Đang tải bài học…

AP Statistics

tứ phân vị thứ ba

third quartile

Còn gọi: Q3 · tứ phân vị trên · phân vị 75%

Tứ phân vị thứ ba là giá trị chia 25% dữ liệu lớn nhất ra khỏi 75% dữ liệu còn lại trong một bộ số liệu đã sắp xếp theo thứ tự.

Khi sắp xếp toàn bộ dữ liệu từ nhỏ đến lớn, ta có thể chia chúng thành bốn phần bằng nhau. Tứ phân vị thứ ba (third quartile) là điểm ranh giới mà bên dưới nó chứa đúng 75% số quan sát và bên trên nó nằm 25% số quan sát còn lại. Do đó, giá trị này còn được gọi là phân vị 75%.

Về cách tính, ta tìm trung vị (median) trước, rồi lấy trung vị của nửa dữ liệu nằm bên phải trung vị. Công thức có thể viết gọn: nếu bộ dữ liệu có $n$ quan sát, vị trí của Q3 nằm ở xấp xỉ $\frac{3(n+1)}{4}$ . Khi vị trí này không rơi đúng vào một quan sát, ta nội suy giữa hai giá trị kề nhau. Giá trị Q3 kết hợp với Q1 cho ta khoảng tứ phân vị (interquartile range), viết tắt $IQR = Q3 - Q1$ , một đại lượng đo mức phân tán ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai.

Vì vậy, Q3 đóng vai trò then chốt trong việc nhận diện giá trị ngoại lai (outlier). Theo quy tắc phổ biến, bất kỳ quan sát nào vượt quá $Q3 + 1{,}5 \times IQR$ đều bị xem là giá trị ngoại lai ở đầu trên. Ngược lại, Q3 còn được dùng để vẽ biểu đồ hộp (boxplot), trong đó nó đánh dấu cạnh trên của hộp, giúp so sánh trực quan nhiều phân phối với nhau.

Ký hiệuQ3

Trực giác: Nếu xếp cả lớp theo chiều cao từ thấp đến cao, tứ phân vị thứ ba là bạn học sinh đứng ở vị trí mà 75% số bạn thấp hơn hoặc bằng.

Công thức

Q_3 = \text{median of upper half}

Dùng để xác định giá trị tại vị trí bách phân vị thứ 75 (75th percentile) trong một tập dữ liệu đã sắp xếp; kết hợp với tứ phân vị thứ nhất để tính khoảng tứ phân vị (IQR = Q3 − Q1).

Trong đó

Q_3

Tứ phân vị thứ ba — giá trị mà 75% dữ liệu nằm dưới nó

\text{upper half}

Nửa trên của dãy số đã sắp xếp tăng dần, tính từ vị trí trung vị đến giá trị lớn nhất

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

Khoảng tứ phân vị (interquartile range) đo độ trải rộng của 50% giá trị ở giữa phân phối; dùng để phát hiện giá trị ngoại lai (outlier) theo quy tắc 1,5 × IQR.

Trong đó

\text{IQR}

Khoảng tứ phân vị — hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất

Khái niệm này sinh ra từ đâu

cuối thế kỷ 19Francis Galton

Tên gọi tứ phân vị và khoảng tứ phân vị được Francis Galton dùng lần đầu vào cuối thế kỷ 19, để đánh dấu những điểm cắt chia một dãy số liệu đã sắp thứ tự thành bốn phần bằng nhau. Tứ phân vị thứ ba là điểm cắt cao nhất trong ba điểm ấy, ứng với phân vị thứ 75.

Khi số liệu đã được sắp từ nhỏ đến lớn, một con số đại diện duy nhất ở giữa vẫn chưa cho biết dữ liệu trải rộng đến đâu. Cách xử lý là đặt thêm các mốc cắt: trung vị chia đôi dãy, rồi mỗi nửa lại được chia đôi lần nữa, và ba mốc cắt ấy chia toàn bộ dãy thành bốn phần có số quan sát xấp xỉ bằng nhau. Mốc trên cùng chính là tứ phân vị thứ ba, tách 25% giá trị lớn nhất khỏi 75% còn lại. Cuối thế kỷ 19, Francis Galton là người đầu tiên dùng các từ tứ phân vị và khoảng tứ phân vị theo nghĩa này, và từ đó cặp $Q_1$ , $Q_3$ trở thành công cụ chuẩn để mô tả độ phân tán.

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm ngoài cùng bên phải ra thật xa — nhìn vạch Q₃ đứng yên

Hay hiểu sai

Tứ phân vị thứ ba là một giá trị của dữ liệu, không phải con số 75%.

Không được lấy $z \approx 0.67$ cho tứ phân vị thứ ba của một phân bố bất kỳ.

