AP Statistics

phép ước lượng

estimation

Phép ước lượng (estimation) là quá trình dùng thông tin từ mẫu để suy ra giá trị của một tham số chưa biết trong tổng thể.

Trong thực tế, người nghiên cứu hầu như không bao giờ biết chính xác các tham số (parameter) của tổng thể — chẳng hạn trung bình hay tỉ lệ thật sự — vì việc khảo sát toàn bộ tổng thể thường quá tốn kém hoặc không khả thi. Do đó, họ thu thập một mẫu ngẫu nhiên (random sample) rồi dùng các thống kê (statistic) từ mẫu đó để xấp xỉ tham số cần tìm. Quá trình này được gọi là phép ước lượng, và nó là nền tảng để suy luận về tổng thể từ dữ liệu hạn chế.

Phép ước lượng có hai dạng chính. Dạng thứ nhất là ước lượng điểm (point estimate), tức dùng một con số duy nhất — chẳng hạn trung bình mẫu $\bar{x}$ hay tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ — làm giá trị đại diện cho tham số tổng thể. Ngược lại, dạng thứ hai là ước lượng khoảng: thay vì một điểm, ta xây dựng một khoảng giá trị có dạng $\text{ước lượng điểm} \pm \text{sai số biên}$ , trong đó sai số biên phụ thuộc vào giá trị tới hạn $z^*$ hoặc $t^*$ và độ lệch chuẩn của thống kê mẫu. Khoảng này được gọi là khoảng tin cậy và đi kèm với một mức độ tin cậy (confidence level) — thường là 90%, 95% hoặc 99% — cho biết tỉ lệ các khoảng được tạo ra theo cách này, về lâu dài, sẽ bao chứa tham số thật.

Chất lượng của phép ước lượng phụ thuộc vào hai yếu tố then chốt. Một mặt, ước lượng cần không chệch, nghĩa là kỳ vọng của thống kê mẫu phải bằng chính tham số cần ước lượng. Mặt khác, ước lượng cần có phương sai nhỏ, tức là các giá trị thu được qua nhiều mẫu khác nhau phải tập trung gần tham số thật. Vì vậy, tăng cỡ mẫu $n$ là cách phổ biến nhất để thu hẹp sai số biên và nâng cao độ chính xác, vì sai số biên tỉ lệ nghịch với $\sqrt{n}$ .

Ký hiệu

• $\bar{x}$ (trung bình mẫu ước lượng cho $\mu$ )
• $\hat{p}$ (tỉ lệ mẫu ước lượng cho $p$ )
• $\bar{x} \pm z^* \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (khoảng tin cậy khi biết $\sigma$ )

Trực giác: Ước lượng giống như nếm một muỗng canh để biết độ mặn của cả nồi: bạn không ăn hết nồi canh, nhưng từ một muỗng đại diện có thể suy ra giá trị của toàn bộ.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{\hat{\theta}} \approx \htmlClass{fp-1}{\theta}

Dùng khi cần diễn đạt ý tưởng nền tảng: một thống kê từ mẫu (ước lượng điểm) xấp xỉ tham số chưa biết của tổng thể.

Trong đó

\hat{\theta}

ước lượng điểm (point estimate) — giá trị tính từ mẫu, ví dụ

\bar{x}

hay

\hat{p}

\theta

tham số tổng thể cần ước lượng, ví dụ

\mu

hay

p

\htmlClass{fp-0}{\hat{\theta}} \pm \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{z^*} \cdot SE(\hat{\theta})}

Dùng để xây dựng ước lượng khoảng (interval estimate) cho tham số tổng thể; áp dụng khi mẫu đủ lớn hoặc tổng thể phân phối chuẩn.

Trong đó

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1922R. A. Fisher

Thuật ngữ "estimation" trong nghĩa thống kê hiện đại được R. A. Fisher đưa ra năm 1922, trong bài báo "On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics", để gọi tên lớp bài toán suy ra giá trị tham số của tổng thể từ một mẫu ngẫu nhiên.

Đầu thế kỷ 20, thống kê đã có sẵn rất nhiều công thức tính toán trên mẫu, nhưng chưa có một khung lý thuyết thống nhất trả lời câu hỏi: rốt cuộc ta đang dùng con số tính từ mẫu để làm gì. Năm 1922, Fisher tách bạch vấn đề và đặt tên cho nó, viết rằng các bài toán ước lượng là những bài toán đòi hỏi phải ước lượng giá trị của một hoặc nhiều tham số tổng thể (population parameter) từ một mẫu ngẫu nhiên. Nhờ cách đặt vấn đề đó, ông xây dựng luôn bộ tiêu chuẩn để so sánh các cách ước lượng khác nhau, đồng thời gọi tên và cổ vũ phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (maximum likelihood estimation).

