Đang tải bài học…

AP Statistics

biến

variable

Còn gọi: đặc điểm biến thiên · biến số · đại lượng biến đổi

Biến (variable) là một đặc điểm hoặc thuộc tính có thể nhận các giá trị khác nhau khi quan sát trên từng cá thể hay đơn vị khảo sát.

Khi tiến hành một nghiên cứu thống kê, mỗi cá thể trong tập dữ liệu được mô tả bởi nhiều đặc điểm khác nhau, và mỗi đặc điểm ấy chính là một biến. Chẳng hạn, khi khảo sát học sinh trong một trường, chiều cao, cân nặng, điểm trung bình môn Toán, hay loại hình giao thông sử dụng để đi học đều là những biến riêng biệt. Do đó, biến đóng vai trò đơn vị cơ bản để tổ chức và phân tích dữ liệu — không có biến thì không có gì để đo lường hay so sánh.

Biến được chia thành hai loại chính: biến phân loại (categorical variable) sắp xếp cá thể vào các nhóm như giới tính, nhóm máu, hoặc tỉnh thành nơi sinh; biến định lượng (quantitative variable) thì biểu thị đặc điểm bằng con số có ý nghĩa về độ lớn như chiều cao tính bằng xăng-ti-mét hay thời gian ngủ mỗi đêm tính bằng giờ. Vì vậy, việc phân biệt hai loại biến này ngay từ đầu quyết định phương pháp thống kê nào được áp dụng — công cụ mô tả một biến phân loại khác hoàn toàn với công cụ dành cho một biến định lượng.

Trong phân tích dữ liệu hai biến (bivariate data), người ta nghiên cứu đồng thời hai biến trên cùng một cá thể để tìm mối liên hệ giữa chúng, chẳng hạn chiều cao và cân nặng của cùng một nhóm học sinh. Nhờ đó, ta có thể trả lời những câu hỏi như "học sinh cao hơn có xu hướng nặng hơn hay không". Tuy nhiên, mối liên hệ quan sát được chưa chắc đã là quan hệ nhân quả — bước suy luận đó đòi hỏi thiết kế thực nghiệm chặt chẽ chứ không chỉ dựa vào dữ liệu quan sát.

Trực giác: Hãy tưởng tượng mỗi học sinh là một thẻ hồ sơ, còn biến là từng dòng trống trên thẻ — dòng ghi chiều cao, dòng ghi quê quán — mà mỗi học sinh điền một giá trị khác nhau.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

cuối thế kỷ 16François VièteRené DescartesIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizLeonhard Euler

Thử nghiệm tương tác

Bấm tên một cột — xem đặc trưng đó đổ xuống thành hình của riêng nó

Hay hiểu sai

Biến không phải là con số, mà là đặc trưng có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.

Trung bình của biến ngẫu nhiên (random variable) không phải là con số xuất hiện ở mọi mẫu.

Đảo biến giải thích (explanatory variable) và biến phản hồi (response variable) là mất trọn điểm diễn giải hệ số góc.

Thiếu số phép thử cố định thì biến không phải biến nhị thức, dù ba điều kiện kia đều đạt.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhóm học sinh lớp 12 khảo sát 40 bạn trong trường và ghi lại năm thông tin của mỗi bạn: giới tính, số giờ tự học mỗi tuần (giờ), phương tiện đến trường, điểm kiểm tra toán cuối kỳ (thang 10) và xếp loại hạnh kiểm. Sau đó nhóm chạy hồi quy bình phương nhỏ nhất để dự đoán điểm kiểm tra toán từ số giờ tự học và thu được bảng kết xuất máy tính sau: Variable: Constant, Coef

= 4.10

; Variable: Hours, Coef

= 0.85

; với

s = 0.92

và

R\text{-}Sq = 61.5\%

aVới mỗi thông tin được ghi lại, hãy cho biết đó là biến định tính hay biến định lượng.
bTrong mô hình hồi quy nói trên, biến nào là biến giải thích và biến nào là biến phản hồi? Viết phương trình đường hồi quy và tính phần dư cho một bạn tự học 6 giờ mỗi tuần nhưng chỉ đạt 8,5 điểm.

