Đang tải bài học…

AP Statistics

ranh giới lớp

class boundaries

Còn gọi: boundary

Ranh giới lớp là giá trị nằm giữa giới hạn trên của một lớp và giới hạn dưới của lớp kế tiếp, giúp các lớp liền nhau không còn khe hở.

Khi xây dựng bảng phân phối tần số ghép nhóm từ dữ liệu đã làm tròn, ta thường gặp vấn đề: một giá trị như 19.6 sẽ rơi vào khe hở giữa lớp 10–19 và lớp 20–29, không rõ thuộc về lớp nào. Ranh giới lớp (class boundary) giải quyết vấn đề này bằng cách tạo ra các đường phân chia liên tục, sao cho không còn khoảng trống giữa hai lớp kề nhau. Do đó, mọi quan sát đều được gán vào đúng một lớp duy nhất trước khi dữ liệu bị làm tròn.

Về mặt tính toán, mỗi ranh giới lớp được xác định bằng trung bình cộng của giới hạn trên lớp này và giới hạn dưới lớp kế tiếp: $B = \frac{U_i + L_{i+1}}{2}$ , trong đó $U_i$ là giới hạn trên của lớp thứ $i$ và $L_{i+1}$ là giới hạn dưới của lớp thứ $i+1$ . Chẳng hạn, với các lớp 10–19, 20–29, 30–39, ranh giới giữa lớp thứ nhất và thứ hai là $\frac{19 + 20}{2} = 19.5$ ; dãy ranh giới đầy đủ sẽ là 9.5, 19.5, 29.5, 39.5. Nhờ vậy, ranh giới lớp luôn mang thêm một chữ số thập phân so với dữ liệu gốc và thường kết thúc bằng chữ số 5.

Trong thực hành, ranh giới lớp đặc biệt quan trọng khi vẽ biểu đồ tần số (histogram). Các cột trong biểu đồ phải đứng liền kề nhau không khe hở, và ranh giới lớp chính là vị trí biên của mỗi cột. Vì vậy, khi đọc biểu đồ hoặc xác định xem một giá trị thuộc lớp nào, ta chỉ cần so sánh nó với hai ranh giới liên tiếp: giá trị nằm giữa hai ranh giới nào thì rơi vào lớp tương ứng.

Ký hiệu

• $B_i$ (ranh giới thứ $i$ )
• $L_i$ và $U_i$ (giới hạn dưới và trên của lớp $i$ )

Trực giác: Hãy tưởng tượng các lớp như những ô tủ đựng hồ sơ; giới hạn lớp là mép ngoài của mỗi ô, còn ranh giới lớp là mặt phẳng mỏng dính nằm chính giữa hai ô — nó quyết định lá thư nằm bên trái hay bên phải.

Công thức

b = \htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{U_i + L_{i+1}}}{2}}

Dùng khi lập bảng phân phối tần số ghép nhóm và cần xác định điểm phân chia chính xác giữa hai lớp liền kề, thường gặp khi vẽ histogram để các cột chạm nhau không khe hở.

Trong đó

b

ranh giới giữa lớp thứ

i

và lớp thứ

i+1

U_i

cận trên của lớp thứ

i

L_{i+1}

cận dưới của lớp thứ

i+1

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Ranh giới lớp không gắn với một tác giả hay một mốc năm cụ thể nào trong các nguồn tra được; đây là một quy ước hình thành dần trong thực hành lập bảng tần số ghép nhóm (frequency distribution), nhằm xóa các khoảng hở mà giới hạn lớp (class limits) để lại giữa hai lớp liền nhau.

Khi người ta bắt đầu tóm tắt những tập dữ liệu quá lớn để liệt kê từng giá trị, cách làm tự nhiên là gom chúng vào các khoảng như 0–9, 10–19, 20–29. Cách ghi này đọc thì gọn, nhưng lại để lộ một lỗ hổng: giữa 9 và 10 có cả một vùng trống mà số đo liên tục như chiều cao, thời gian hay cân nặng vẫn có thể rơi vào. Ranh giới lớp ra đời để bịt chỗ trống đó, bằng cách lấy điểm nằm giữa hai giới hạn kề nhau làm mốc chia thật sự. Nhờ vậy mỗi quan sát chỉ thuộc đúng một lớp, và các cột của biểu đồ tần số (histogram) đứng sát nhau đúng như bản chất liên tục của dữ liệu.

