biến ngẫu nhiên nhị thức

Giá trị $p$ là xác suất thành công của MỘT lần thử, không phải tỉ lệ đã quan sát trong mẫu.

Khi đề cho trung bình $np = 10$ và độ lệch chuẩn $3$, giải ra $p = 0{,}1$, rất nhiều thí sinh diễn giải thành "có 10% số ghế trong mẫu bị lỗi" hoặc "trung bình có 0,1 ghế lỗi". Cả hai cách nói đều sai bản chất: $p$ mô tả cơ chế sinh dữ liệu, tức xác suất một chiếc ghế được chọn ngẫu nhiên từ dây chuyền là ghế lỗi, chứ không mô tả kết quả của một mẫu cụ thể. Khi viết câu trả lời, hãy gắn $p$ với một cá thể và với từ "xác suất", chẳng hạn "xác suất một chiếc ghế bất kỳ bị lỗi bằng 0,1".

Xác suất thành công phải KHÔNG ĐỔI qua các lần thử, nếu không thì biến không còn là nhị thức.

Đây chính là bẫy của dạng đề về trò chơi bài: nếu người chơi càng chơi càng giỏi, hoặc mức độ khó thay đổi theo ván, thì $p$ dao động từ ván này sang ván khác và số ván thắng không tuân theo phân phối nhị thức nữa. Thí sinh thường chỉ kiểm tra "hai kết quả" và "độc lập" rồi kết luận vội. Bốn điều kiện cần kiểm đủ là: số lần thử cố định, mỗi lần thử chỉ có thành công hoặc thất bại, các lần thử độc lập, và xác suất thành công như nhau ở mọi lần thử — thiếu một điều kiện là mất trọn ý.

Độ lệch chuẩn của biến nhị thức là $\sqrt{np(1-p)}$, không phải $np(1-p)$.

Biểu thức $np(1-p)$ là phương sai; quên lấy căn bậc hai là lỗi cơ học phổ biến nhất ở phần này, và nó đặc biệt nguy hiểm trong bài toán ngược. Với trung bình $10$ và độ lệch chuẩn $3$, ta phải bình phương $3$ thành $9$ rồi mới lập phương trình $np(1-p) = 9$. Nếu đặt nhầm $np(1-p) = 3$ thì ra $p = 0{,}7$, một con số trông vẫn "hợp lý" nên máy chấm lẫn thí sinh đều khó phát hiện.

Số lần thử $n$ và số lần thành công $X$ là hai đại lượng khác nhau, đừng hoán đổi.

$n$ là hằng số do người thiết kế ấn định trước khi thu dữ liệu, còn $X$ là biến ngẫu nhiên nhận giá trị từ $0$ đến $n$. Sai lầm hay gặp là gọi "số ván chơi cho tới khi thắng ván đầu tiên" là biến nhị thức, trong khi đó mới là biến ngẫu nhiên hình học (geometric random variable) vì số lần thử không cố định. Một biến thể khác của lỗi này là lẫn $X$ với tỉ lệ thành công $\hat{p} = X/n$: hai biến có cùng thông tin nhưng trung bình và độ lệch chuẩn hoàn toàn khác nhau.

Muốn tìm $p$ từ trung bình và độ lệch chuẩn, hãy chia phương sai cho trung bình.

Vì $\mu = np$ và $\sigma^2 = np(1-p)$, tỉ số $\sigma^2/\mu = 1-p$ cho ngay giá trị cần tìm chỉ trong một phép chia. Với $\mu = 10$ và $\sigma = 3$ ta có $9/10 = 0{,}9$, suy ra $p = 0{,}1$ rồi $n = 10/0{,}1 = 100$. Mẹo này tiết kiệm được gần một phút ở phần trắc nghiệm và tránh sai dấu khi khai triển phương trình bậc hai.

Diễn giải con số phải nêu đủ: giá trị, đơn vị/cá thể, và bối cảnh.

Giám khảo không chấp nhận những câu trống rỗng kiểu "0,1 là xác suất thành công" vì chúng không cho thấy thí sinh hiểu "thành công" ở đây nghĩa là gì. Hãy viết trọn vẹn: "Xác suất một chiếc ghế được chọn ngẫu nhiên từ dây chuyền là ghế lỗi bằng 0,1." Quy tắc này áp dụng cho mọi câu hỏi diễn giải trong đề, không riêng phần nhị thức.

Trước khi dùng công thức nhị thức, viết $X \sim B(n, p)$ và kiểm tra điều kiện.

Ở phần tự luận, một dòng như "$X$ = số ghế lỗi, $X \sim B(100; 0{,}1)$, các ghế được chọn độc lập và xác suất lỗi không đổi" thường đáng trọn một ý thành phần. Nếu bài toán lấy mẫu không hoàn lại (sampling without replacement) từ một tổng thể hữu hạn, hãy nói thêm rằng mẫu nhỏ hơn 10% tổng thể nên tính độc lập vẫn chấp nhận được. Bỏ qua dòng khai báo này là cách mất điểm đáng tiếc nhất, vì phép tính phía sau có thể vẫn đúng hoàn toàn.