AP Statistics

bối cảnh phân phối hình học

geometric setting

Bối cảnh phân phối hình học là tình huống ta đếm số lần thử đến thành công đầu tiên, với các lần thử độc lập và xác suất thành công không đổi.

Một bối cảnh phân phối hình học xuất hiện khi ta thực hiện một chuỗi các quan sát độc lập, mỗi quan sát chỉ có hai kết quả là thành công hoặc thất bại. Xác suất thành công, ký hiệu là $p$ , phải giữ nguyên qua mọi lần thử. Biến ngẫu nhiên ta quan tâm không phải là số lần thành công trong một số lần thử cố định, mà là số lần thử cần thực hiện cho đến khi thành công đầu tiên xuất hiện.

Do đó, phân phối hình học khác với phân phối nhị thức (binomial distribution) ở chỗ số lần thử không được xác định trước. Nếu phân phối nhị thức đếm số thành công trong $n$ lần thử cố định, thì phân phối hình học đếm số lần thử cho đến khi đạt một thành công. Xác suất để thành công đầu tiên xảy ra ở lần thử thứ $k$ được tính bằng công thức $P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p$ trong đó $(1-p)^{k-1}$ là xác suất thất bại liên tiếp $k-1$ lần đầu, và $p$ là xác suất thành công ở lần thứ $k$ . Ngược lại với trực giác ban đầu, công thức này cho thấy xác suất giảm theo hàm mũ khi $k$ tăng, tức là thành công càng muộn càng ít có khả năng xảy ra.

Vì vậy, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên hình học là $E(X) = 1/p$ , nghĩa là trung bình ta cần $1/p$ lần thử để gặp một thành công. Độ lệch chuẩn (standard deviation) là $\sigma_X = \sqrt{(1-p)}/p$ , đo mức độ phân tán của số lần thử quanh giá trị kỳ vọng. Nhờ đó, khi $p$ nhỏ, ta cần nhiều lần thử hơn và kết quả biến động mạnh hơn; ngược lại, khi $p$ lớn, thành công đến nhanh và ít biến động.

Ký hiệu

• $X$ : số lần thử đến thành công đầu tiên
• $p$ : xác suất thành công

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn tung đồng xu cho đến khi mặt ngửa xuất hiện; số lần bạn phải tung chính là biến ngẫu nhiên hình học, và bạn không biết trước mình sẽ tung bao nhiêu lần.

Công thức

P(X = k) = \htmlClass{fp-1}{(1-p)^{\htmlClass{fp-0}{k-1}}} \htmlClass{fp-2}{p}

Dùng khi đếm số lần thử cần thiết để đạt được thành công đầu tiên trong bối cảnh phân phối hình học (geometric setting): mỗi lần thử độc lập, xác suất thành công $p$ không đổi, và biến số là $X =$ lần thử thứ mấy mới thành công lần đầu.

Trong đó

X

số lần thử cho đến khi có thành công đầu tiên (nhận giá trị 1, 2, 3, …)

k

một giá trị cụ thể của

X

(số nguyên dương)

p

xác suất thành công trong mỗi lần thử, không đổi

1-p

xác suất thất bại trong mỗi lần thử

Thử nghiệm tương tác

Mỗi chấm là một lần chạy đến khi trúng — nhìn cột ở 1 luôn cao nhất

Hay hiểu sai

Bối cảnh hình học không ấn định trước số lần thử.

Trong $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ , số mũ là $k-1$ chứ không phải $k$ .

Trung bình của phân phối hình học là $1/p$ , không phải $np$ .

