AP Statistics

đối thuyết hai phía

two-sided alternative

Đối thuyết hai phía là giả thuyết cho rằng tham số tổng thể khác giá trị giả thuyết ban đầu, có thể theo cả hai hướng lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

Khi kiểm định một giả thuyết thống kê, nhà nghiên cứu cần xác định hướng của sai khác mà họ quan tâm. Nếu câu hỏi nghiên cứu chỉ hỏi "có khác không" thay vì "lớn hơn hay nhỏ hơn", ta dùng đối thuyết hai phía (two-sided alternative). Giả thuyết này phát biểu rằng tham số tổng thể khác giá trị được nêu trong giả thuyết không, bất kể sai khác đó theo hướng nào.

Về mặt ký hiệu, nếu giả thuyết không là $H_0: p = p_0$ hoặc $H_0: \mu = \mu_0$ , thì đối thuyết hai phía được viết là $H_a: p \neq p_0$ hoặc $H_a: \mu \neq \mu_0$ . Do đó, giá trị p (p-value) trong kiểm định hai phía được tính bằng tổng xác suất ở cả hai đuôi của phân phối mẫu, phản ánh khả năng quan sát được thống kê kiểm định cực đoan theo bất kỳ hướng nào. Vì vậy, khi phân phối mẫu đối xứng, giá trị p của kiểm định hai phía thường gấp đôi giá trị p của kiểm định một phía tương ứng.

Nhờ đó, kiểm định hai phía thận trọng hơn kiểm định một phía vì nó yêu cầu bằng chứng mạnh hơn để bác bỏ giả thuyết không. Tuy nhiên, sự thận trọng này đi kèm với việc giảm năng lực kiểm định, nghĩa là khả năng phát hiện sai khác thực sự khi nó tồn tại. Ngược lại, kiểm định một phía chỉ phù hợp khi nhà nghiên cứu có lý do rõ ràng để quan tâm đến một hướng sai khác duy nhất trước khi thu thập dữ liệu.

Ký hiệu

H_a: p \neq p_0

hoặc

H_a: \mu \neq \mu_0

Trực giác: Giống như khi bạn nghi ngờ đồng xu không cân bằng, bạn không biết nó sẽ ngửa nhiều hơn hay sấp nhiều hơn, chỉ biết nó không công bằng.

Công thức

H_a\!:\; \theta \neq \theta_0

Dùng khi muốn phát hiện sai khác theo cả hai hướng — tham số có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị giả định, không chỉ một chiều.

Trong đó

\theta

tham số tổng thể cần kiểm định (trung bình, tỉ lệ, …)

\theta_0

giá trị cụ thể do thuyết không (null hypothesis) nêu ra

H_a

đối thuyết (alternative hypothesis)

p = \htmlClass{fp-2}{2 \cdot \htmlClass{fp-1}{P\!\left(T \geq \htmlClass{fp-0}{|t|} \;\middle|\; H_0\right)}}

Dùng khi kiểm định hai phía với phân phối kiểm định đối xứng (z hoặc t). Giá trị p là tổng xác suất hai đuôi; nếu p nhỏ hơn mức ý nghĩa α, ta bác bỏ thuyết không.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Jerzy NeymanEgon Pearson

Khái niệm giả thuyết đối (alternative hypothesis), mà đối thuyết hai phía là một dạng của nó, do Jerzy Neyman và Egon Pearson đưa ra và trở thành trụ cột của kiểm định giả thuyết hiện đại. Nó dùng để phát biểu khả năng tham số khác giá trị giả định theo cả hai chiều, lớn hơn lẫn nhỏ hơn.

Trong cách làm của Ronald Fisher, người kiểm định chỉ hỏi một câu duy nhất: dữ liệu quan sát được có thể sinh ra do ngẫu nhiên hay không nếu giả thuyết không đúng, mà không cần hình dung trước một mô hình cạnh tranh nào. Neyman và Pearson thấy cách đặt vấn đề đó chưa đủ để chọn giữa hai lối hành động, nên họ bổ sung một phát biểu đối lập rõ ràng và xây dựng bổ đề Neyman–Pearson (Neyman–Pearson lemma) trên nền đó. Fisher phản đối việc dùng nó, nhưng chính nhờ giả thuyết đối mà người ta phân biệt được kiểm định một phía với kiểm định hai phía, và biết miền bác bỏ nên đặt ở đâu.

Thử nghiệm tương tác

Đổi dạng đối thuyết rồi kéo thống kê qua lại — nhìn vùng đuôi nhảy chỗ

Hay hiểu sai

Không được chọn chiều của đối thuyết sau khi đã nhìn dữ liệu.

Giá trị p của kiểm định hai phía gấp đôi giá trị p một phía.

Giả thuyết không luôn viết bằng dấu bằng, kể cả khi đối thuyết hai phía.