1Bước 1: Trước hết cần nhớ tiêu chí phân loại: một biến là biến định lượng (quantitative variable) khi giá trị của nó là số đo mà việc cộng trừ, lấy trung bình có ý nghĩa; ngược lại, nếu giá trị chỉ là nhãn xếp loại thì đó là biến định tính (categorical variable). Giới tính và phương tiện đến trường chỉ là nhãn, nên cả hai đều định tính. Xếp loại hạnh kiểm tuy có thứ tự tốt – khá – trung bình nhưng vẫn là nhãn, không phải số đo, nên vẫn xếp vào nhóm định tính.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Biến (phân loại & định lượng)” — khoá AP Statistics

Dẫn tớibiểu đồ phân tán

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

tham số (parameter)parameter

Khác nhau ở đâuBiến là đặc trưng đo trên từng cá thể trong tập dữ liệu, còn tham số là con số tóm tắt cho cả quần thể

Hay nhầm khiđề hỏi "đặc trưng nào mô tả quần thể" thì dùng tham số, không phải biến

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 154, 194.

Ý tưởng dùng chữ cái để chỉ một đại lượng có thể thay đổi được François Viète đưa ra vào cuối thế kỷ 16, rồi được René Descartes chuẩn hóa năm 1637 và được Leonhard Euler cố định thành thuật ngữ của giải tích.

Trước thế kỷ 16, người làm toán phải viết mỗi bài toán bằng lời và bằng những con số cụ thể, nên mỗi bài là một trường hợp riêng. Cuối thế kỷ 16, François Viète đề nghị dùng chữ cái thay cho số đã biết lẫn số chưa biết, và tính toán với các chữ cái ấy như thể chúng là số, để cuối cùng chỉ cần thay số vào là ra kết quả. Nhờ đó một lời giải dùng được cho vô số bài toán cùng dạng. Năm 1637, Descartes chốt quy ước dùng x, y, z cho ẩn và a, b, c cho lượng đã biết — quy ước vẫn còn nguyên trên đề thi ngày nay.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nhấn vào đúng đặc điểm cốt lõi: đây là đại lượng có thể nhận nhiều giá trị khác nhau chứ không đứng yên như một hằng số (constant). Gốc gác của cách gọi ấy gắn với giải tích: từ thập niên 1660, Newton và Leibniz nghiên cứu xem một biến thiên vô cùng nhỏ của đại lượng thay đổi theo thời gian — thứ mà Newton gọi là "fluent", nghĩa là cái đang trôi chảy — kéo theo biến thiên nào ở đại lượng phụ thuộc vào nó. Gần một thế kỷ sau, Euler cố định lại thuật ngữ và đưa ra ký hiệu $y = f(x)$ , trong đó $x$ là biến còn $y$ là giá trị của hàm số. Vì vậy, cho đến cuối thế kỷ 19, chữ "biến" gần như chỉ được dùng cho đối số và giá trị của hàm số (function); nghĩa thống kê — một đặc trưng thay đổi từ cá thể này sang cá thể khác — là lớp nghĩa mở rộng về sau, nhưng vẫn giữ nguyên tinh thần "thay đổi" của tên gọi ban đầu.

Bấm tên một cột — xem đặc trưng đó đổ xuống thành hình của riêng nó

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Định nghĩa biến ngẫu nhiên phải viết đủ một câu có động từ, kèm cỡ mẫu.

Khi kiểm tra điều kiện nhị thức, viết ra đủ bốn điều kiện rồi mới kết luận.

Diễn giải hệ số góc phải đủ ba phần: "trung bình dự đoán", tên biến có ngữ cảnh, đơn vị.

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

2Bước 2: Số giờ tự học mỗi tuần và điểm kiểm tra toán là các số đo thực sự: nói "trung bình 6,4 giờ" hay "trung bình 7,8 điểm" đều có nghĩa. Do đó hai thông tin này là biến định lượng, và cũng chỉ hai biến này mới được dùng làm trục cho biểu đồ tán xạ hay cho một mô hình hồi quy. Đây chính là lý do câu (b) chỉ có thể lấy nguyên liệu từ chúng.

3Bước 3: Trong câu "dự đoán điểm kiểm tra toán từ số giờ tự học", cái đứng sau chữ "từ" là thứ ta dùng để dự đoán, nên số giờ tự học là biến giải thích (explanatory variable), ký hiệu

x

; điểm kiểm tra toán là cái được dự đoán, nên đó là biến phản hồi (response variable), ký hiệu

y

. Trong bảng kết xuất, dòng Constant cho hệ số chặn còn dòng Hours cho hệ số góc, vì vậy phương trình là

\hat{y} = 4.10 + 0.85x.

Phương trình này nói rằng mỗi giờ tự học thêm trong tuần gắn với mức tăng dự đoán khoảng

0.85

điểm.

4Bước 4: Thay

x = 6

vào phương trình:

\hat{y} = 4.10 + 0.85(6) = 4.10 + 5.10 = 9.20

. Bạn học sinh này thực tế được

y = 8.5

, nên phần dư là

y - \hat{y} = 8.5 - 9.20 = -0.70

. Dấu âm cho biết điểm thật thấp hơn dự đoán, tức là điểm này nằm phía dưới đường hồi quy khoảng

0.7

điểm.

