AP Statistics

bối cảnh phân phối hình họcgeometric setting

geometric settingVietnamese: bối cảnh phân phối hình học

Bối cảnh phân phối hình học là tình huống ta đếm số lần thử đến thành công đầu tiên, với các lần thử độc lập và xác suất thành công không đổi.A geometric setting is a situation in which you count the number of trials up to and including the first success, where the trials are independent and the probability of success stays the same.

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn tung đồng xu cho đến khi mặt ngửa xuất hiện; số lần bạn phải tung chính là biến ngẫu nhiên hình học, và bạn không biết trước mình sẽ tung bao nhiêu lần.Intuition: Picture flipping a coin until heads finally shows up: the number of flips it takes is a geometric random variable, and you have no way of knowing in advance how many flips that will be.

Công thức chínhKey formula

P(X = k) = (1-p)^{k-1} p

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Bối cảnh phân phối hình học là chuỗi phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ có hai kết quả, với xác suất thành công $p$ không đổi; biến $X$ đếm số lần thử đến thành công đầu tiên. Để $X=k$ , $k-1$ lần đầu phải thất bại và lần thứ $k$ thành công. Khác bối cảnh nhị thức, số lần thử không ấn định trước; trung bình số lần thử là nghịch đảo của $p$ .

A geometric setting is a sequence of independent trials, each with only two possible outcomes and the same probability of success $p$ , in which the variable $X$ counts the number of trials needed to get the first success. For $X=k$ , the first $k-1$ trials must be failures and the $k$ th trial must be a success. Unlike a binomial setting, the number of trials is not fixed in advance; the mean number of trials is the reciprocal of $p$ .

Ký hiệuNotation

• $X$ : số lần thử đến thành công đầu tiên
• $p$ : xác suất thành công

• $X$ : number of trials until the first success
• $p$ : probability of success

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

P(X = k) = \htmlClass{fp-1}{(1-p)^{\htmlClass{fp-0}{k-1}}} \htmlClass{fp-2}{p}

P(X = k) = \htmlClass{fp-1}{(1-p)^{\htmlClass{fp-0}{k-1}}} \htmlClass{fp-2}{p}

Tính xác suất thành công đầu tiên xảy ra ở lần thứ $k$ trong bối cảnh hình học.Gives the probability that the first success occurs on trial $k$ in a geometric setting.

Trong đóWhere

X

số lần thử cho đến khi có thành công đầu tiên (nhận giá trị 1, 2, 3, …)number of trials until the first success (takes values 1, 2, 3, …)

k

một giá trị cụ thể của

X

(số nguyên dương)a specific value of

X

(a positive integer)

p

xác suất thành công trong mỗi lần thử, không đổiprobability of success on each trial, constant across trials

1-p

xác suất thất bại trong mỗi lần thửprobability of failure on each trial

\mu_X = \frac{1}{p}

Dùng để tính số lần thử trung bình cần có để đạt thành công đầu tiên.Gives the mean number of trials needed to obtain the first success.

Trong đóWhere

\mu_X

giá trị kỳ vọng của

X

, tức số lần thử trung bình cho đến lần thành công đầu tiênexpected value of

X

, that is, the mean number of trials until the first success

p

xác suất thành công trong mỗi lần thửprobability of success on each trial

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bối cảnh hình học không ấn định trước số lần thử.

Nó đếm số lần thử đến thành công đầu tiên; bối cảnh nhị thức ấn định $n$ và đếm số thành công. Các lần thử độc lập với $p$ không đổi chưa đủ để kết luận là nhị thức.

Trong xác suất thành công đầu tiên ở lần $k$ , số mũ là $k-1$ .

Trước lần thành công có đúng $k-1$ thất bại. Nếu hỏi $X>k$ , cả $k$ lần đầu đều thất bại, nên xác suất là $(1-p)^k$ , không cần cộng chuỗi.

Kỳ vọng hình học là $1/p$ , không phải $np$ .

Công thức $np$ thuộc phân phối nhị thức. Không làm tròn $1/p$ thành số nguyên vì trung bình của biến đếm không nhất thiết là một giá trị có thể quan sát.

A geometric setting does not fix the number of trials in advance.

It counts trials until the first success, while a binomial setting fixes $n$ and counts successes. Independent trials with constant $p$ alone are not enough to make a setting binomial.

In the probability of a first success on trial $k$ , the exponent is $k-1$ .

Exactly $k-1$ failures come before that success. For $X>k$ , all of the first $k$ trials fail, so the probability is $(1-p)^k$ with no series to sum.

The mean of a geometric random variable is $1/p$ , not $np$ .

The formula $np$ belongs to the binomial distribution. Do not round $1/p$ to a whole number, since the mean of a count variable need not be an observable value.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Kiểm tra đủ bốn điều kiện trước khi dùng mô hình.

Nêu theo ngữ cảnh: hai kết quả, $p$ không đổi, độc lập và đếm số lần thử đến thành công đầu tiên. Nếu lấy mẫu không hoàn lại, dùng quy tắc 10% để biện minh tính độc lập gần đúng.

Dịch câu hỏi thành ký hiệu của $X$ trước khi tính.

Phân biệt “ở lần $k$ ”, “trong $k$ lần đầu” và “sau lần $k$ ” bằng $X=k$ , $X\le k$ , $X>k$ . Ghi biểu thức xác suất trước lệnh máy tính để tránh chọn sai hàm hoặc lệch số mũ.

Check all four conditions before using the model.

State them in context: two outcomes, constant $p$ , independence, and counting trials until the first success. If sampling without replacement, cite the 10% rule to justify approximate independence.

Translate the question into notation for $X$ before computing.

Distinguish "on trial $k$ ," "within the first $k$ trials," and "after trial $k$ " as $X=k$ , $X\le k$ , and $X>k$ . Write the probability expression before using calculator commands so you don't pick the wrong function or shift an exponent.

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsÍt gặpUncommon

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Mỗi chấm là một lần chạy đến khi trúng — nhìn cột ở 1 luôn cao nhất

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBiến ngẫu nhiên & phân phối xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Cần trướcLearn firstxác suấtprobability biến cố độc lậpindependent events

Dẫn tớiLeads tophân phối xác suấtprobability distribution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phân phối nhị thứcbinomial distribution

Khác nhau ở đâuHow they differPhân phối nhị thức (binomial distribution) đếm số thành công trong n phép thử cố định, còn phân phối hình học đếm số phép thử cho đến khi có thành công đầu tiên

Hay nhầm khiMixed up whenđề hỏi xác suất có đúng 3 thành công trong 10 lần tung đồng xu thì dùng nhị thức; hỏi xác suất lần thành công đầu tiên xảy ra ở lần tung thứ 5 thì dùng hình học

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic