AP Statistics

cặp đôi

matched pairs

Còn gọi: dữ liệu ghép cặp · mẫu cặp · paired data · mẫu các cặp · matched pairs design · cặp ghép (matched pairs)

Cặp đôi (matched pairs) là thiết kế ghép các đơn vị tương đồng (hoặc cùng một đơn vị) rồi phân ngẫu nhiên hai nghiệm thức trong mỗi cặp.

Trong thiết kế thực nghiệm, một trong những thách thức lớn nhất là đảm bảo rằng sự khác biệt quan sát được giữa hai nhóm phản ánh tác động thực sự của nghiệm thức, chứ không phải sự khác biệt vốn có giữa các đối tượng. Thiết kế cặp đôi giải quyết thách thức này bằng cách tạo ra các cặp đơn vị thực nghiệm có đặc điểm giống nhau đến mức tối đa, sau đó phân ngẫu nhiên hai nghiệm thức vào hai thành viên trong mỗi cặp. Nhờ đó, mỗi cặp đóng vai trò như một khối riêng biệt, và so sánh được thực hiện bên trong khối chứ không phải giữa các khối.

Về mặt cấu trúc, thiết kế cặp đôi là trường hợp đặc biệt của thiết kế khối (block design) với kích thước khối bằng hai. Mỗi cặp có thể được tạo ra theo hai cách: ghép hai đối tượng khác nhau nhưng có đặc điểm tương đồng, hoặc để chính một đối tượng nhận cả hai nghiệm thức ở hai thời điểm khác nhau — trường hợp sau thường được gọi là thiết kế trước–sau. Dữ liệu thu được không phải là hai mẫu độc lập, mà là một dãy các hiệu số $d_i = x_{i,1} - x_{i,2}$ , trong đó $x_{i,1}$ và $x_{i,2}$ là kết quả của cặp thứ $i$ ứng với từng nghiệm thức.

Vì phân tích chuyển về một mẫu các hiệu số, mọi suy luận — khoảng tin cậy (confidence interval) lẫn kiểm định giả thuyết — đều thực hiện trên $\bar{d}$ và độ lệch chuẩn mẫu $s_d$ của dãy hiệu đó, sử dụng phân phối $t$ với $n-1$ bậc tự do, trong đó $n$ là số cặp. Do đó, biến thiên do đặc điểm cá thể đã được triệt tiêu ngay từ bước tạo cặp; vì vậy, thiết kế cặp đôi thường cho sai số chuẩn nhỏ hơn so với hai mẫu độc lập có cùng tổng số quan sát.

Ký hiệu

• $\bar{d}$ : trung bình của các hiệu số
• $s_d$ : độ lệch chuẩn mẫu của các hiệu số
• $n$ : số cặp

Trực giác: Thay vì so sánh điểm thi của hai lớp hoàn toàn khác nhau, hãy cho cùng một học sinh làm bài kiểm tra trước và sau khi học — khi đó mọi sự khác biệt trong kết quả đều do cách dạy, không phải do học sinh giỏi hơn hay kém hơn.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

William GossetKarl Pearson

Ý tưởng so sánh hai mẫu có liên hệ từng đôi một gắn với William Gosset, người đã tìm đến Karl Pearson (1857–1936) ở University College London khi muốn xử lý các phép so sánh với số quan sát ít ỏi và được cho biết rằng hiểu biết đương thời về vấn đề này còn chưa thoả đáng.

Câu chuyện bắt đầu từ một nhu cầu rất thực tế: người làm thí nghiệm thường chỉ có trong tay vài chục quan sát, mà giữa các cá thể lại có quá nhiều khác biệt sẵn có khiến hiệu quả thật của một cách xử lý bị che lấp. Gosset đã hỏi Karl Pearson về chuyện này và nhận được câu trả lời rằng kiến thức lúc bấy giờ chưa đủ, nên ông tự bắt tay vào nghiên cứu. Hướng đi được rút ra sau đó rất giản dị: thay vì so hai nhóm người khác nhau, hãy ghép từng đôi giống nhau về những đặc điểm dễ gây nhiễu (confounders) rồi chỉ so sánh bên trong mỗi cặp. Nhờ đó, phần dao động do khác biệt cá nhân bị triệt tiêu và tín hiệu cần tìm hiện rõ hơn.