Giới tính, phương tiện đến trường và xếp loại hạnh kiểm là các biến định tính; số giờ tự học mỗi tuần và điểm kiểm tra toán là các biến định lượng. Trong mô hình hồi quy, số giờ tự học đóng vai trò biến giải thích còn điểm kiểm tra toán là biến phản hồi, với đường hồi quy $\hat{y} = 4.10 + 0.85x$ . Một bạn tự học 6 giờ mỗi tuần được dự đoán $9.20$ điểm; vì thực tế chỉ đạt $8.5$ điểm nên phần dư bằng $-0.70$ điểm, nghĩa là mô hình đã dự đoán cao hơn kết quả thật của bạn ấy.

2Ví dụ 2/2

Theo một khảo sát gần đây,

31\%

cư dân từ 25 tuổi trở lên của một bang có bằng cử nhân. Người ta chọn ngẫu nhiên

50

cư dân từ 25 tuổi trở lên của bang này và gọi

B

là số người trong mẫu có bằng cử nhân.

aGiải thích vì sao $B$ là một biến ngẫu nhiên và nêu phân bố của nó.
bTính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của $B$ .
cXác suất để $B$ bằng $40$ xấp xỉ bằng bao nhiêu?

1Bước 1: Trước khi chọn mẫu, ta không biết trong 50 người sẽ có bao nhiêu người có bằng cử nhân: kết quả phụ thuộc vào việc bốc thăm ngẫu nhiên. Vì

B

gán một con số cho mỗi kết quả có thể của phép chọn ngẫu nhiên và tập giá trị của nó là

0, 1, 2, \dots, 50

nên

B

là một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable). Bốn điều kiện của phân bố nhị thức đều thỏa: số phép thử cố định

n = 50

, mỗi người chỉ có hai kết quả "có bằng" hoặc "không", xác suất thành công giữ nguyên

p = 0.31

vì mẫu rất nhỏ so với dân số của bang, và các lựa chọn coi như độc lập. Do đó

B

có phân bố nhị thức với

n = 50

và

p = 0.31

2Bước 2: Với phân bố nhị thức, kỳ vọng và độ lệch chuẩn (standard deviation) tính theo

\mu_B = np, \qquad \sigma_B = \sqrt{np(1-p)}.

Thay số:

\mu_B = 50(0.31) = 15.5

và

\sigma_B = \sqrt{50(0.31)(0.69)} = \sqrt{10.695} \approx 3.27

. Nghĩa là nếu lặp lại việc chọn mẫu rất nhiều lần, trung bình mỗi mẫu 50 người sẽ có khoảng

15.5

người có bằng cử nhân, dao động quanh đó chừng

3.27

người.

3Bước 3: Bây giờ hãy so giá trị

40

với trung tâm vừa tìm được. Khoảng cách từ

40

đến

15.5

đo bằng độ lệch chuẩn là

\frac{40 - 15.5}{3.27} \approx 7.5.

Một giá trị nằm cách kỳ vọng tới bảy độ lệch chuẩn rưỡi là cực kỳ xa phần đông các kết quả, nên ta có thể đoán ngay xác suất sẽ vô cùng nhỏ.

4Bước 4: Tính chính xác bằng công thức nhị thức để xác nhận:

P(B = 40) = \binom{50}{40}(0.31)^{40}(0.69)^{10} \approx 1.1 \times 10^{-12}.

Con số này nhỏ hơn một phần nghìn tỷ, tức là gần như bằng

0

; trong đề trắc nghiệm, phương án đúng sẽ là "approximately 0". Tuy nhiên, cần hiểu đúng rằng xác suất này khác

0

về mặt lý thuyết vì

40

vẫn là một giá trị mà

B

có thể nhận.

Vì giá trị của $B$ chỉ được xác định sau khi chọn mẫu ngẫu nhiên và chỉ nhận các số nguyên từ $0$ đến $50$ , $B$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với $n = 50$ , $p = 0.31$ . Số người có bằng cử nhân trong mẫu trung bình là $\mu_B = 15.5$ người với độ lệch chuẩn $\sigma_B \approx 3.27$ người. Do $40$ nằm cách kỳ vọng khoảng $7.5$ độ lệch chuẩn, xác suất $P(B = 40) \approx 1.1 \times 10^{-12}$ , tức là xấp xỉ $0$ : hầu như không thể có tới 40 trong 50 cư dân được chọn có bằng cử nhân.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.