AP Statistics

thứ hạng bách phân vị

percentile rank

Thứ hạng bách phân vị (percentile rank) là tỉ lệ phần trăm giá trị trong phân phối nhỏ hơn hoặc bằng giá trị đang xét, cho biết vị trí của điểm đó.

Trong thống kê mô tả, khi muốn đánh giá vị trí của một giá trị so với các giá trị khác, người ta dùng thứ hạng bách phân vị (percentile rank). Khác với thứ hạng đơn thuần — ví dụ "đứng thứ 5 trong lớp 40 học sinh" — thứ hạng bách phân vị giúp so sánh các vị trí giữa những nhóm có kích thước khác nhau. Do đó, nó thường xuất hiện trong các bài toán so sánh điểm số, kết quả đo lường hoặc các chỉ số định lượng khác.

Công thức thường dùng là

$PR = \frac{\text{số giá trị} \leq x}{n} \times 100\%$

trong đó $x$ là giá trị đang xét, $n$ là tổng số quan sát. Công thức này cho biết có bao nhiêu phần trăm dữ liệu nằm ở mức $x$ hoặc thấp hơn. Tuy nhiên, trong đề thi AP Statistics, cách tính cụ thể có thể thay đổi tùy theo quy ước của máy tính hoặc bảng phân vị.

Một tính chất quan trọng của thứ hạng bách phân vị là nó không thay đổi khi mỗi giá trị trong tập dữ liệu được cộng hoặc nhân với cùng một hằng số dương. Ngược lại, trung bình, độ lệch chuẩn (standard deviation) và các đại lượng đo mức độ phân tán khác lại bị ảnh hưởng bởi phép đổi đơn vị. Vì vậy, thứ hạng bách phân vị là công cụ mạnh khi cần so sánh vị trí tương đối mà không phụ thuộc vào đơn vị đo hoặc phép biến đổi tuyến tính.

Nhờ đó, thí sinh có thể dùng thứ hạng bách phân vị để giải thích một giá trị nằm cao hay thấp trong phân phối. Ví dụ, nếu một điểm thi có thứ hạng bách phân vị là 85, điều đó có nghĩa là khoảng 85\% số điểm còn lại bằng hoặc thấp hơn điểm đó. Đây là ý nghĩa thực tiễn mà đề thi thường kiểm tra trong các câu hỏi về so sánh vị trí và diễn giải phân phối.

Ký hiệu

PR

P

Đơn vị%

Trực giác: Nếu bạn xếp hàng trong lớp và biết "có 90% bạn ngồi dưới hoặc ngang hàng bạn", thì bạn đang ở thứ hạng bách phân vị thứ 90.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

đầu thế kỷ 20

Thứ hạng bách phân vị hình thành trong ngành đo lường giáo dục và trắc nghiệm tâm lý (psychological testing) hồi đầu thế kỷ 20, khi các nhà nghiên cứu cần một cách diễn giải điểm số vượt ra ngoài con số trung bình.

Vào đầu thế kỷ 20, các kỳ khảo thí trong trường học nở rộ và người ta nhanh chóng nhận ra rằng một điểm thô đứng trơ trọi thì gần như vô nghĩa: điểm 30 là cao hay thấp còn tùy vào đề dễ hay khó và tùy vào những ai cùng dự thi. Do đó, nhu cầu đặt ra là mô tả vị trí tương đối của một thí sinh giữa cả nhóm, chứ không chỉ so với điểm trung bình. Cách chia dữ liệu thành một trăm phần bằng nhau đáp ứng đúng nhu cầu ấy, vì nó cho phép nói ngay rằng bao nhiêu phần trăm người khác có điểm thấp hơn. Nhờ tính trực quan đó, thước đo này lan từ đo lường giáo dục sang y học, nghiên cứu thị trường và nhiều lĩnh vực khác; ngày nay các kỳ thi chuẩn hóa vẫn báo cáo kết quả kèm theo con số này.

Thử nghiệm tương tác

Kéo vạch dọc trục — nhìn tỉ lệ tích luỹ đứng yên rồi nhảy bậc tại chồng chấm 85

Hay hiểu sai

Thứ hạng bách phân vị là một tỉ lệ phần trăm, không phải giá trị của dữ liệu.

Định nghĩa dùng "nhỏ hơn hoặc bằng", nên phải đếm cả những quan sát đúng bằng giá trị đó.

Đếm số quan sát nằm phía trên giá trị là làm ngược định nghĩa.

