Đang tải bài học…

AP Statistics

các mẫu phụ thuộc

dependent samples

Các mẫu phụ thuộc (dependent samples) là hai mẫu mà mỗi quan sát được ghép đôi có chủ đích với đúng một quan sát ở mẫu kia, nên không độc lập.

Khi nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu (data) từ hai nhóm, câu hỏi đầu tiên cần đặt ra là liệu hai nhóm đó có liên quan về mặt cấu trúc hay không, cụ thể là mỗi giá trị ở mẫu thứ nhất có được ghép tự nhiên với đúng một giá trị ở mẫu thứ hai hay không. Hai mẫu được gọi là phụ thuộc khi sự ghép cặp đó tồn tại — chẳng hạn, đo huyết áp của cùng một bệnh nhân trước và sau khi điều trị, hoặc so sánh điểm thi của hai anh em sinh đôi. Hơn nữa, sự ghép cặp này là có chủ đích nhằm kiểm soát (control) sự khác biệt giữa các cá thể, vì vậy không thể phân tích hai mẫu như thể chúng tách rời nhau.

Một khi đã xác định hai mẫu là phụ thuộc, quy trình phân tích chuẩn là tính hiệu $d_i = x_{1i} - x_{2i}$ cho mỗi cặp, rồi xem tập hợp các hiệu đó như một mẫu đơn. Lúc này bài toán quy về suy luận cho một trung bình duy nhất, cụ thể là trung bình của hiệu $\bar{d}$ . Do không biết độ lệch chuẩn (standard deviation) tổng thể, kiểm định và khoảng tin cậy (confidence interval) đều dùng phân phối $t$ với $n - 1$ bậc tự do, trong đó $n$ là số cặp.

Việc nhận diện đúng kiểu mẫu có hệ quả trực tiếp đến kết quả phân tích. Thật vậy, nếu nhầm mẫu phụ thuộc thành hai mẫu độc lập và áp dụng kiểm định hai mẫu thông thường, sai số tiêu chuẩn sẽ bị ước lượng (estimator) quá cao, làm giảm sức mạnh kiểm định và dễ dẫn đến kết luận sai. Ngược lại, dùng đúng phương pháp mẫu cặp sẽ loại bỏ được biến thiên giữa các cá thể, giúp phát hiện sự khác biệt thực sự hiệu quả hơn nhiều.

Ký hiệu

d_i = x_{1i} - x_{2i}

\bar{d}

s_d

Trực giác: Giống như so sánh tốc độ chạy của một vận động viên khi đi giày mới và giày cũ — vì cùng một người chạy cả hai lần, ta chỉ cần quan tâm đến mức chênh lệch, không cần lo sự khác biệt về thể lực giữa người này và người khác.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1908William GossetKarl Pearson

Khái niệm gắn liền với William Gosset, nhà nghiên cứu làm việc cho hãng bia Guinness, người năm 1908 công bố bài báo "The probable error of a mean" dưới bút danh "Student" để xử lý bài toán suy luận từ mẫu nhỏ. Từ nền tảng đó mới hình thành phép kiểm định dành riêng cho hai tập số liệu được ghép cặp với nhau.

Gosset vướng một khó khăn rất thực tế: trong nhà máy bia, mỗi lần thí nghiệm chỉ cho vài quan sát, quá ít để dùng các kết quả cỡ mẫu lớn quen thuộc. Ông viết thư cho Karl Pearson, gặp ông này tháng 7 năm 1905, rồi sang làm việc một năm tại khoa của Pearson để theo đuổi bài toán mẫu nhỏ. Kết quả được đăng năm 1908 trên tạp chí Biometrika. Vì Guinness không cho phép công bố dữ liệu công ty, Gosset phải viết ẩn danh. Trên nền công cụ ấy, thống kê học về sau tách riêng trường hợp hai tập số liệu không rời nhau mà đi thành từng cặp, chẳng hạn cùng một người được đo hai lần.