Thử nghiệm tương tác

Rút một mẫu, đọc con số nó cho — rồi vén màn xem bạn trượt bao xa

Hay hiểu sai

Khoảng tin cậy 95% không nói xác suất tham số rơi vào khoảng đó là 0,95.

Ta ước lượng tham số của tổng thể, không ước lượng thống kê của mẫu.

Sai số chuẩn không phải độ lệch chuẩn của dữ liệu.

Biên sai số chỉ tính đến biến động lấy mẫu, không bù được sai lệch do thiết kế.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một khu bảo tồn muốn biết đàn linh dương springbok trong khu hiện có bao nhiêu con. Các nhà nghiên cứu bắt ngẫu nhiên 120 con, gắn thẻ dây vào tai rồi thả về đàn và chờ đủ lâu để chúng hòa lẫn trở lại. Sau đó họ bắt ngẫu nhiên một mẫu thứ hai gồm 200 con và dùng thiết bị dò tìm để đếm số con có thẻ, kết quả là 24 con. Giả thiết ban đầu của phương pháp bắt–thả–bắt lại (capture–recapture) là đàn linh dương khép kín: trong suốt thời gian khảo sát không có con nào chết đi, sinh ra hay rời khỏi khu bảo tồn.

aHãy ước lượng số linh dương trong khu bảo tồn và nêu rõ đại lượng nào là ước lượng, đại lượng nào là tham số cần tìm.
bGiả sử một số con đã gắn thẻ bị thợ săn bắn hoặc thoát ra ngoài khu bảo tồn trước khi kịp hòa lại với đàn. Điều này khiến kết quả ước lượng thấp hơn hay cao hơn số thật? Giải thích.
cGiả sử thiết bị dò bỏ sót một số thẻ dây trên những con thuộc mẫu thứ hai. Điều này khiến kết quả ước lượng thấp hơn hay cao hơn số thật? Giải thích.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Ước lượng điểm — chệch & không chệch” — khoá AP Statistics

Cần trướctham số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

kiểm định giả thuyếthypothesis testing

Khác nhau ở đâuPhép ước lượng tìm giá trị có khả năng đúng nhất của tham số, còn kiểm định giả thuyết đánh giá một tuyên bố cụ thể về tham số đó

Hay nhầm khiđề yêu cầu xây dựng khoảng tin cậy nhưng học sinh lại viết giả thuyết không và đối thuyết

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 531, 790.

1Bước 1: Gọi

N

là số linh dương thật sự trong khu bảo tồn, tức tham số ta muốn biết nhưng không đếm trực tiếp được. Sau lần bắt đầu tiên, trong đàn có đúng

M = 120

con mang thẻ, nên tỉ lệ mang thẻ của cả đàn là

M/N

. Ý tưởng của phép ước lượng là: nếu mẫu thứ hai được lấy ngẫu nhiên thì tỉ lệ mang thẻ trong mẫu phải xấp xỉ tỉ lệ mang thẻ của cả đàn.

2Bước 2: Tỉ lệ mang thẻ quan sát được trong mẫu thứ hai là

\hat{p} = 24/200 = 0{,}12

. Đặt hai tỉ lệ xấp xỉ bằng nhau ta có

\dfrac{120}{N} \approx 0{,}12

, do đó

\hat{N} = \frac{M \cdot n}{m} = \frac{120 \times 200}{24} = 1000.

Trong công thức này

n

là cỡ mẫu thứ hai và

m

là số con có thẻ bắt lại được; kết quả nói rằng đàn linh dương vào khoảng 1000 con.

3Bước 3: Con số 1000 là một ước lượng điểm (point estimate) cho

N

: nó là giá trị tính từ dữ liệu mẫu, còn

N

là con số cố định nhưng chưa biết của cả đàn. Nếu lấy một mẫu thứ hai khác, ta gần như chắc chắn sẽ nhận được một con số khác 1000, vì vậy phải hiểu đây là điểm rơi hợp lý nhất chứ không phải đáp số chính xác.

4Bước 4: Với ý (b), những con mang thẻ bị bắn hoặc thoát ra ngoài sẽ không còn cơ hội xuất hiện trong mẫu thứ hai. Số bắt lại

m

vì thế nhỏ hơn mức lẽ ra phải có, trong khi

M = 120

và

n = 200

ở tử số vẫn giữ nguyên. Vì

m

nằm ở mẫu số của

\hat{N} = Mn/m

, mẫu số nhỏ đi làm thương số lớn lên, nên phép ước lượng cho kết quả cao hơn số thật — một ước lượng chệch (biased estimate) theo hướng thừa.