Câu hỏi "cần hơn $k$ lần thử" giải bằng một dòng, không cần cộng chuỗi.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một cầu thủ bóng rổ có xác suất ném phạt trúng ở mỗi lần ném là 0,8. Các lần ném được xem là độc lập với nhau và xác suất trúng không đổi qua các lần ném. Trong phần khởi động trước trận, cầu thủ này ném liên tiếp cho tới khi trúng rổ lần đầu tiên thì dừng lại. Gọi

X

là số lần ném cho tới và bao gồm cả lần trúng đầu tiên.

aGiải thích vì sao tình huống trên là một bối cảnh phân phối hình học, bằng cách kiểm tra đầy đủ các điều kiện.
bTính xác suất để cầu thủ cần đúng 3 lần ném mới trúng rổ lần đầu.
cTính xác suất để cầu thủ cần nhiều hơn 4 lần ném.
dTính trung bình và độ lệch chuẩn của $X$ , rồi diễn giải giá trị trung bình trong ngữ cảnh.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Xác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất” — khoá AP Statistics

Cần trướcxác suất biến cố độc lập

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối nhị thứcbinomial distribution

Khác nhau ở đâuPhân phối nhị thức (binomial distribution) đếm số thành công trong n phép thử cố định, còn phân phối hình học đếm số phép thử cho đến khi có thành công đầu tiên

Hay nhầm khiđề hỏi xác suất có đúng 3 thành công trong 10 lần tung đồng xu thì dùng nhị thức; hỏi xác suất lần thành công đầu tiên xảy ra ở lần tung thứ 5 thì dùng hình học

1Bước 1: Trước hết ta kiểm tra bốn điều kiện của bối cảnh hình học. Mỗi lần ném chỉ có hai kết quả là trúng hoặc trượt, nên đó là một phép thử Bernoulli (Bernoulli trial); các lần ném độc lập nên kết quả lần trước không làm thay đổi cơ hội của lần sau; xác suất trúng giữ nguyên

p=0{,}8

ở mọi lần ném; và biến quan tâm là số phép thử cần thực hiện cho tới khi có lần thành công đầu tiên chứ không phải số lần thành công trong một số phép thử ấn định trước. Vì cả bốn điều kiện đều thỏa mãn,

X

là biến ngẫu nhiên hình học (geometric random variable) với

p=0{,}8

2Bước 2: Ghi lại các công thức sẽ dùng. Xác suất để lần thành công đầu tiên rơi đúng vào phép thử thứ

k

là

P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,3,\dots

Công thức này nói rằng muốn thành công lần đầu ở phép thử thứ

k

thì

k-1

phép thử đầu phải thất bại rồi phép thử thứ

k

mới thành công. Ngoài ra, xác suất phải chờ quá

k

phép thử là

P(X>k)=(1-p)^k

, tức là toàn bộ

k

phép thử đầu đều thất bại.

3Bước 3: Với ý (b), ta thay

k=3

và

p=0{,}8

, nên

1-p=0{,}2

. Ta có

P(X=3)=(0{,}2)^{2}(0{,}8)=0{,}04\times 0{,}8=0{,}032

. Vậy chỉ khoảng 3,2% số lần thử nghiệm sẽ dẫn tới việc cầu thủ trượt hai lần đầu rồi trúng ở lần thứ ba.

4Bước 4: Với ý (c), sự kiện "cần nhiều hơn 4 lần ném" tương đương với việc bốn lần ném đầu tiên đều trượt. Do đó

P(X>4)=(0{,}2)^{4}=0{,}0016

. Nếu muốn kiểm tra bằng đường bù, ta có thể tính

P(X\le 4)=1-(0{,}2)^4=0{,}9984

, và hai kết quả cộng lại đúng bằng 1.

5Bước 5: Với ý (d), trung bình của biến ngẫu nhiên hình học là

\mu_X=\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25

lần ném, còn độ lệch chuẩn (standard deviation) là

\sigma_X=\frac{\sqrt{1-p}}{p}=\frac{\sqrt{0{,}2}}{0{,}8}=\frac{0{,}4472}{0{,}8}\approx 0{,}559.

Trung bình

1{,}25

có nghĩa là nếu cầu thủ lặp lại quy trình khởi động này rất nhiều lần, thì trung bình mỗi lượt cần khoảng 1,25 lần ném để có cú trúng đầu tiên.