Thử nghiệm tương tác

Xáo trộn cách ghép cặp — trung bình hiệu số đứng yên, độ trải bung ra

Hay hiểu sai

Hai mẫu bằng nhau về cỡ không có nghĩa là hai mẫu phụ thuộc.

Dữ liệu theo cặp mà chạy thủ tục hai mẫu độc lập là mất điểm ngay ở bước chọn kiểm định.

Giả thuyết phải viết theo $\mu_d$ , không phải theo $\mu_1-\mu_2$ .

Điều kiện chuẩn được kiểm trên cột hiệu, không phải trên hai cột gốc.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một huấn luyện viên điền kinh muốn biết chương trình tập bổ trợ kéo dài sáu tuần có làm giảm thời gian chạy 100 m hay không. Ông chọn ngẫu nhiên 8 vận động viên trong đội, bấm giờ mỗi người trước khi bắt đầu chương trình rồi bấm giờ lại chính 8 người đó sau sáu tuần. Kết quả (đơn vị: giây) như sau — Vận động viên 1: trước 13,2 / sau 12,9; VĐV 2: 12,8 / 12,7; VĐV 3: 14,0 / 13,5; VĐV 4: 13,5 / 13,4; VĐV 5: 12,6 / 12,5; VĐV 6: 13,9 / 13,4; VĐV 7: 14,2 / 13,7; VĐV 8: 13,1 / 13,0.

aGiải thích vì sao hai bộ số liệu này là các mẫu phụ thuộc, và vì sao không được dùng thủ tục so sánh hai trung bình của hai mẫu độc lập.
bỞ mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem có bằng chứng cho thấy chương trình tập làm giảm thời gian chạy trung bình hay không.
cXây dựng và diễn giải khoảng tin cậy 95% cho mức giảm trung bình của thời gian chạy.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho trung bình (dữ liệu định lượng) · bài “KTC cho trung bình tổng thể / trung bình của hiệu (mẫu cặp)” — khoá AP Statistics

Cần trướcmẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

các mẫu độc lậpindependent samples

Khác nhau ở đâuMẫu phụ thuộc có sự ghép đôi tự nhiên giữa từng quan sát ở nhóm này với đúng một quan sát ở nhóm kia, còn mẫu độc lập thì không có liên kết như vậy

Hay nhầm khiđề cho hai nhóm đo cùng một đối tượng trước và sau can thiệp — thí sinh hay nhầm đây là hai mẫu độc lập vì thấy hai cột số liệu riêng biệt

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 63, 334, 489.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi xuất phát từ chỗ hai tập số liệu không đứng độc lập với nhau. Khi mỗi giá trị ở mẫu thứ nhất được nối với đúng một giá trị ở mẫu thứ hai — cùng một đối tượng đo hai lần, hoặc hai cá thể được ghép đôi theo tuổi, theo điều kiện — thì biết giá trị này ta đã biết ít nhiều về giá trị kia. Do đó chúng "phụ thuộc", và tài liệu tiếng Anh gọi bằng nhiều tên tương đương: mẫu ghép cặp (paired samples), mẫu bắt cặp (matched pairs) hay đo lặp (repeated measures). Hệ quả của cái tên nằm ngay trong cách tính. Vì các quan sát đi thành cặp, người ta lấy hiệu của từng cặp và coi chính dãy hiệu đó là dữ liệu, rồi kiểm định trung bình tổng thể của các hiệu bằng phân phối t với $n-1$ bậc tự do, trong đó $n$ là số cặp. Nhờ vậy bài toán hai mẫu thu về bài toán một mẫu quen thuộc. Còn chữ "Student" trên tên phân phối lại có gốc gác khác hẳn và khá đời thường: đó là bút danh Gosset buộc phải dùng khi công bố, và theo một ghi chép thì cái tên ấy đến từ bìa cuốn sổ tay ông dùng khi đó, The Student's Science Notebook.