Bác bỏ giả thuyết không ở kiểm định hai phía chưa nói được chiều lệch.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một dây chuyền tự động rót nước khoáng vào chai có nhãn ghi 500 ml. Kỹ sư vận hành lo ngại dây chuyền bị lệch chuẩn: rót thiếu thì khách hàng thiệt, rót thừa thì nhà máy tốn nguyên liệu, nên bất kỳ sai lệch nào theo hướng nào cũng buộc phải dừng máy hiệu chỉnh. Người ta lấy ngẫu nhiên 25 chai từ ca sản xuất và đo được thể tích trung bình mẫu

\bar{x} = 497{,}4

ml với độ lệch chuẩn mẫu

s = 6{,}0

ml. Đồ thị chuẩn hoá của mẫu gần thẳng và không có giá trị ngoại lai (outlier), 25 chai được lấy ngẫu nhiên từ một ca sản xuất hàng chục nghìn chai. Kiểm định ở mức ý nghĩa

\alpha = 0{,}05

aViết cặp giả thuyết cho bài toán và giải thích vì sao đối thuyết ở đây phải là hai phía chứ không phải một phía.
bTính thống kê kiểm định, tìm giá trị p tương ứng và nêu kết luận trong ngữ cảnh.
cLập khoảng tin cậy 95% cho thể tích trung bình thật và chỉ ra kết quả này ăn khớp với kết luận ở ý (b) như thế nào.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Thiết lập kiểm định cho tỉ lệ tổng thể” — khoá AP Statistics

Cần trướcgiả thuyết đối

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

giả thuyết đối một phía (one-sided alternative)one-sided alternative

Khác nhau ở đâuĐối thuyết hai phía dùng dấu “khác” (≠) nên vùng bác bỏ nằm ở cả hai đuôi, trong khi giả thuyết đối một phía dùng dấu < hoặc > nên chỉ xét một đuôi.

Hay nhầm khiThí sinh hay nhầm khi đề hỏi “có khác biệt” nhưng lại chọn kiểm định một phía, hoặc khi đề hỏi “cao hơn” nhưng lại dùng đối thuyết hai phía.

1Bước 1: Gọi

\mu

là thể tích trung bình thật của mọi chai do dây chuyền rót ra trong ca sản xuất. Giả thuyết không (null hypothesis) khẳng định máy vẫn đúng chuẩn, còn đối thuyết phải mở về cả hai hướng vì kỹ sư sẽ can thiệp dù máy rót thiếu hay rót thừa:

H_0: \mu = 500 \qquad H_a: \mu \ne 500

Dấu

\ne

chính là hình thức của đối thuyết hai phía: nó gom cả trường hợp

\mu < 500

lẫn

\mu > 500

vào một mệnh đề duy nhất. Nếu chỉ viết

H_a: \mu < 500

thì ta đã ngầm tuyên bố rằng máy rót thừa là chuyện không đáng bận tâm, điều này mâu thuẫn với bối cảnh đề bài.

2Bước 2: Kiểm tra điều kiện trước khi tính. Mẫu được lấy ngẫu nhiên nên tính độc lập giữa các quan sát được bảo đảm; cỡ mẫu 25 nhỏ hơn 10% tổng số chai của ca sản xuất; đồ thị chuẩn hoá gần thẳng và không có giá trị ngoại lai nên giả định phân phối chuẩn của tổng thể là hợp lý với

n = 25

. Do đó dùng được kiểm định

t

một mẫu với

df = n - 1 = 24

3Bước 3: Sai số chuẩn của trung bình mẫu là

s/\sqrt{n} = 6{,}0/\sqrt{25} = 1{,}2

ml, và thống kê kiểm định (test statistic) bằng

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{497{,}4 - 500}{1{,}2} = -2{,}167

Con số này cho biết trung bình mẫu nằm thấp hơn giá trị 500 ml khoảng 2,17 sai số chuẩn.

4Bước 4: Vì đối thuyết mở về hai hướng, giá trị p (p-value) phải gom cả hai đuôi của phân phối

t

chứ không chỉ đuôi trái:

p = 2 \cdot P(T_{24} \le -2{,}167) \approx 2(0{,}0203) \approx 0{,}041

Tra bảng cũng cho kết quả nhất quán:

2{,}064 < 2{,}167 < 2{,}492

nên diện tích một đuôi nằm giữa 0,01 và 0,025, kéo theo giá trị p hai phía nằm giữa 0,02 và 0,05. Đây là chỗ học sinh hay mất điểm nhất — quên nhân đôi thì giá trị p bị khai báo còn một nửa, và kết luận có thể vẫn đúng nhưng lập luận thì sai.

5Bước 5: So sánh

p \approx 0{,}041 < \alpha = 0{,}05

, ta bác bỏ

H_0

. Có bằng chứng thống kê thuyết phục rằng thể tích trung bình thật của các chai khác 500 ml; cụ thể trong mẫu này máy đang rót thiếu, nên dây chuyền cần được dừng lại để hiệu chỉnh.