Thứ hạng bách phân vị và bách phân vị đi ngược chiều nhau, đừng dùng lẫn công cụ.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Biểu đồ chấm (dotplot) dưới đây ghi lại tổng số dặm mà 28 cư dân của một con phố đã di chuyển để đi làm trong một tuần làm việc năm ngày. Vì mỗi chấm ứng với một cư dân, ta có thể đọc biểu đồ thành bảng tần số sau: 40 dặm có 2 người, 50 dặm có 3 người, 55 dặm có 4 người, 60 dặm có 5 người, 70 dặm có 4 người, 75 dặm có 3 người, 85 dặm có 3 người, 90 dặm có 2 người và 110 dặm có 2 người. Trên một con phố khác trong cùng cộng đồng có 40 cư dân, trong đó có 32 người di chuyển từ 85 dặm trở xuống.

aTính thứ hạng bách phân vị của một cư dân ở phố thứ nhất đã di chuyển 85 dặm trong tuần đó.
bMột cư dân ở phố thứ hai cũng di chuyển 85 dặm. So sánh vị trí tương đối của hai người này trong con phố của họ.

1Bước 1: Trước hết cần nhớ thứ hạng bách phân vị được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm các giá trị trong tập dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng giá trị đang xét. Vì vậy công việc chỉ gồm hai phần: đếm xem có bao nhiêu quan trắc thỏa mãn điều kiện đó, rồi chia cho tổng số quan trắc. Điều quan trọng là phải đếm cả những người đi đúng 85 dặm, chứ không chỉ những người đi ít hơn.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướctần số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân vịpercentile

Khác nhau ở đâuPhân vị (percentile) là một giá trị dữ liệu ứng với phần trăm cho trước, còn thứ hạng bách phân vị (percentile rank) là phần trăm các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị dữ liệu cho trước

Hay nhầm khiđề cho giá trị 85 và hỏi 'percentile rank of 85' nhưng thí sinh lại tra bảng phân vị hoặc ngược lại đề hỏi 'the 90th percentile' mà thí sinh trả lời bằng một phần trăm

z-scorez-score

Khác nhau ở đâuZ-score đo khoảng cách từ giá trị đến trung bình bằng đơn vị độ lệch chuẩn, còn thứ hạng bách phân vị đo phần trăm quan sát nằm tại hoặc dưới giá trị đó

Hay nhầm khitrong phân phối chuẩn, đề yêu cầu chuyển từ giá trị sang vị trí tương đối mà thí sinh nhầm công thức: dùng z-score khi cần phần trăm, hoặc dùng percentile rank khi cần số độ lệch chuẩn

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 118, 120, 125.

2Ví dụ 2/2

Một bài kiểm tra được chấm cho 200 học sinh. Bạn Minh được 78 điểm, và có đúng 150 học sinh đạt từ 78 điểm trở xuống. Sau đó giáo viên quyết định điều chỉnh thang điểm cho toàn lớp theo công thức

y=1{,}2x+5

, trong đó

x

là điểm cũ và

y

là điểm mới.

aTính thứ hạng bách phân vị của Minh theo thang điểm cũ và giải thích ý nghĩa.
bSau khi điều chỉnh, điểm của Minh là bao nhiêu và thứ hạng bách phân vị của bạn thay đổi thế nào?

1Bước 1: Ở thang điểm cũ, ta chỉ cần lấy số học sinh có điểm nhỏ hơn hoặc bằng 78 chia cho tổng số học sinh:

\frac{150}{200}=0{,}75=75\%.

Vậy Minh nằm ở bách phân vị thứ 75, tức là 75% học sinh trong lớp có điểm không cao hơn Minh.

2Bước 2: Thay số vào công thức đổi thang để có điểm mới:

y=1{,}2\times 78+5=93{,}6+5=98{,}6

. Đây là phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) với hệ số nhân dương, nên nó vừa kéo giãn vừa tịnh tiến toàn bộ bảng điểm.

3Bước 3: Vì

1{,}2>0

, hàm

y=1{,}2x+5

là hàm đồng biến: nếu

x_1\le x_2

thì

1{,}2x_1+5\le 1{,}2x_2+5

. Do đó đúng 150 học sinh có điểm cũ không vượt quá 78 sẽ vẫn là đúng 150 học sinh có điểm mới không vượt quá 98,6; không ai vượt lên trên Minh và cũng không ai tụt xuống dưới. Tỉ số

150/200

giữ nguyên, nên thứ hạng bách phân vị vẫn là 75%.

4Bước 4: Kết luận tổng quát đáng nhớ cho bài thi: đổi đơn vị hay đổi thang điểm bằng một phép biến đổi tuyến tính với hệ số nhân dương sẽ làm thay đổi trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn (standard deviation) theo những quy tắc riêng, nhưng không hề làm thay đổi thứ tự của các giá trị. Vì vậy thứ hạng đơn giản, thứ hạng bách phân vị và cả điểm chuẩn hóa (z-score) đều bất biến. Ngược lại, nếu hệ số nhân âm thì thứ tự bị đảo, và khi đó thứ hạng bách phân vị sẽ thay đổi.

Theo thang điểm cũ, Minh ở bách phân vị thứ 75: 75% học sinh trong lớp có điểm bằng hoặc thấp hơn bạn. Sau khi điều chỉnh, điểm của Minh là 98,6 nhưng thứ hạng bách phân vị vẫn đúng bằng 75%, vì phép đổi thang là hàm đồng biến nên không làm xáo trộn thứ tự của 200 bài kiểm tra.