Xáo trộn cách ghép cặp — trung bình hiệu số đứng yên, độ trải bung ra

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết hẳn ra giấy tên kiểm định và quy ước lấy hiệu trước khi tính.

Trên máy tính, nhập cột hiệu rồi chạy T-Test một mẫu, đừng chạm vào 2-SampTTest.

Đọc phần mô tả thiết kế trước khi nhìn số liệu — đó là chỗ đề cài bẫy.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

1Bước 1: Trả lời ý (a). Mỗi con số ở cột "trước" và con số tương ứng ở cột "sau" được đo trên cùng một vận động viên, nên hai cột không thể xem là hai mẫu tách rời: người chạy nhanh trước khi tập gần như chắc chắn cũng chạy nhanh sau khi tập. Vì mỗi quan sát ở nhóm này gắn với đúng một quan sát ở nhóm kia, ta có một mẫu duy nhất gồm 8 cặp số, tức là dữ liệu ghép cặp (paired data). Thủ tục hai mẫu đòi hỏi hai nhóm được lấy độc lập với nhau và độ lệch chuẩn của hiệu hai trung bình được tính theo

\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}

; công thức này bỏ qua mối liên hệ từng cặp nên sẽ thổi phồng sai số chuẩn và làm kiểm định mất độ nhạy. Do đó cách xử lý đúng là lập cột hiệu số rồi chạy thủ tục một mẫu trên cột đó.

2Bước 2: Lập cột hiệu số $d = $ (thời gian trước)

-

(thời gian sau), quy ước này khiến

d>0

nghĩa là vận động viên chạy nhanh lên. Lần lượt ta được

0{,}3;\ 0{,}1;\ 0{,}5;\ 0{,}1;\ 0{,}1;\ 0{,}5;\ 0{,}5;\ 0{,}1

. Tổng của tám hiệu số là

2{,}2

nên

\bar{x}_d = 2{,}2/8 = 0{,}275

giây. Tổng bình phương độ lệch là

1(0{,}025)^2+4(0{,}175)^2+3(0{,}225)^2 = 0{,}275

, suy ra

s_d = \sqrt{0{,}275/7} \approx 0{,}198

giây.

3Bước 3: Phát biểu giả thuyết trên trung bình của tổng thể các hiệu số, ký hiệu

\mu_d

H_0: \mu_d = 0

và

H_a: \mu_d > 0

. Kiểm tra điều kiện trước khi tính: tám vận động viên được chọn ngẫu nhiên nên hiệu số của họ độc lập với nhau; cỡ mẫu nhỏ hơn 10% số vận động viên mà kết luận muốn khái quát; và tám hiệu số không có giá trị ngoại lai (outlier) cũng không lệch mạnh về một phía, đủ để chấp nhận giả định phân phối gần chuẩn. Vì không biết độ lệch chuẩn của tổng thể nên ta dùng thủ tục

t

một mẫu trên cột hiệu số.

4Bước 4: Tính thống kê kiểm định với

n = 8

nên bậc tự do (degrees of freedom) là

df = 7

t=\frac{\bar{x}_d-0}{s_d/\sqrt{n}}=\frac{0{,}275}{0{,}198/\sqrt{8}}=\frac{0{,}275}{0{,}0701}\approx 3{,}92

Con số này cho biết mức giảm trung bình quan sát được nằm cách mốc "không đổi" gần bốn sai số chuẩn về phía dương. Tra bảng

t

với

df=7

, giá trị

3{,}92

nằm giữa

3{,}499

(đuôi

0{,}005

) và

4{,}029

(đuôi

0{,}0025

), nên

p \approx 0{,}003

. Vì

p < 0{,}05

ta bác bỏ

H_0

5Bước 5: Sang ý (c), khoảng tin cậy 95% cho

\mu_d

dùng cùng bậc tự do

df=7

với

t^\ast = 2{,}365

0{,}275 \pm 2{,}365\left(\frac{0{,}198}{\sqrt{8}}\right)=0{,}275 \pm 0{,}166

Kết quả là khoảng từ

0{,}109

đến

0{,}441

giây. Khoảng này nằm trọn bên phải số 0, hoàn toàn ăn khớp với kết luận bác bỏ

H_0

ở ý (b).

