Đang tải bài học…

AP Statistics

dữ liệu rời rạc

discrete data

Dữ liệu rời rạc là dữ liệu định lượng chỉ nhận những giá trị riêng biệt, đếm được, tách nhau rõ ràng trên trục số.

Trong thống kê, dữ liệu định lượng được chia làm hai loại chính: dữ liệu rời rạc và dữ liệu liên tục. Dữ liệu rời rạc là loại mà tập giá trị có thể liệt kê từng phần tử một — dù tập đó hữu hạn hay vô hạn đếm được. Chẳng hạn, số học sinh vắng mặt trong một lớp học chỉ có thể là 0, 1, 2, 3,… và không thể nhận giá trị 2,5.

Đặc điểm cốt lõi của dữ liệu rời rạc nằm ở chỗ giữa hai giá trị liên tiếp không tồn tại giá trị nào thuộc tập hợp đó. Do đó, khi biểu diễn bằng biến ngẫu nhiên (random variable) $X$ , ta có thể viết xác suất tại từng điểm: $P(X = k)$ với $k$ là một giá trị cụ thể. Điều này trái ngược với dữ liệu liên tục, nơi xác suất tại đúng một điểm luôn bằng 0 và ta chỉ tính xác suất trên một khoảng.

Vì các giá trị có thể đếm được, phân phối nhị thức (binomial distribution) là một trong những mô hình xác suất dùng để mô tả dữ liệu rời rạc phổ biến nhất trong chương trình AP Statistics. Tuy nhiên, không phải mọi dữ liệu rời rạc đều tuân theo phân phối nhị thức — điểm số nguyên của một bài thi hay số lần tung đồng xu cho đến lần đầu ra mặt ngửa đều là dữ liệu rời rạc nhưng tuân theo các mô hình khác nhau. Vì vậy, nhận diện đúng loại dữ liệu là bước đầu tiên trước khi chọn mô hình phù hợp.

Trực giác: Giống như đếm số bậc thang — bạn chỉ đứng được ở bậc 3 hoặc bậc 4, không thể đứng lơ lửng ở bậc 3,7.

Thử nghiệm tương tác

Kéo độ rộng nhóm nhỏ dần — xem khoảng trống quanh mỗi giá trị hiện ra

Hay hiểu sai

Rời rạc không có nghĩa là hữu hạn.

Số nguyên và dữ liệu rời rạc không phải là một.

Dữ liệu rời rạc vẫn là dữ liệu định lượng, không phải dữ liệu phân loại.

Với biến rời rạc, $P(X < 3)$ và $P(X \le 3)$ là hai số khác nhau.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhóm học sinh khảo sát 50 hộ gia đình trong khu phố và ghi lại số ô tô mà mỗi hộ sở hữu. Kết quả được tóm tắt trong bảng tần số sau: 0 ô tô có 6 hộ, 1 ô tô có 18 hộ, 2 ô tô có 15 hộ, 3 ô tô có 8 hộ, 4 ô tô có 3 hộ. Gọi

X

là số ô tô của một hộ được chọn ngẫu nhiên trong 50 hộ này.

aGiải thích vì sao $X$ cho ta dữ liệu rời rạc chứ không phải dữ liệu liên tục (continuous data).
bLập bảng phân bố xác suất (probability distribution) của $X$ và tính $P(X \ge 2)$ .
cTính giá trị kỳ vọng (expected value) và độ lệch chuẩn (standard deviation) của $X$ , rồi diễn giải giá trị kỳ vọng trong ngữ cảnh bài toán.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Biến (phân loại & định lượng)” — khoá AP Statistics

Cần trướcdữ liệu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

dữ liệu liên tụccontinuous data

Khác nhau ở đâuDữ liệu rời rạc chỉ nhận các giá trị đếm được và hữu hạn hoặc đếm được vô hạn, trong khi dữ liệu liên tục có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng

Hay nhầm khiđề cho ví dụ như 'số học sinh' so với 'chiều cao học sinh' và hỏi phân loại dữ liệu

Kéo độ rộng nhóm nhỏ dần — xem khoảng trống quanh mỗi giá trị hiện ra

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Khi phân loại một biến, viết đủ hai chữ: định lượng và rời rạc.

