thành công và thất bại (trong phép thử nhị thức)

Thành công không có nghĩa là kết quả tốt.

Trong một phép thử Bernoulli (Bernoulli trial), "thành công" chỉ là nhãn mà người giải bài tự gán cho biến cố mình đang đếm, hoàn toàn không mang giá trị đạo đức hay cảm xúc nào. Nếu đề hỏi có bao nhiêu bóng đèn hỏng trong 20 bóng, thì "bóng hỏng" chính là thành công và $p$ là xác suất một bóng bị hỏng. Học sinh quen nghĩ thành công phải là điều đáng mừng thường gán nhầm $p$ thành xác suất bóng tốt, rồi tính ra một đáp số đúng phép nhưng trả lời sai câu hỏi.

Đã chọn đâu là thành công thì phải giữ nguyên định nghĩa đó đến hết bài.

Rắc rối hay xảy ra khi câu a đếm số người ủng hộ còn câu b lại đếm số người phản đối: nếu vẫn dùng cùng một $p$ mà không đổi, kết quả lệch hẳn. Khi buộc phải đảo vai trò, phải đổi đồng thời cả hai thứ, tức thay $p$ bằng $1-p$ và thay số thành công $k$ bằng $n-k$. Vì vậy hãy viết rõ ra giấy một dòng kiểu $X$ = số học sinh đi học thêm, $X \sim B(25,\ 0.4)$ trước khi bấm máy.

Biến nhị thức đếm số thành công, không đếm số phép thử.

Ký hiệu $n$ là số lần thử còn $X$ là số lần thành công trong $n$ lần đó, hai đại lượng này khác nhau về bản chất nên không được hoán đổi khi nhập vào máy tính. Sai lầm điển hình là gõ binompdf với $k$ là số lần thất bại trong khi $p$ vẫn là xác suất thành công, khiến đáp số rơi đúng vào một phương án nhiễu mà đề đã cài sẵn. Một cách kiểm tra nhanh: kỳ vọng $\mu_X = np$ phải nằm gần giữa dãy giá trị mà bạn đang tính.

Điều kiện đếm lớn đòi hỏi kiểm tra cả thành công lẫn thất bại.

Nhiều bài làm chỉ ghi $np \ge 10$ rồi kết luận phân phối gần chuẩn, trong khi điều kiện đếm lớn (large counts condition) yêu cầu đồng thời $np \ge 10$ và $n(1-p) \ge 10$. Bỏ quên vế thứ hai đặc biệt nguy hiểm khi $p$ lớn, chẳng hạn $n = 40$ và $p = 0.9$ cho $np = 36$ rất đẹp nhưng $n(1-p) = 4$ thì quá nhỏ. Do đó khi phân phối bị lệch mạnh, xấp xỉ chuẩn không dùng được và bạn phải tính trực tiếp bằng công thức nhị thức.

"Ít nhất một thành công" lấy phần bù của không thành công nào, không phải của một thành công.

Cách viết đúng là $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$, trong đó $P(X=0) = (1-p)^n$ nghĩa là cả $n$ lần đều thất bại. Học sinh vội hay viết $1 - P(X = 1)$ và mất trọn điểm dù các bước sau đều sạch sẽ. Mẹo an toàn là dịch cụm "ít nhất một" thành "không phải là toàn bộ đều thất bại" trước khi đặt bút.

Câu đầu tiên của mọi bài nhị thức phải định nghĩa thành công bằng lời.

Giám khảo chấm phần trình bày cần thấy bạn viết rõ $X$ đếm cái gì, $n$ bằng bao nhiêu và $p$ là xác suất của biến cố nào, chẳng hạn "Gọi $X$ là số khách hàng mua hàng trong $n=15$ khách, thành công = khách có mua, $p=0.3$". Chỉ ghi $X \sim B(15,\ 0.3)$ mà không nói thành công là gì thì bài vẫn bị trừ điểm giao tiếp. Nhờ dòng định nghĩa này, bạn cũng tự tránh được việc đảo nhầm $p$ và $1-p$ ở các ý sau.

Kiểm tra bốn điều kiện BINS trước khi gọi tên phân phối nhị thức.

Phải nêu được rằng mỗi phép thử chỉ có hai kết quả thành công hoặc thất bại, các phép thử độc lập, số phép thử $n$ cố định từ trước, và xác suất thành công $p$ giữ nguyên qua mọi lần. Khi lấy mẫu không hoàn lại, thêm điều kiện 10% để bảo đảm tính độc lập gần đúng, tức cỡ mẫu không vượt quá một phần mười tổng thể. Bỏ qua bước này là chỗ mất điểm phổ biến nhất ở phần tự luận, ngay cả khi con số cuối cùng hoàn toàn chính xác.

Đọc kỹ chữ "ít nhất", "nhiều nhất", "nhiều hơn" để chọn đúng hàm tích lũy.

Máy tính cho binompdf tính đúng một giá trị $P(X=k)$, còn binomcdf tính $P(X \le k)$, nên "nhiều hơn 3" phải viết thành $1 - P(X \le 3)$ chứ không phải $1 - P(X \le 2)$. Khi trình bày, hãy ghi ra biểu thức xác suất bằng ký hiệu trước rồi mới ghi kết quả số, vì nếu bấm máy sai bạn vẫn được điểm cho bước lập biểu thức. Đây là thói quen rẻ tiền nhưng cứu được rất nhiều điểm trong phần trả lời tự do.