AP Statistics

kiểm định z một mẫu cho tỉ lệ

one-sample z-test for a proportion

Còn gọi: one-sample z-test for a proportion

Kiểm định z một mẫu cho tỉ lệ là thủ tục dùng tỉ lệ mẫu để kiểm tra một giả thuyết về tỉ lệ tổng thể chưa biết.

Khi cần biết tỉ lệ thật của một tổng thể có bằng giá trị giả định $p_0$ hay không, ta không thể khảo sát toàn bộ tổng thể mà chỉ dựa vào một mẫu ngẫu nhiên (random sample). Vì vậy, kiểm định z một mẫu cho tỉ lệ (one-sample z-test for a proportion) so sánh tỉ lệ mẫu $\hat p$ với $p_0$ rồi quy đổi khoảng cách đó thành số độ lệch chuẩn qua thống kê kiểm định $z=\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.$ Ở đây $n$ là cỡ mẫu, còn mẫu số là sai số chuẩn của $\hat p$ tính theo giả thuyết gốc, tức giả định $p_0$ đúng để suy ra độ biến thiên kỳ vọng của tỉ lệ mẫu.

Giá trị $z$ cho biết tỉ lệ mẫu quan sát được lệch giả thuyết gốc bao nhiêu lần sai số chuẩn, từ đó tra giá trị p trên phân phối chuẩn để quyết định bác bỏ hay không bác bỏ $H_0: p=p_0$ . Trước khi tính, cần kiểm tra ba điều kiện để $\hat p$ xấp xỉ phân phối chuẩn: mẫu được chọn ngẫu nhiên, cỡ mẫu không vượt quá 10% tổng thể nếu lấy mẫu không hoàn lại, và điều kiện số đếm lớn $np_0\ge 10$ , $n(1-p_0)\ge 10$ . Nếu một trong ba điều kiện này bị vi phạm thì kết luận rút ra không còn đáng tin, vì xấp xỉ chuẩn không còn phù hợp.

Khác với kiểm định trung bình dùng phân phối t vì phương sai tổng thể thường chưa biết, kiểm định tỉ lệ dùng thẳng phân phối chuẩn z vì phương sai của $\hat p$ đã được xác định hoàn toàn bởi $p_0$ dưới giả thuyết gốc. Do đó, công thức tính sai số chuẩn ở bước kiểm định khác với công thức dùng khi ước lượng khoảng, nơi $p_0$ được thay bằng chính $\hat p$ vì không còn giả thuyết nào để dựa vào. Sự khác biệt nhỏ nhưng quan trọng này chính là điểm học sinh dễ nhầm lẫn nhất khi chuyển từ bài toán ước lượng khoảng sang bài toán kiểm định giả thuyết.

Ký hiệuz, p̂, p₀, n

Trực giác: Giống như đo xem một đồng xu nghi ngờ bị lệch có thực sự khác đồng xu công bằng hay chỉ là dao động ngẫu nhiên khi tung nhiều lần.

Công thức

z=\htmlClass{fp-4}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\hat{p}-p_0}}{\htmlClass{fp-3}{\sqrt{\htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-1}{p_0(1-p_0)}}{n}}}}}}

dùng khi kiểm định giả thuyết về một tỉ lệ tổng thể duy nhất, với điều kiện mẫu ngẫu nhiên và cỡ mẫu đủ lớn sao cho $np_0 \ge 10$ và $n(1-p_0) \ge 10$ .

Trong đó

\hat{p}

tỉ lệ thành công quan sát được trong mẫu

p_0

tỉ lệ giả thuyết cần kiểm định, lấy từ

H_0

n

cỡ mẫu

z

thống kê kiểm định, so sánh với phân phối chuẩn tắc

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1933Jerzy NeymanEgon Pearson

Kiểm định này hình thành ở đầu thế kỷ 20, khi lý thuyết xác suất, phép xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức (normal approximation to the binomial) và việc hình thức hoá bài toán kiểm định giả thuyết gặp nhau; năm 1933, Jerzy Neyman và Egon Pearson dựng nên khung lý thuyết mà thủ tục này đang dùng. Nó trả lời câu hỏi: một tỉ lệ quan sát được trên mẫu có lệch khỏi tỉ lệ giả định của tổng thể nhiều đến mức không thể đổ cho ngẫu nhiên hay không.