Thử nghiệm tương tác

Kéo mũi tên qua 9,5 — xem số đo bị lớp nào nhận

Hay hiểu sai

Ranh giới lớp không phải là giới hạn lớp.

Độ rộng lớp không phải hiệu của hai giới hạn trong cùng một lớp.

Không phải lúc nào cũng cộng trừ $0.5$ để ra ranh giới.

Cột của biểu đồ tần số phải dựng trên ranh giới, không được hở nhau.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Phòng y tế của một trường trung học ghi lại thời gian chờ (làm tròn đến phút nguyên) của 35 học sinh đến khám trong một buổi sáng. Kết quả được trình bày trong bảng tần số ghép nhóm sau, trong đó mỗi nhóm được viết theo giới hạn lớp (class limits) mà người ghi số liệu quan sát được: nhóm 10–14 có 4 học sinh, nhóm 15–19 có 9 học sinh, nhóm 20–24 có 12 học sinh, nhóm 25–29 có 7 học sinh, và nhóm 30–34 có 3 học sinh.

aXác định ranh giới lớp và độ rộng lớp (class width) của bảng tần số trên.
bTính trung điểm lớp (class midpoint) của mỗi nhóm và tần số tương đối (relative frequency) của nhóm 20–24.
cCó bao nhiêu phần trăm học sinh chờ dưới 24,5 phút, và vì sao khi vẽ biểu đồ tần số (histogram) ta đặt các cột theo ranh giới lớp chứ không theo giới hạn lớp?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcphân phối tần số dữ liệu liên tục

Vì sao mang đúng cái tên này?

Tên gọi phản ánh đúng chức năng chứ không phải một câu chuyện lịch sử ly kỳ. "Class" là lớp, tức nhóm giá trị đã được gom lại trong bảng tần số; "boundary" là đường biên, chỗ một lớp dừng lại và lớp kế tiếp bắt đầu. Điều đáng chú ý nằm ở chỗ tiếng Anh phân biệt hai từ mà tiếng Việt dễ gộp làm một: class limits là các con số ta viết ra trong bảng, còn class boundaries là biên thật sự dùng để vẽ hình, nên còn được gọi là giới hạn thật (true limits) của lớp. Bản thân chữ "statistics" thì đi đường vòng hơn nhiều: nó bắt nguồn từ tiếng Latinh mới statisticum collegium và tiếng Ý statista, và được Gottfried Achenwall đưa vào tiếng Đức năm 1749 với nghĩa "khoa học về nhà nước", trước khi mang nghĩa thu thập và phân loại dữ liệu nói chung vào đầu thế kỷ 19.

Kéo mũi tên qua 9,5 — xem số đo bị lớp nào nhận

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Đề AP thường cho nhóm dạng $[10,15)$ nên phải nói rõ giá trị ở biên thuộc nhóm nào.

Tính trung bình và độ lệch chuẩn từ bảng nhóm thì dùng điểm giữa, không dùng ranh giới.

Với đồ thị tần số tích lũy, chấm điểm tại ranh giới trên chứ không tại điểm giữa.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Trước hết phải nhận ra khe hở giữa hai nhóm liền nhau. Giới hạn trên của nhóm thứ nhất là

14

còn giới hạn dưới của nhóm thứ hai là

15

, nên giữa chúng có một khoảng trống rộng

1

đơn vị. Vì số liệu đã được làm tròn đến phút nguyên, một học sinh chờ

14{,}6

phút vẫn được ghi là

15

phút, tức là khoảng trống này không phải chỗ trống thật mà chỉ là hậu quả của việc làm tròn. Do đó ta phải lấp nó lại bằng cách dời mỗi giới hạn đi một nửa khe hở, tức là

0{,}5

phút.