6Bước 6: Với

df = 24

và độ tin cậy 95%, giá trị tới hạn là

t^{*} = 2{,}064

, nên khoảng tin cậy (confidence interval) cho

\mu

là

497{,}4 \pm 2{,}064(1{,}2) = 497{,}4 \pm 2{,}477 \Rightarrow (494{,}92;\ 499{,}88)

Khoảng này chứa những giá trị

\mu

mà dữ liệu xem là hợp lý, và 500 ml nằm ngoài khoảng đó. Kết quả ăn khớp hoàn toàn với ý (b): khoảng tin cậy hai phía ở mức

C = 1 - \alpha

luôn cho cùng quyết định với kiểm định hai phía ở mức

\alpha

. Chính vì đối thuyết là hai phía nên mối liên hệ này mới thành lập; với đối thuyết một phía thì không thể đối chiếu trực tiếp như vậy.

2Ví dụ 2/2

Một trường muốn so sánh hai cách dạy phần xác suất. Nhóm A gồm 120 học sinh học theo phương pháp dự án, có 78 em đạt yêu cầu ở bài kiểm tra cuối chương; nhóm B gồm 130 học sinh học theo phương pháp truyền thống, có 70 em đạt yêu cầu. Học sinh được phân ngẫu nhiên vào hai nhóm. Ban chuyên môn tuyên bố ngay từ đầu rằng họ chỉ muốn biết hai phương pháp có cho tỉ lệ đạt khác nhau hay không, chứ chưa hề khẳng định phương pháp nào tốt hơn. Kiểm định ở mức ý nghĩa

\alpha = 0{,}05

aThực hiện kiểm định thích hợp và nêu kết luận trong ngữ cảnh.
bMột thành viên trong ban nhìn thấy nhóm A có tỉ lệ đạt cao hơn rồi đề nghị đổi sang đối thuyết một phía để "kết luận cho dứt khoát". Hãy nhận xét về đề nghị này.

1Bước 1: Gọi

p_A

và

p_B

lần lượt là tỉ lệ đạt yêu cầu thật của hai phương pháp. Vì ban chuyên môn chỉ hỏi "có khác nhau hay không", đối thuyết phải mở về hai hướng:

H_0: p_A - p_B = 0 \qquad H_a: p_A - p_B \ne 0

Hai nhóm được phân ngẫu nhiên nên độc lập với nhau; các số đếm thành công và thất bại là

78

42

70

60

đều lớn hơn 10, nên phân phối mẫu của hiệu hai tỉ lệ xấp xỉ chuẩn.

2Bước 2: Tính các tỉ lệ mẫu:

\hat{p}_A = 78/120 = 0{,}650

và

\hat{p}_B = 70/130 = 0{,}5385

, nên

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0{,}1115

. Vì

H_0

giả định hai tỉ lệ bằng nhau, ta gộp dữ liệu để ước lượng tỉ lệ chung:

\hat{p}_c = \frac{78 + 70}{120 + 130} = \frac{148}{250} = 0{,}592

Con số 0,592 là ước lượng tốt nhất cho tỉ lệ đạt chung nếu giả thuyết không đúng.

3Bước 3: Sai số chuẩn gộp và thống kê kiểm định lần lượt bằng

SE = \sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)\left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)} = \sqrt{0{,}592(0{,}408)(0{,}016026)} \approx 0{,}0622

z = \frac{0{,}1115}{0{,}0622} \approx 1{,}79

Hiệu hai tỉ lệ mẫu cách 0 khoảng 1,79 sai số chuẩn.

4Bước 4: Đối thuyết hai phía buộc ta cộng cả hai đuôi:

p = 2 \cdot P(Z \ge 1{,}79) = 2(0{,}0367) \approx 0{,}073

Vì

0{,}073 > 0{,}05

, ta không bác bỏ

H_0

. Dữ liệu chưa cung cấp đủ bằng chứng để kết luận rằng tỉ lệ đạt yêu cầu của hai phương pháp dạy khác nhau. Lưu ý rằng "không bác bỏ" không có nghĩa là hai phương pháp như nhau; nó chỉ nói rằng chênh lệch quan sát được vẫn nằm trong mức dao động ngẫu nhiên thông thường.

5Bước 5: Đề nghị ở ý (b) là sai về nguyên tắc. Nếu đổi sang

H_a: p_A - p_B > 0

thì giá trị p tụt xuống còn 0,0367 và ta sẽ bác bỏ được

H_0

— nghe có vẻ "dứt khoát" hơn thật, nhưng hướng của đối thuyết đã được chọn sau khi nhìn dữ liệu. Làm như vậy, xác suất mắc sai lầm loại I (Type I error) thực tế lớn gấp đôi mức 0,05 đã cam kết, vì ta đã tự cho mình quyền quay đối thuyết về phía nào có lợi. Do đó hướng của đối thuyết phải được ấn định từ câu hỏi nghiên cứu ban đầu, và ở đây câu hỏi "có khác nhau hay không" chỉ dẫn tới đối thuyết hai phía.

Với $z \approx 1{,}79$ và giá trị p hai phía $\approx 0{,}073 > 0{,}05$ , ta không bác bỏ giả thuyết không: chưa đủ bằng chứng thuyết phục để kết luận hai phương pháp dạy cho tỉ lệ đạt yêu cầu khác nhau. Không được đổi sang đối thuyết một phía sau khi đã thấy nhóm A trội hơn, vì việc chọn hướng dựa trên dữ liệu làm mức ý nghĩa thực tế phình lên gấp đôi và kết luận mất giá trị.