Từ rất lâu trước khi thống kê hiện đại có công thức, các nhà khoa học đã vướng một câu hỏi nan giải: cần bao nhiêu bằng chứng thì mới được phép từ bỏ một niềm tin sẵn có? Kiểm định tỉ lệ ra đời chính từ mạch suy nghĩ đó. Khi người ta đếm số lần "thành công" trong một mẫu — số cử tri ủng hộ, số sản phẩm đạt chuẩn, số bệnh nhân khỏi bệnh — kết quả gần như không bao giờ trùng khít con số được nêu ra. Do đó cần một thủ tục chặt chẽ để tách phần chênh lệch do dao động lấy mẫu ra khỏi phần chênh lệch thật sự. Năm 1933, Neyman và Pearson đưa ra giả thuyết không (null hypothesis) và giả thuyết đối, cùng sai lầm loại I (Type I error) và loại II; nhờ đó thủ tục có được bộ khung quyết định mà đề thi vẫn yêu cầu trình bày cho đến ngày nay.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe rườm rà nhưng mỗi mảnh đều chỉ một chi tiết của bài toán. "Một mẫu" cho biết ta chỉ có duy nhất một nhóm dữ liệu đem so với một con số cho trước, khác với kiểm định hai mẫu vốn đặt hai tỉ lệ cạnh nhau. "Tỉ lệ" cho biết dữ liệu gốc là biến phân loại hai kết quả, nên đại lượng quan tâm là phần trăm "thành công" chứ không phải trung bình. Chữ "z" mới là phần đáng nói. Vì số lần thành công tuân theo phân phối nhị thức, mà phân phối này lại xấp xỉ được bằng phân phối chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn, nên thống kê kiểm định (test statistic) được chuẩn hoá về thang của phân phối chuẩn tắc — thang vẫn quen được ký hiệu bằng chữ $z$ : $z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ Tử số là khoảng cách giữa tỉ lệ mẫu $\hat p$ và tỉ lệ giả định $p_0$ , còn mẫu số là độ lệch chuẩn của $\hat p$ khi giả thuyết không đúng. Vì vậy $z$ đo xem khoảng cách ấy bằng bao nhiêu lần dao động thường thấy. Tên gọi, nói cách khác, chính là bản tóm tắt của công thức: một mẫu, dữ liệu tỉ lệ, kết luận đọc trên thang chuẩn.

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Giữ nguyên p̂ = 0,58 rồi kéo cỡ mẫu lên — đếm xem còn mẫu nào xa hơn

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Sai số chuẩn trong kiểm định phải tính bằng $p_0$ , không phải bằng $\hat p$ .

Điều kiện thành công–thất bại cũng kiểm bằng $p_0$ , không bằng $\hat p$ .

Giá trị p không phải xác suất giả thuyết không đúng.

Không bác bỏ $H_0$ không có nghĩa là $H_0$ đúng.

Chiều của giả thuyết đối quyết định cách tính giá trị p, và rất hay bị bỏ sót nhân đôi.

Mẹo phòng thi

Trình bày đủ bốn bước: nêu giả thuyết, chọn kiểm định và kiểm điều kiện, tính toán, kết luận có bối cảnh.

Viết tên kiểm định ra giấy: one-sample z-test for a proportion.

Nếu đề cho số lượng thành công, hãy đổi sang tỉ lệ trước khi thay vào công thức.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một hãng nước giải khát tin rằng chỉ 35% người tiêu dùng trong thành phố nhận ra được logo mới của hãng. Sau một chiến dịch quảng cáo kéo dài ba tháng, bộ phận tiếp thị lấy một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 người tiêu dùng trong thành phố và thấy có 82 người nhận ra logo. Thành phố có hơn 500 000 người tiêu dùng. Hãng muốn biết liệu chiến dịch có làm tỉ lệ nhận diện tăng lên trên 35% hay không, với mức ý nghĩa

\alpha = 0{,}05

aNêu cặp giả thuyết và kiểm tra các điều kiện cần thiết cho kiểm định.
bTính thống kê kiểm định và giá trị p.
cĐưa ra kết luận trong ngữ cảnh bài toán.
dTrong tình huống này, sai lầm loại I nghĩa là gì và hậu quả thực tế của nó ra sao?

1Bước 1: Gọi

p

là tỉ lệ thật của toàn bộ người tiêu dùng trong thành phố nhận ra logo mới sau chiến dịch. Giả thuyết không (null hypothesis) giữ nguyên con số cũ, còn giả thuyết đối nêu điều hãng nghi ngờ, nên ta viết

H_0: p = 0{,}35

và

H_a: p > 0{,}35

. Đây là kiểm định một phía vì hãng chỉ quan tâm đến khả năng tỉ lệ tăng; nếu tỉ lệ giảm thì chiến dịch cũng coi như thất bại và không cần bằng chứng thống kê để kết luận.