2Bước 2: Lấy mỗi giới hạn dưới trừ đi

0{,}5

và mỗi giới hạn trên cộng thêm

0{,}5

, ta được các ranh giới lớp:

9{,}5-14{,}5

;

14{,}5-19{,}5

;

19{,}5-24{,}5

;

24{,}5-29{,}5

và

29{,}5-34{,}5

. Nhờ đó ranh giới trên của một nhóm trùng đúng với ranh giới dưới của nhóm kế tiếp, và trục số không còn chỗ hở nào. Độ rộng lớp tính bằng hiệu hai ranh giới của cùng một nhóm:

14{,}5-9{,}5=5

phút, và kiểm tra lại bằng hiệu hai giới hạn dưới liên tiếp cũng cho

15-10=5

phút, hai cách khớp nhau.

3Bước 3: Trung điểm lớp là trung bình cộng của hai giới hạn (hoặc của hai ranh giới, kết quả như nhau):

(10+14)/2=12

(15+19)/2=17

(20+24)/2=22

(25+29)/2=27

và

(30+34)/2=32

. Các giá trị này cách đều nhau đúng

5

phút, đúng bằng độ rộng lớp, đó là dấu hiệu cho thấy bảng được lập nhất quán. Tần số tương đối của nhóm

20-24

là

12/35 \approx 0{,}343

, nghĩa là khoảng

34{,}3\%

học sinh có thời gian chờ nằm trong khoảng từ

19{,}5

đến

24{,}5

phút.

4Bước 4: Câu hỏi "dưới

24{,}5

phút" chính là hỏi tần số tích lũy đến hết ranh giới trên của nhóm thứ ba. Cộng ba tần số đầu, ta có

4+9+12=25

học sinh, nên tỉ lệ là

25/35 \approx 0{,}714

, tức khoảng

71{,}4\%

. Chú ý rằng nếu diễn đạt theo giới hạn lớp thì câu "chờ nhiều nhất

24

phút" và câu "chờ dưới

24{,}5

phút" cho cùng một đáp số, nhưng chỉ mốc

24{,}5

mới đặt được lên trục số một cách rõ ràng.

5Bước 5: Cuối cùng là lý do vẽ biểu đồ theo ranh giới. Biểu đồ tần số biểu diễn một biến định lượng liên tục, nên các cột phải dính liền nhau để phản ánh rằng trục số không đứt quãng. Nếu đặt cột từ

10

đến

14

rồi từ

15

đến

19

thì giữa hai cột xuất hiện một khe trắng vô nghĩa, khiến người đọc tưởng không có học sinh nào chờ khoảng

14{,}5

phút. Ngược lại, khi đặt cột từ

9{,}5

đến

14{,}5

rồi từ

14{,}5

đến

19{,}5

, các cột chạm nhau và tổng bề rộng phủ kín miền giá trị.

Bảng tần số có các ranh giới lớp $9{,}5-14{,}5$ ; $14{,}5-19{,}5$ ; $19{,}5-24{,}5$ ; $24{,}5-29{,}5$ ; $29{,}5-34{,}5$ với độ rộng lớp bằng $5$ phút, và các trung điểm lớp lần lượt là $12$ , $17$ , $22$ , $27$ , $32$ phút. Nhóm thời gian chờ từ $19{,}5$ đến $24{,}5$ phút chiếm khoảng $34{,}3\%$ số học sinh, còn tổng cộng khoảng $71{,}4\%$ học sinh chờ dưới $24{,}5$ phút. Vì thời gian chờ là đại lượng liên tục và bảng chỉ ghi giá trị đã làm tròn, ta dùng ranh giới lớp để các cột của biểu đồ tần số chạm nhau, thể hiện đúng rằng mọi giá trị từ $9{,}5$ đến $34{,}5$ phút đều có thể xảy ra.