Trung bình và độ lệch chuẩn của biến rời rạc phải tính bằng bảng xác suất, không bằng công thức mẫu.

Nhớ rằng lệnh binomcdf trên máy tính trả về $P(X \le k)$ , không phải $P(X < k)$ .

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Xét xem

X

có thể nhận những giá trị nào. Một hộ gia đình chỉ có thể sở hữu

0,\;1,\;2,\;3

hoặc

4

chiếc ô tô, không có hộ nào sở hữu

1{,}7

chiếc. Tập giá trị của

X

vì vậy tách rời nhau và đếm được, nên

X

là biến đếm và số liệu thu được là dữ liệu rời rạc. Ngược lại, nếu ta đo lượng xăng mỗi hộ dùng trong tháng thì kết quả có thể là bất kỳ số thực nào trong một khoảng, và khi đó ta mới có dữ liệu liên tục.

2Bước 2: Chuyển tần số thành xác suất bằng cách chia mỗi tần số cho tổng số hộ, tức là lấy

f_i/n

với

n=50

. Ta được

P(0)=6/50=0{,}12

P(1)=18/50=0{,}36

P(2)=15/50=0{,}30

P(3)=8/50=0{,}16

và

P(4)=3/50=0{,}06

. Tổng các xác suất là

0{,}12+0{,}36+0{,}30+0{,}16+0{,}06=1{,}00

, đúng như yêu cầu của một bảng phân bố hợp lệ. Đây chính là điểm thuận lợi của dữ liệu rời rạc: mỗi giá trị riêng lẻ được gán một xác suất dương cụ thể.

3Bước 3: Tính

P(X \ge 2)

bằng cách cộng xác suất của các giá trị thỏa mãn điều kiện, vì các giá trị này rời nhau:

P(X \ge 2)=P(2)+P(3)+P(4)=0{,}30+0{,}16+0{,}06=0{,}52.

Con số

0{,}52

nói rằng có

52\%

số hộ trong khảo sát sở hữu từ hai ô tô trở lên. Lưu ý rằng ở đây ta cộng chứ không lấy tích phân, và dấu

\ge

khác hẳn dấu

>

vì

P(X=2)=0{,}30

không hề bằng

0

4Bước 4: Áp dụng công thức

\mu_X=\sum x_i p_i

cho từng giá trị:

\mu_X = 0(0{,}12)+1(0{,}36)+2(0{,}30)+3(0{,}16)+4(0{,}06)=0{,}36+0{,}60+0{,}48+0{,}24=1{,}68.

Tổng này là trung bình của

X

nếu ta lặp lại phép chọn hộ rất nhiều lần. Giá trị

1{,}68

tuy không phải là số ô tô mà bất kỳ hộ nào thực sự có, nhưng nó vẫn hợp lệ vì trung bình của một biến đếm không bắt buộc phải là số nguyên.

5Bước 5: Dùng công thức

\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2 p_i}

để đo mức phân tán quanh

1{,}68

. Các số hạng lần lượt là

(0-1{,}68)^2(0{,}12)=0{,}338688

(1-1{,}68)^2(0{,}36)=0{,}166464

(2-1{,}68)^2(0{,}30)=0{,}030720

(3-1{,}68)^2(0{,}16)=0{,}278784

và

(4-1{,}68)^2(0{,}06)=0{,}322944

. Cộng lại ta có phương sai

\sigma_X^2=1{,}1376

, do đó

\sigma_X=\sqrt{1{,}1376}\approx 1{,}067

ô tô.

Số ô tô của một hộ là dữ liệu rời rạc vì nó chỉ nhận các giá trị nguyên tách rời $0,1,2,3,4$ nên đếm được. Với bảng phân bố đã lập, xác suất một hộ được chọn ngẫu nhiên sở hữu từ hai ô tô trở lên là $P(X \ge 2)=0{,}52$ . Trung bình, mỗi hộ trong khu phố sở hữu $\mu_X=1{,}68$ ô tô, với mức dao động điển hình quanh con số đó khoảng $\sigma_X \approx 1{,}07$ ô tô.