2Ví dụ 2/2

Một nhà máy xuất xưởng các lô hàng rất lớn, trong đó tỉ lệ sản phẩm lỗi ổn định ở mức 10%. Một nhân viên kiểm định lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm ra kiểm tra, mỗi sản phẩm chỉ được xếp vào một trong hai loại là đạt hoặc lỗi. Xét hai cách đếm khác nhau:

X

là số sản phẩm lỗi trong 20 sản phẩm đầu tiên được kiểm tra, còn

Y

là số sản phẩm phải kiểm tra cho tới và bao gồm cả sản phẩm lỗi đầu tiên.

aTrong hai biến $X$ và $Y$ , biến nào thuộc bối cảnh hình học và biến nào không? Giải thích sự khác nhau.
bTính xác suất để sản phẩm lỗi đầu tiên xuất hiện đúng ở lần kiểm tra thứ tư, và xác suất để nhân viên kiểm tra hơn 5 sản phẩm mà vẫn chưa gặp sản phẩm lỗi nào.
cTính trung bình của $Y$ và nêu điều kiện cần thiết để giả thiết độc lập là hợp lý khi lấy mẫu không hoàn lại.

1Bước 1: Điểm phân biệt then chốt nằm ở chỗ đại lượng nào được ấn định trước. Với

X

, số phép thử đã được cố định bằng 20 và ta đếm số lần thành công, nên đó là bối cảnh nhị thức và

X

tuân theo phân phối nhị thức (binomial distribution) với

n=20

p=0{,}10

. Ngược lại, với

Y

ta không biết trước phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm; số phép thử là ngẫu nhiên còn số lần thành công đã bị ấn định bằng đúng một. Vì vậy chỉ

Y

mới nằm trong bối cảnh hình học, với

p=0{,}10

2Bước 2: Áp dụng

P(Y=k)=(1-p)^{k-1}p

với

p=0{,}10

nên

1-p=0{,}90

. Sản phẩm lỗi đầu tiên rơi đúng vào lần kiểm tra thứ tư nghĩa là ba sản phẩm đầu đều đạt rồi sản phẩm thứ tư bị lỗi, do đó

P(Y=4)=(0{,}90)^{3}(0{,}10)=0{,}729\times 0{,}10=0{,}0729

3Bước 3: Sự kiện "kiểm tra hơn 5 sản phẩm mà chưa gặp sản phẩm lỗi" chính là

Y>5

, tức năm sản phẩm đầu đều đạt. Khi đó

P(Y>5)=(0{,}90)^{5}=0{,}59049\approx 0{,}590

. Nói cách khác, gần 59% số lần kiểm định sẽ đi qua ít nhất năm sản phẩm tốt liên tiếp trước khi gặp sản phẩm lỗi đầu tiên, nên chuỗi năm sản phẩm đạt hoàn toàn không phải chuyện lạ.

4Bước 4: Trung bình của

Y

bằng

\mu_Y=\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{0{,}10}=10

sản phẩm. Tuy nhiên, vì các sản phẩm được lấy ra mà không hoàn lại, xác suất lỗi ở mỗi lần lấy thay đổi chút ít sau mỗi lần rút. Ta chấp nhận được giả thiết độc lập nhờ điều kiện 10% (10% condition): kích thước mẫu kiểm tra phải không vượt quá 10% kích thước lô hàng, và giả thiết "lô hàng rất lớn" trong đề bảo đảm điều này.

Biến $X$ thuộc bối cảnh nhị thức vì số phép thử cố định bằng 20, còn $Y$ mới thuộc bối cảnh hình học vì ta đếm số lần kiểm tra cho tới sản phẩm lỗi đầu tiên. Với $p=0{,}10$ , xác suất sản phẩm lỗi đầu tiên xuất hiện đúng ở lần thứ tư là $0{,}0729$ , còn xác suất kiểm tra quá 5 sản phẩm mà chưa gặp lỗi nào là khoảng $0{,}590$ . Trung bình nhân viên phải kiểm tra 10 sản phẩm mới gặp sản phẩm lỗi đầu tiên, với điều kiện lô hàng đủ lớn để mẫu kiểm tra không vượt quá 10% cả lô.