Ngưỡng phát hiện giá trị ngoại lai là $Q_3 + 1.5 \times IQR$ , không phải $1.5 \times Q_3$ .

Ngưỡng vừa tính ra không phải là một giá trị có thật trong dữ liệu.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên chủ nhiệm ghi lại thời gian (tính bằng phút) mà 12 học sinh trong lớp cần để đi từ nhà đến trường vào một buổi sáng. Số liệu đã được sắp xếp tăng dần: 5, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 20, 22, 25, 30, 62.

aTính tứ phân vị thứ ba của bộ số liệu và giải thích ý nghĩa của nó trong ngữ cảnh bài toán.
bDùng quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị để xác định xem có giá trị nào là giá trị ngoại lai hay không.
cGiả sử con đường tới trường bị sửa chữa nên mỗi học sinh đều mất thêm đúng 5 phút. Khi đó tứ phân vị thứ ba và khoảng tứ phân vị thay đổi như thế nào?

1Bước 1:

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikhoảng tứ phân vị

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân vịpercentile

Khác nhau ở đâuPhân vị là vị trí bất kỳ chia dữ liệu theo tỉ lệ p bất kỳ, còn tứ phân vị thứ ba luôn cố định tại vị trí 75%

Hay nhầm khiđề hỏi 'giá trị tại phân vị thứ 75' và 'Q3' — hai cách diễn đạt cùng chỉ một đại lượng nhưng thí sinh hay nghĩ chúng khác nhau

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 119, 138, 152.

Tứ phân vị thứ nhất — giá trị tại bách phân vị thứ 25

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi bắt nguồn từ ý "một phần tư": các mốc này chia dãy số liệu đã sắp thứ tự thành bốn phần bằng nhau, nên chúng được gọi là tứ phân vị. Chữ "thứ ba" chỉ vị trí của mốc trong ba điểm cắt tính từ dưới lên, chứ không phải giá trị thứ ba của dãy — đây là chỗ dễ nhầm. Vì nó nằm cao nhất trong ba mốc nên còn có tên tứ phân vị trên (upper quartile), và vì có 75% dữ liệu nằm dưới nó nên nó trùng với phân vị thứ 75 (75th percentile). Hiệu $IQR = Q_3 - Q_1$ mang tên khoảng tứ phân vị (interquartile range) đúng theo nghĩa "khoảng nằm giữa hai tứ phân vị", đo bề rộng của 50% dữ liệu ở giữa.

Kéo chấm ngoài cùng bên phải ra thật xa — nhìn vạch Q₃ đứng yên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Viết ra công thức ngưỡng kèm số cụ thể trước khi kết luận về giá trị ngoại lai.

Đề nói phân bố không đối xứng là tín hiệu loại bỏ mọi công thức của phân bố chuẩn.

Nhớ rằng máy tính cầm tay và bài giải bằng tay có thể cho $Q_3$ hơi lệch nhau.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bộ số liệu có

n = 12

giá trị, đã sắp xếp sẵn nên ta chỉ cần chia đôi. Vì

n

chẵn, trung vị nằm giữa giá trị thứ 6 và thứ 7:

M = (15 + 16)/2 = 15{,}5

phút. Nửa dưới gồm 6 giá trị đầu (5, 8, 10, 12, 14, 15) và nửa trên gồm 6 giá trị cuối (16, 20, 22, 25, 30, 62).

2Bước 2: Tứ phân vị thứ ba chính là trung vị của nửa trên. Nửa trên có 6 số nên ta lấy trung bình của hai số ở giữa là 22 và 25:

Q_3 = (22 + 25)/2 = 23{,}5

phút. Như vậy khoảng 75% học sinh trong lớp đi học hết không quá 23,5 phút, còn khoảng 25% mất nhiều thời gian hơn con số này.

3Bước 3: Để kiểm tra giá trị ngoại lai (outlier), trước hết cần tứ phân vị thứ nhất. Trung vị của nửa dưới là

Q_1 = (10 + 12)/2 = 11

phút, nên khoảng tứ phân vị (interquartile range) là

IQR = Q_3 - Q_1 = 23{,}5 - 11 = 12{,}5

phút.

4Bước 4: Hai rào chắn được tính từ

Q_1

và

Q_3

với

1{,}5 \times IQR = 1{,}5 \times 12{,}5 = 18{,}75

. Rào trên là

Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR = 23{,}5 + 18{,}75 = 42{,}25

và rào dưới là

Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR = 11 - 18{,}75 = -7{,}75

. Mọi giá trị nằm ngoài đoạn từ

-7{,}75

đến

42{,}25

đều bị coi là bất thường.

5Bước 5: So sánh từng đầu: giá trị nhỏ nhất là 5 phút, lớn hơn rào dưới nên không có giá trị ngoại lai ở phía thấp. Ở phía cao, chỉ có

62 > 42{,}25

, còn 30 thì nhỏ hơn rào trên. Vậy đúng một quan sát là ngoại lai, và chính nó kéo đuôi phải của phân bố ra xa.

6Bước 6: Khi cộng thêm hằng số 5 vào mọi giá trị, thứ tự các số không đổi nên vị trí của tứ phân vị cũng không đổi; chỉ có bản thân giá trị bị tịnh tiến:

Q_3' = 23{,}5 + 5 = 28{,}5

phút. Ngược lại, hiệu

Q_3' - Q_1' = (23{,}5 + 5) - (11 + 5) = 12{,}5

giữ nguyên, vì cộng cùng một hằng số không làm các số liệu giãn ra hay co lại. Đây là quy tắc chung: phép cộng hằng số làm dịch chuyển các thước đo vị trí nhưng không đụng tới các thước đo độ biến động.

Tứ phân vị thứ ba của thời gian đi học là $Q_3 = 23{,}5$ phút, nghĩa là khoảng ba phần tư học sinh trong lớp đi hết 23,5 phút trở xuống. Với $IQR = 12{,}5$ phút, rào trên bằng 42,25 phút nên học sinh mất 62 phút là giá trị ngoại lai duy nhất của bộ số liệu; không có giá trị ngoại lai ở phía thấp. Nếu mọi học sinh đều mất thêm 5 phút thì tứ phân vị thứ ba tăng thành 28,5 phút, còn khoảng tứ phân vị vẫn là 12,5 phút.

2Ví dụ 2/2

Điểm của một kỳ thi chuẩn hóa được mô tả xấp xỉ bằng phân phối chuẩn (normal distribution) với trung bình 500 điểm và độ lệch chuẩn (standard deviation) 100 điểm.

aƯớc lượng tứ phân vị thứ ba của điểm thi.
bMột kỳ thi khác có phân bố điểm rõ ràng không đối xứng. Có thể kết luận điểm z của tứ phân vị thứ ba trong kỳ thi này bằng bao nhiêu?

1Bước 1: Theo định nghĩa, tứ phân vị thứ ba là giá trị mà 75% số liệu nằm bên dưới, tức là phân vị thứ 75. Với phân phối chuẩn, ta tìm điểm z (z-score) ứng với diện tích 0,75 ở phía trái:

\mathrm{invNorm}(0{,}75) \approx 0{,}674

2Bước 2: Đổi từ điểm z về điểm thô bằng công thức

x = \mu + z\sigma

, trong đó

\mu

là trung bình và

\sigma

là độ lệch chuẩn. Thay số:

x = 500 + 0{,}674 \times 100 = 567{,}4

. Vậy

Q_3 \approx 567

điểm, cao hơn trung bình khoảng hai phần ba độ lệch chuẩn.

3Bước 3: Điều cần nhớ là con số

z \approx 0{,}67

không phải là tính chất của tứ phân vị thứ ba nói chung, mà là hệ quả của việc giả thiết phân phối chuẩn. Nó ra đời từ bảng diện tích của đường cong chuẩn, nên chỉ dùng được khi hình dạng phân bố đúng là chuẩn.

4Bước 4: Ở kỳ thi thứ hai, phân bố không đối xứng nên vị trí tương đối giữa trung bình, trung vị và các tứ phân vị bị xô lệch. Nếu điểm lệch phải, đuôi dài kéo trung bình lên và

Q_3

có thể chỉ cách trung bình vài phần mười độ lệch chuẩn; nếu lệch trái,

Q_3

lại có thể nằm rất gần trung bình hoặc xa hơn hẳn. Do đó không có một giá trị

z

cố định nào cho

Q_3

5Bước 5: Nói cách khác, quan hệ

Q_3 = \mu + 0{,}674\sigma

chỉ là một đẳng thức riêng của mô hình chuẩn, không phải công thức phổ quát. Khi đề bài cố tình nhấn mạnh phân bố không đối xứng, đáp án đúng thường là không thể xác định nếu không biết thêm về hình dạng phân bố.

Với phân phối chuẩn có trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100, tứ phân vị thứ ba của điểm thi vào khoảng $500 + 0{,}674(100) \approx 567$ điểm. Còn ở kỳ thi có phân bố không đối xứng, ta không thể ước lượng điểm z của tứ phân vị thứ ba: giá trị 0,67 chỉ đúng cho đường cong chuẩn, nên với hình dạng khác thì cần biết thêm thông tin về phân bố mới kết luận được.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.