Thử nghiệm tương tác

Ghép cặp theo thể lực nền rồi bốc thăm — xem đồng xu chỉ đảo được A–B bên trong từng cặp

Hay hiểu sai

Cặp đôi không phải là hai nhóm độc lập chỉ vì chúng có cùng cỡ mẫu.

Cỡ mẫu của thiết kế cặp đôi là số cặp, không phải tổng số phép đo.

Điều kiện chuẩn áp cho dãy hiệu số, không áp cho từng cột dữ liệu gốc.

Không phải cứ đo trên cùng một người là có thiết kế cặp đôi.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một hãng giày muốn so sánh độ bền của hai loại đế chạy bộ, loại A và loại B. Nhóm nghiên cứu tuyển 24 vận động viên phong trào; những người này rất khác nhau về cân nặng, dáng chạy và quãng đường chạy mỗi tuần, nên độ mòn đế của người này có thể lớn gấp nhiều lần người kia. Mỗi vận động viên sẽ mang giày trong ba tháng, sau đó đế được đo độ mòn (mm) bằng cùng một thiết bị.

aGiải thích vì sao thiết kế cặp đôi lại phù hợp với nghiên cứu này hơn là chia 24 người thành hai nhóm 12 người.
bMô tả cụ thể cách thực hiện việc gán ngẫu nhiên trong thiết kế cặp đôi ở đây.

1Bước 1: Trước hết hãy nhìn vào nguồn biến thiên lớn nhất trong dữ liệu. Độ mòn của đế phụ thuộc rất mạnh vào việc người mang nó nặng bao nhiêu và chạy bao nhiêu km mỗi tuần, và những đặc điểm này chênh lệch rất lớn giữa 24 người. Nếu chia ngẫu nhiên thành hai nhóm 12 người theo thiết kế ngẫu nhiên hoàn toàn (completely randomized design), chênh lệch trung bình giữa hai nhóm có thể đến từ chính sự khác biệt giữa người với người chứ không phải từ chất liệu đế, tức là đặc điểm của vận động viên trở thành biến gây nhiễu (confounding variable).

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thiết kế thực nghiệm” — khoá AP Statistics

Cần trướccác mẫu phụ thuộc

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

các mẫu độc lậpindependent samples

Khác nhau ở đâuCác mẫu độc lập dùng hai nhóm đối tượng khác nhau không liên quan, còn cặp đôi ghép từng cá thể theo từng cặp có điểm chung

Hay nhầm khiđề cho hai nhóm đo cùng một chỉ số nhưng không nói rõ đối tượng có được ghép theo cặp hay không

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 62, 220, 257.

2Ví dụ 2/2

Một giáo viên nghi ngờ rằng tiếng ồn làm giảm khả năng đọc hiểu. Cô chọn 8 học sinh tình nguyện; mỗi em làm hai bài đọc hiểu có độ khó tương đương, một bài trong phòng yên tĩnh và một bài trong phòng có tiếng ồn nền, thứ tự hai buổi được bốc thăm ngẫu nhiên cho từng em. Điểm số (thang 100) như sau — Yên tĩnh: 57, 63, 54, 59, 70, 56, 58, 61; Có tiếng ồn: 52, 61, 47, 58, 65, 50, 55, 60 (các cặp số được ghi theo đúng thứ tự học sinh 1 đến 8).

aVì sao ở đây bắt buộc phải tính hiệu của từng cặp trước khi kiểm định, thay vì so sánh trung bình hai nhóm 8 điểm?
bThực hiện kiểm định giả thuyết ở mức ý nghĩa 0,05 để xem điểm đọc hiểu trong phòng yên tĩnh có cao hơn hay không.