2Bước 2: Ba điều kiện phải được kiểm tra rõ ràng trước khi tính toán. Thứ nhất, mẫu gồm 200 người được chọn ngẫu nhiên nên thoả điều kiện ngẫu nhiên. Thứ hai,

200 \le 0{,}10 \times 500\,000

nên điều kiện 10% được thoả và các quan sát xem như độc lập. Thứ ba, ta kiểm tra điều kiện xấp xỉ chuẩn bằng chính

p_0

của giả thuyết không:

np_0 = 200(0{,}35) = 70

và

n(1-p_0) = 200(0{,}65) = 130

, cả hai đều lớn hơn 10. Nhờ đó phân bố mẫu của

\hat{p}

xấp xỉ chuẩn và ta được phép dùng phân phối

z

3Bước 3: Tỉ lệ mẫu là

\hat{p} = \dfrac{82}{200} = 0{,}41

. Độ lệch chuẩn (standard deviation) của phân bố mẫu được tính với

p_0 = 0{,}35

chứ không phải với

\hat{p}

, vì trong kiểm định ta luôn làm việc trong "thế giới giả định

H_0

đúng":

SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}35 \times 0{,}65}{200}} = \sqrt{0{,}0011375} \approx 0{,}0337.

Con số này cho biết nếu

H_0

đúng thì các tỉ lệ mẫu cỡ 200 sẽ dao động quanh 0,35 với biên độ điển hình khoảng 3,37 điểm phần trăm.

4Bước 4: Thống kê kiểm định (test statistic) đo xem

\hat{p}

cách

p_0

bao nhiêu lần độ lệch chuẩn đó:

z = \frac{\hat{p} - p_0}{SE} = \frac{0{,}41 - 0{,}35}{0{,}0337} \approx 1{,}78.

Vậy tỉ lệ quan sát được nằm cao hơn giá trị giả định khoảng 1,78 độ lệch chuẩn. Vì giả thuyết đối có dạng "lớn hơn", giá trị p (p-value) là diện tích đuôi phải:

P(Z > 1{,}78) \approx 0{,}0375

5Bước 5: So sánh

0{,}0375 < 0{,}05

, ta bác bỏ

H_0

. Cách diễn đạt an toàn trong bài thi là gắn con số với ý nghĩa của nó: nếu tỉ lệ nhận diện thật sự vẫn chỉ là 35%, thì xác suất thu được một mẫu 200 người có tỉ lệ từ 0,41 trở lên chỉ khoảng 3,75%. Một kết quả hiếm đến mức đó khiến ta nghi ngờ chính giả định ban đầu chứ không xem là may rủi.

6Bước 6: Sai lầm loại I (Type I error) xảy ra khi ta bác bỏ

H_0

trong lúc

H_0

thật sự đúng, tức là hãng kết luận chiến dịch đã nâng tỉ lệ nhận diện trong khi thực tế tỉ lệ vẫn đứng yên ở 35%. Hậu quả là hãng sẽ đổ thêm ngân sách vào một chiến dịch không hiệu quả. Xác suất mắc sai lầm này bằng đúng mức ý nghĩa đã chọn, tức 0,05.

Với $z \approx 1{,}78$ và giá trị p $\approx 0{,}0375 < \alpha = 0{,}05$ , ta bác bỏ $H_0$ . Có đủ bằng chứng thống kê để kết luận rằng tỉ lệ người tiêu dùng trong thành phố nhận ra logo mới sau chiến dịch quảng cáo lớn hơn 35%.

2Ví dụ 2/2

Một tài liệu y khoa cho rằng 10% dân số trưởng thành thuận tay trái. Một nhóm nghiên cứu nghi ngờ con số này không còn chính xác, nên khảo sát một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 người trưởng thành và ghi nhận 52 người thuận tay trái. Nhóm dùng mức ý nghĩa

\alpha = 0{,}05

aThực hiện kiểm định giả thuyết thích hợp và kết luận.
bXây dựng khoảng tin cậy 95% cho $p$ và giải thích vì sao khoảng này lại chứa giá trị 0,10 dù kiểm định ở ý (a) đã bác bỏ nó.

