần tính toán dưới đây vẫn giữ nguyên.

2Bước 2 — Kiểm tra điều kiện (ý b): Đề bài nói rõ hai mẫu là ngẫu nhiên và được lấy độc lập với nhau, nên điều kiện về cách lấy mẫu được thỏa mãn. Số nam và số nữ trong tổng thể khách hàng tiềm năng của một chuỗi khách sạn chắc chắn lớn hơn

10 \times 110

và

10 \times 90

, do đó điều kiện độc lập giữa các quan sát cũng đạt. Điều kiện còn lại là mọi tần số kỳ vọng (expected counts) phải đạt ít nhất 5, và ta sẽ kiểm tra ngay sau khi tính chúng ở bước kế tiếp.

3Bước 3 — Tính tần số kỳ vọng (ý b): Tổng số người chọn A là

50+30=80

, chọn B là

35+25=60

, chọn C là

25+35=60

, với tổng cỡ mẫu

n=200

. Nếu

H_0

đúng thì tỉ lệ chọn từng màu ở hai giới đều bằng tỉ lệ chung, nên tần số kỳ vọng của ô nằm ở hàng

i

cột

j

là

E_{ij}=\frac{R_i C_j}{n}

với

R_i

là tổng hàng và

C_j

là tổng cột. Áp dụng cho nhóm nam:

E=\frac{110 \cdot 80}{200}=44

cho màu A,

\frac{110 \cdot 60}{200}=33

cho màu B và cũng

33

cho màu C. Áp dụng cho nhóm nữ:

\frac{90 \cdot 80}{200}=36

, rồi

\frac{90 \cdot 60}{200}=27

và

27

. Giá trị nhỏ nhất trong sáu số này là 27, vượt xa 5, nên điều kiện cuối cùng được thỏa mãn.

4Bước 4 — Thống kê kiểm định và giá trị p (ý c):

Với $\chi^2 \approx 6{,}397$ , $df=2$ và giá trị p xấp xỉ $0{,}041 < 0{,}05$ , ta bác bỏ $H_0$ : có bằng chứng thống kê thuyết phục rằng phân bố tỉ lệ ưa thích ba phương án màu trang trí phòng của nam khác với của nữ, khác biệt rõ nhất nằm ở phương án màu C. Nếu kết luận này sai thì đó là sai lầm loại I.

2Ví dụ 2/2

Một bệnh viện tiến hành thí nghiệm ngẫu nhiên hóa trên 300 bệnh nhân bị đau nửa đầu mạn tính. Mỗi bệnh nhân được phân ngẫu nhiên vào đúng một trong ba phác đồ điều trị, mỗi phác đồ 100 người, và sau bốn tuần bác sĩ ghi nhận bệnh nhân có thuyên giảm hay không. Phác đồ I có 62 người thuyên giảm, phác đồ II có 55 người thuyên giảm, phác đồ III có 45 người thuyên giảm. Hãy kiểm định ở mức ý nghĩa

\alpha=0{,}05

xem tỉ lệ thuyên giảm có như nhau ở ba phác đồ hay không.

1Bước 1 — Nhận dạng tình huống: Ở ví dụ này không có ba tổng thể có sẵn để lấy mẫu; thay vào đó nhà nghiên cứu lấy một nhóm bệnh nhân rồi phân ngẫu nhiên họ thành ba nhóm điều trị với cỡ nhóm cố định. Đây vẫn là bài toán về tính đồng nhất, bởi ta so sánh phân bố của cùng một biến phản hồi qua nhiều nhóm được ấn định trước. Giả thuyết là

H_0: p_1=p_2=p_3

, tức tỉ lệ thuyên giảm như nhau ở cả ba phác đồ, còn

H_a

nói rằng có ít nhất một phác đồ có tỉ lệ thuyên giảm khác các phác đồ còn lại.

2Bước 2 — Điều kiện và tần số kỳ vọng: Việc phân nhóm được thực hiện ngẫu nhiên nên các nhóm độc lập với nhau, và đây là thí nghiệm chứ không phải khảo sát nên không cần điều kiện 10%. Tổng số người thuyên giảm là

62+55+45=162

, số không thuyên giảm là

300-162=138

. Nếu

H_0

đúng, mỗi nhóm 100 người có kỳ vọng

\frac{100 \cdot 162}{300}=54

người thuyên giảm và

\frac{100 \cdot 138}{300}=46

người không thuyên giảm; cả sáu ô đều lớn hơn 5 nên điều kiện được thỏa mãn.

3Bước 3 — Tính $\chi^2$ và giá trị p: Các số hạng của hàng thuyên giảm lần lượt là

\frac{(62-54)^2}{54}=1{,}185

\frac{(55-54)^2}{54}=0{,}019

và

\frac{(45-54)^2}{54}=1{,}500

; các số hạng của hàng không thuyên giảm là

\frac{(38-46)^2}{46}=1{,}391

\frac{(45-46)^2}{46}=0{,}022

và

\frac{(55-46)^2}{46}=1{,}761

. Cộng lại được

\chi^2 \approx 5{,}878

với

df=(3-1)(2-1)=2

. Diện tích đuôi phải tương ứng cho giá trị p xấp xỉ

0{,}053

tính đồng nhất của các tỉ lệ

Hay nhầm với

Nguồn tham khảo

Công thức

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Thử nghiệm tương tác

Hay hiểu sai

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

Bạn nắm chắc chưa?

Học tiếp từ đây