1Bước 1: Trả lời ý (a) trước, vì nó quyết định toàn bộ phép tính phía sau. Hai điểm số trong mỗi dòng dữ liệu đến từ cùng một học sinh, nên chúng không độc lập với nhau: em học giỏi thì cả hai điểm đều cao, em yếu thì cả hai đều thấp. Điều kiện độc lập giữa hai mẫu bị vi phạm, do đó không được dùng thủ tục hai mẫu; ta phải rút mỗi cặp về một con số duy nhất là hiệu số, rồi làm kiểm định t một mẫu (one-sample t-test) trên các hiệu đó.

2Bước 2: Lập biến hiệu $d = $ điểm yên tĩnh

-

điểm có tiếng ồn cho từng học sinh. Ta được lần lượt

5,\ 2,\ 7,\ 1,\ 5,\ 6,\ 3,\ 1

. Tám giá trị này chính là dữ liệu sẽ dùng, và mọi khác biệt về năng lực giữa các em đã bị triệt tiêu khi lấy hiệu.

3Bước 3: Nêu giả thuyết theo trung bình của hiệu. Gọi

\mu_d

là trung bình của hiệu điểm trong quần thể các học sinh như thế này, ta kiểm định

H_0: \mu_d = 0

đối lại

H_a: \mu_d > 0

. Giả thuyết đối một phía được chọn vì câu hỏi nêu rõ nghi ngờ rằng phòng yên tĩnh cho điểm cao hơn.

4Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Các em tham gia là tình nguyện nên không phải mẫu ngẫu nhiên, nhưng thứ tự hai buổi được bốc thăm ngẫu nhiên trong từng cặp, vì vậy kết luận nhân quả có giá trị cho chính nhóm 8 em này còn việc suy rộng ra quần thể phải hết sức thận trọng. Cỡ mẫu

n = 8

nhỏ nên cần giả định phân bố của hiệu xấp xỉ đối xứng: tám giá trị hiệu trải từ 1 đến 7, không có giá trị ngoại lai (outlier) và không lệch mạnh, nên điều kiện này chấp nhận được.

5Bước 5: Tính thống kê mô tả của các hiệu. Trung bình là

\bar{d} = \dfrac{5+2+7+1+5+6+3+1}{8} = \dfrac{30}{8} = 3{,}75

. Tổng bình phương độ lệch bằng

37{,}5

, nên phương sai là

s_d^2 = \dfrac{37{,}5}{7} \approx 5{,}357

và độ lệch chuẩn (standard deviation) của hiệu là

s_d \approx 2{,}315

6Bước 6: Tính thống kê kiểm định và giá trị p. Sai số chuẩn của trung bình hiệu là

\dfrac{s_d}{\sqrt{n}} = \dfrac{2{,}315}{\sqrt{8}} \approx 0{,}818

, do đó

t = \frac{\bar{d} - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{3{,}75}{0{,}818} \approx 4{,}58.

Con số này cho biết trung bình hiệu quan sát được nằm cách 0 khoảng 4,58 sai số chuẩn. Với bậc tự do

df = n - 1 = 7

, giá trị p một phía là

P(T > 4{,}58) \approx 0{,}0013

7Bước 7: So sánh với mức ý nghĩa và kết luận. Vì

0{,}0013 < 0{,}05

, ta bác bỏ

H_0

. Bằng chứng đủ mạnh để kết luận trung bình hiệu điểm là dương chứ không phải bằng không.

Phải làm việc với hiệu từng cặp vì hai điểm số trong mỗi cặp cùng thuộc một học sinh nên không độc lập, và thủ tục đúng là kiểm định t một mẫu trên tám hiệu số. Với $\bar{d} = 3{,}75$ , $s_d \approx 2{,}315$ , $t \approx 4{,}58$ và $df = 7$ , giá trị p khoảng $0{,}0013$ nhỏ hơn $0{,}05$ , nên có bằng chứng thuyết phục rằng những học sinh này đọc hiểu tốt hơn trong phòng yên tĩnh so với phòng có tiếng ồn, trung bình cao hơn chừng 3,75 điểm.