5Bước 5: Ý (c) dẫn tới cùng một hệ quả nhưng theo con đường khác. Ở đây những con mang thẻ vẫn có mặt trong mẫu, chỉ là thiết bị không nhận ra chúng nên chúng bị ghi nhầm thành con không thẻ. Giá trị

m

ghi lại lại nhỏ hơn thực tế một lần nữa, và theo đúng lập luận ở Bước 4,

\hat{N}

bị đẩy lên cao hơn số linh dương thật.

2Ví dụ 2/2

Một dây chuyền tự động rót cà phê hòa tan vào các gói với khối lượng danh nghĩa 28 gam mỗi gói. Bộ phận kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 30 gói trong ca sản xuất và cân từng gói, thu được khối lượng trung bình mẫu

\bar{x} = 28{,}5

gam và độ lệch chuẩn mẫu

s = 1{,}2

gam. Đồ thị hộp và biểu đồ xác suất chuẩn của 30 giá trị này không cho thấy dấu hiệu lệch mạnh hay giá trị ngoại lai (outlier) nào, và số gói sản xuất trong ca lớn hơn 300 gói rất nhiều.

aHãy lập ước lượng khoảng 95% cho khối lượng trung bình thật sự của các gói cà phê trong ca sản xuất này.
bDiễn giải ý nghĩa của khoảng vừa tìm được trong ngữ cảnh bài toán.
cNhà máy muốn biên sai số chỉ còn khoảng một nửa giá trị hiện tại mà vẫn giữ mức tin cậy 95%. Cần lấy mẫu cỡ bao nhiêu?

1Bước 1: Trước hết phải kiểm tra ba điều kiện quen thuộc cho ước lượng trung bình. Mẫu được lấy ngẫu nhiên nên dữ liệu đại diện cho ca sản xuất; đồ thị không cho thấy lệch mạnh hay giá trị bất thường nên phân bố mẫu đủ gần đối xứng để dùng phân phối

t

với

n = 30

; và vì tổng số gói lớn hơn

10 \times 30 = 300

nên các quan sát coi như độc lập. Đủ điều kiện, ta tiến hành tính toán.

2Bước 2: Ước lượng điểm cho trung bình của cả ca chính là

\bar{x} = 28{,}5

gam. Sai số chuẩn của trung bình mẫu là

SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1{,}2}{\sqrt{30}} \approx 0{,}219,

nghĩa là trung bình mẫu tính từ 30 gói thường lệch khỏi trung bình thật khoảng 0,219 gam.

3Bước 3: Với

df = n - 1 = 29

và mức tin cậy 95%, giá trị tới hạn là

t^{*} = 2{,}045

. Biên sai số (margin of error) bằng

ME = t^{*} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}045 \times 0{,}219 \approx 0{,}448.

Vậy khoảng tin cậy (confidence interval) là

28{,}5 \pm 0{,}448

, tức từ khoảng 28,052 gam đến khoảng 28,948 gam.

4Bước 4: Khi diễn giải, phải nói về trung bình của cả ca chứ không phải về một gói riêng lẻ hay về chính

\bar{x}

: ta tin cậy 95% rằng khối lượng trung bình thật của mọi gói cà phê trong ca sản xuất này nằm trong khoảng từ 28,052 gam đến 28,948 gam. Mức 95% mô tả độ tin cậy của quy trình lập khoảng, tức nếu lặp lại việc lấy mẫu và lập khoảng rất nhiều lần thì khoảng 95% số khoảng sẽ chứa trung bình thật. Ngược lại, nói "xác suất trung bình thật nằm trong (28,052; 28,948) là 0,95" là sai, vì trung bình thật là một số cố định, hoặc nó ở trong khoảng, hoặc không.

5Bước 5: Ở ý (c), hãy nhìn vào vị trí của

n

trong công thức biên sai số:

n

nằm dưới dấu căn, nên muốn chia

ME

cho 2 ta phải nhân

n

với

2^{2} = 4

. Do đó cỡ mẫu cần dùng là

n = 4 \times 30 = 120

gói. Kiểm tra lại: với

df = 119

thì

t^{*} \approx 1{,}980

và

ME = 1{,}980 \times 1{,}2/\sqrt{120} \approx 0{,}217

, đúng là xấp xỉ một nửa của 0,448 — thậm chí nhỏ hơn chút ít vì cỡ mẫu lớn làm

t^{*}

giảm theo.

Ước lượng khoảng 95% cho khối lượng trung bình của các gói cà phê trong ca sản xuất là từ 28,052 gam đến 28,948 gam. Vì cả khoảng này đều nằm trên mức danh nghĩa 28 gam, có bằng chứng cho thấy dây chuyền đang rót hơi dư so với thiết kế. Nếu muốn biên sai số chỉ còn một nửa mà vẫn giữ mức tin cậy 95%, nhà máy phải lấy mẫu gấp bốn lần, tức khoảng 120 gói mỗi lần kiểm tra.