2Ví dụ 2/2

Trong một dự án sinh học, học sinh đo chiều dài của 30 chiếc lá bàng và ghi kết quả theo đơn vị xăng-ti-mét, làm tròn đến một chữ số thập phân. Bảng ghép nhóm thu được như sau: nhóm 5,0–5,4 có 6 lá; nhóm 5,5–5,9 có 11 lá; nhóm 6,0–6,4 có 9 lá; nhóm 6,5–6,9 có 4 lá.

aTìm ranh giới lớp và độ rộng lớp của bảng này.
bMột chiếc lá được ghi là 5,9 cm. Chiếc lá đó thuộc nhóm nào, và chiều dài thật của nó nằm trong khoảng nào?
cTính tỉ lệ số lá có chiều dài dưới 5,95 cm.

1Bước 1: Điểm khác biệt so với số liệu nguyên là ở độ chính xác của phép đo. Ở đây số liệu được làm tròn đến

0{,}1

cm, nên khe hở giữa giới hạn trên

5{,}4

và giới hạn dưới

5{,}5

chỉ rộng

0{,}1

đơn vị chứ không phải

1

đơn vị. Vì vậy lượng cần dời không còn là

0{,}5

mà là một nửa của

0{,}1

, tức

0{,}05

cm. Quy tắc chung là: nửa khe hở luôn bằng một nửa đơn vị đo nhỏ nhất mà số liệu được ghi.

2Bước 2: Trừ

0{,}05

vào mỗi giới hạn dưới và cộng

0{,}05

vào mỗi giới hạn trên, ta có các ranh giới lớp:

4{,}95-5{,}45

;

5{,}45-5{,}95

;

5{,}95-6{,}45

;

6{,}45-6{,}95

. Độ rộng lớp là

5{,}45-4{,}95=0{,}5

cm, đồng thời hiệu hai giới hạn dưới liên tiếp cũng cho

5{,}5-5{,}0=0{,}5

cm. Hai kết quả trùng nhau nên cách xác định ranh giới là chính xác.

3Bước 3: Số ghi

5{,}9

nằm giữa hai giới hạn

5{,}5

và

5{,}9

, nên chiếc lá thuộc nhóm thứ hai, tức nhóm có ranh giới

5{,}45-5{,}95

. Tuy nhiên

5{,}9

chỉ là kết quả sau khi làm tròn, còn chiều dài thật

x

của chiếc lá thỏa mãn

5{,}85 \le x < 5{,}95

. Điều này giải thích vì sao ranh giới trên của nhóm phải là

5{,}95

: mọi phép đo được ghi là

5{,}9

đều rơi trọn vào bên trái mốc đó, không có giá trị nào bị bỏ sót hay bị đếm hai lần.

4Bước 4: Câu hỏi cuối rơi đúng vào ranh giới chung của nhóm thứ hai và nhóm thứ ba, nên chỉ cần cộng tần số của hai nhóm đầu. Ta có

6+11=17

chiếc lá, và tỉ lệ cần tìm là

17/30 \approx 0{,}567.

Con số

0{,}567

nghĩa là khoảng

56{,}7\%

số lá được đo có chiều dài nhỏ hơn

5{,}95

cm. Nếu đề hỏi "dưới

6{,}0

cm" thì đáp số vẫn thế, nhưng mốc

5{,}95

mới là mốc đặt được lên trục số mà không chồng lấn.

Với số liệu làm tròn đến $0{,}1$ cm, các ranh giới lớp là $4{,}95-5{,}45$ ; $5{,}45-5{,}95$ ; $5{,}95-6{,}45$ ; $6{,}45-6{,}95$ và độ rộng lớp bằng $0{,}5$ cm. Chiếc lá ghi $5{,}9$ cm thuộc nhóm $5{,}5-5{,}9$ , tức nhóm có ranh giới $5{,}45-5{,}95$ , và chiều dài thật của nó nằm trong khoảng từ $5{,}85$ cm đến dưới $5{,}95$ cm. Có $17$ trong $30$ chiếc lá, tức khoảng $56{,}7\%$ , dài dưới $5{,}95$ cm.

Dẫn tớihistogram

Liên quantần số

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.