1Bước 1: Vì nhóm nghiên cứu chỉ nghi ngờ con số 10% "không còn chính xác" mà không nói rõ cao hơn hay thấp hơn, đây là kiểm định hai phía:

H_0: p = 0{,}10

và

H_a: p \neq 0{,}10

, với

p

là tỉ lệ người trưởng thành thuận tay trái trong dân số. Mẫu được lấy ngẫu nhiên, cỡ mẫu 400 chắc chắn nhỏ hơn 10% dân số trưởng thành, và

np_0 = 40

n(1-p_0) = 360

đều vượt 10. Do đó mọi điều kiện đều thoả và ta tiến hành kiểm định

z

2Bước 2: Ta có

\hat{p} = \dfrac{52}{400} = 0{,}13

và

SE = \sqrt{\frac{0{,}10 \times 0{,}90}{400}} = \sqrt{0{,}000225} = 0{,}015,

nên

z = \frac{0{,}13 - 0{,}10}{0{,}015} = 2{,}00.

Tỉ lệ mẫu nằm cao hơn giá trị giả định đúng 2 độ lệch chuẩn. Vì kiểm định hai phía, giá trị p phải gộp cả hai đuôi:

2 \times P(Z > 2{,}00) = 2(0{,}0228) = 0{,}0456

3Bước 3: So sánh

0{,}0456 < 0{,}05

, ta bác bỏ

H_0

và kết luận rằng có bằng chứng cho thấy tỉ lệ người thuận tay trái khác 10%. Lưu ý rằng kết luận chỉ dừng ở chữ "khác", nhưng vì

\hat{p} > p_0

nên trên thực tế dữ liệu nghiêng về phía tỉ lệ cao hơn 10%.

4Bước 4: Sang ý (b), khoảng tin cậy (confidence interval) không có giả thuyết nào để dựa vào, nên sai số chuẩn phải tính từ chính dữ liệu:

SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0{,}13 \times 0{,}87}{400}} \approx 0{,}0168.

Với

z^* = 1{,}96

, biên sai số là

1{,}96 \times 0{,}0168 \approx 0{,}0330

, và khoảng tin cậy 95% là

0{,}13 \pm 0{,}0330

, tức xấp xỉ

(0{,}097;\ 0{,}163)

5Bước 5: Khoảng này có chứa 0,10, trong khi kiểm định lại bác bỏ

p = 0{,}10

— thoạt nhìn có vẻ mâu thuẫn. Nguyên nhân nằm ở mẫu số: kiểm định dùng

\sqrt{p_0(1-p_0)/n} = 0{,}0150

, còn khoảng tin cậy dùng

\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = 0{,}0168

, và sai số chuẩn lớn hơn thì khoảng rộng hơn. Vì giá trị p rơi rất sát mức 0,05, chỉ một chênh lệch nhỏ như vậy cũng đủ làm hai phương pháp cho hai câu trả lời khác nhau. Vì vậy, khi đề yêu cầu kiểm định giả thuyết thì phải kết luận bằng giá trị p, không được thay thế bằng việc xem khoảng tin cậy có chứa

p_0

hay không.

Với $z = 2{,}00$ và giá trị p $\approx 0{,}0456 < 0{,}05$ , ta bác bỏ $H_0$ : có bằng chứng thống kê cho thấy tỉ lệ người trưởng thành thuận tay trái khác 10%, cụ thể là cao hơn. Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ này là khoảng từ 0,097 đến 0,163; việc nó vẫn chứa 0,10 là do khoảng tin cậy dùng $\hat{p}$ thay cho $p_0$ khi tính sai số chuẩn, chứ không phải do tính toán sai.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyThiết lập kiểm định cho tỉ lệ tổng thểSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyThực hiện kiểm định tỉ lệ một mẫuSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyGiá trị p (p-value)Suy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics

Cần trướctỉ lệ giả thuyết không phân phối mẫu (của một thống kê)

Dẫn tớikiểm định giả thuyết

Liên quanp-value

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

kiểm định z hai mẫu cho hiệu hai tỉ lệ (two-sample z-test for a difference in proportions)two-sample z-test for a difference in proportions

Khác nhau ở đâuKiểm định một mẫu so tỉ lệ của một nhóm với một con số cho trước. Kiểm định hai mẫu so tỉ lệ của hai nhóm độc lập với nhau.

Hay nhầm khiĐề cho hai nhóm nhưng chỉ hỏi về một nhóm so với chuẩn công bố, thí sinh vội dùng công thức hai mẫu.

kiểm định t (t test)t test

Khác nhau ở đâuKiểm định z cho tỉ lệ dùng với dữ liệu phân loại đếm số lần thành công. Kiểm định t dùng với dữ liệu định lượng khi suy luận về trung bình.

Hay nhầm khiĐề cho phần trăm người trả lời 'có', thí sinh nhầm thành số liệu trung bình và chọn kiểm định t.