2Ví dụ 2/2

Trong một dự án nghiên cứu về sức khỏe học đường, ban tổ chức ghi lại bốn thông tin của mỗi học sinh lớp 12: (I) số anh chị em ruột trong gia đình; (II) thời gian chạy

400

m, tính bằng giây, đo bởi đồng hồ điện tử chính xác đến

0{,}01

giây; (III) số câu trả lời đúng trên bài kiểm tra

20

câu; (IV) chiều cao, tính bằng xentimét. Một học sinh cho rằng vì thời gian chạy luôn hiển thị hai chữ số thập phân nên nó cũng là dữ liệu rời rạc.

aPhân loại từng biến (I)–(IV) là dữ liệu rời rạc hay dữ liệu liên tục, kèm lý do ngắn gọn.
bNhận xét về lập luận của học sinh nói trên.

1Bước 1: Đặt câu hỏi phân loại chuẩn cho từng biến: giữa hai giá trị liền kề có thể chèn thêm một giá trị hợp lý nữa hay không? Với biến (I), một học sinh có thể có

2

hoặc

3

anh chị em nhưng không thể có

2{,}4

anh chị em, nên tập giá trị tách rời và đây là dữ liệu rời rạc. Tương tự, biến (III) chỉ nhận các giá trị nguyên từ

0

đến

20

vì ta đang đếm số câu đúng, nên cũng rời rạc.

2Bước 2: Áp dụng cùng câu hỏi cho biến (II) và (IV). Thời gian chạy về mặt lý thuyết có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng, chẳng hạn giữa

58{,}30

và

58{,}31

giây vẫn tồn tại thời điểm

58{,}304

giây; chiều cao cũng vậy, giữa

170

cm và

171

cm có vô số giá trị. Hai biến này là kết quả của phép đo trên thang liên tục nên thuộc loại dữ liệu liên tục. Nhờ đó ta có nguyên tắc thực dụng: cái gì đếm được thì rời rạc, cái gì đo được thì liên tục.

3Bước 3: Xem xét lập luận của học sinh. Điều em ấy quan sát đúng là thiết bị chỉ ghi được hữu hạn con số, nhưng đó là giới hạn của dụng cụ đo chứ không phải bản chất của đại lượng. Việc làm tròn

58{,}3042

giây thành

58{,}30

giây không làm biến mất các giá trị nằm giữa; nếu đổi sang đồng hồ chính xác đến

0{,}001

giây thì thang đo lại mịn hơn. Vì vậy thời gian chạy vẫn là dữ liệu liên tục, chỉ được ghi lại dưới dạng đã làm tròn.

4Bước 4: Nêu hệ quả thống kê của cách phân loại này để thấy nó không chỉ là chuyện gọi tên. Với biến rời rạc, mỗi giá trị có xác suất dương riêng, chẳng hạn

P(X=15)

có thể bằng

0{,}18

, và ta trình bày phân bố bằng biểu đồ cột tách rời. Ngược lại, với biến liên tục thì

P(T=58{,}30)=0

và ta chỉ nói về xác suất trên một khoảng như

P(57 < T < 59)

, đồng thời trình bày dữ liệu bằng biểu đồ tần số ghép nhóm với các cột dính liền nhau.

Hai biến (I) số anh chị em ruột và (III) số câu đúng là dữ liệu rời rạc vì chúng là kết quả của phép đếm và chỉ nhận các giá trị nguyên tách rời. Hai biến (II) thời gian chạy $400$ m và (IV) chiều cao là dữ liệu liên tục vì chúng là kết quả của phép đo trên một thang có thể chia nhỏ vô hạn. Lập luận của học sinh chưa chính xác: việc đồng hồ chỉ hiển thị đến $0{,}01$ giây là hạn chế của dụng cụ đo, không biến một đại lượng đo được thành đại lượng đếm được.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.