Vì mỗi vận động viên được đo hai lần nên đây là các mẫu phụ thuộc và phải phân tích trên cột hiệu số. Với $t \approx 3{,}92$ , $df = 7$ và $p \approx 0{,}003 < 0{,}05$ , ta bác bỏ $H_0$ : có bằng chứng thuyết phục rằng chương trình tập bổ trợ sáu tuần làm giảm thời gian chạy 100 m trung bình của các vận động viên trong đội. Ta cũng tin 95% rằng mức giảm trung bình thật sự nằm trong khoảng từ 0,109 đến 0,441 giây.

2Ví dụ 2/2

Trong một buổi ôn tập, giáo viên đưa ra ba thiết kế nghiên cứu và yêu cầu học sinh nhận dạng cấu trúc dữ liệu trước khi chọn thủ tục suy luận. Nghiên cứu I: 40 người tình nguyện bị cao huyết áp được đo huyết áp tâm thu, sau đó dùng một loại thuốc trong tám tuần rồi được đo lại huyết áp tâm thu. Nghiên cứu II: 60 học sinh được phân ngẫu nhiên thành hai nhóm 30 người, một nhóm học từ vựng bằng thẻ giấy, nhóm kia học bằng ứng dụng điện thoại, cuối tuần cả hai nhóm làm chung một bài kiểm tra. Nghiên cứu III: 25 cặp song sinh cùng trứng tham gia thử nghiệm chế độ ăn; trong mỗi cặp, một người được bốc thăm vào chế độ A, người còn lại theo chế độ B, sau ba tháng đo cân nặng của tất cả.

aVới mỗi nghiên cứu, cho biết dữ liệu thuộc loại các mẫu phụ thuộc hay các mẫu độc lập, kèm lý do.
bNêu thủ tục suy luận phù hợp cho từng nghiên cứu nếu mục tiêu là kiểm định sự khác biệt giữa hai trung bình.

1Bước 1: Xác lập tiêu chí nhận dạng trước khi xét từng trường hợp. Hai bộ số liệu là phụ thuộc khi mỗi giá trị ở bộ này được ghép với đúng một giá trị ở bộ kia bởi một lý do có thật, chứ không phải do ta xếp bừa; hai lý do phổ biến nhất là đo hai lần trên cùng một cá thể và ghép cặp hai cá thể giống nhau về những đặc điểm gây nhiễu. Ngược lại, khi các cá thể ở nhóm này chẳng liên quan gì tới cá thể nào ở nhóm kia, ta có các mẫu độc lập (independent samples). Một dấu hiệu kỹ thuật rất tiện: nếu hai nhóm buộc phải có cùng cỡ mẫu vì bản chất thiết kế thì gần như chắc chắn dữ liệu ghép cặp.

2Bước 2: Xét Nghiên cứu I. Cùng 40 người được đo trước và sau tám tuần, nên số đo "sau" của một người gắn chặt với số đo "trước" của chính người đó. Đây là thiết kế trước–sau điển hình, dữ liệu phụ thuộc, và ta chỉ thực sự có 40 hiệu số chứ không phải 80 quan sát rời rạc. Thủ tục đúng là kiểm định

t

một mẫu trên cột hiệu số với

H_0: \mu_d = 0

và

df = 39

3Bước 3: Xét Nghiên cứu II. Sáu mươi học sinh được phân ngẫu nhiên vào hai nhóm tách biệt, mỗi học sinh chỉ xuất hiện ở đúng một nhóm và không có lý do gì để ghép một em nhóm thẻ giấy với một em nhóm ứng dụng. Vì vậy đây là hai mẫu độc lập, và ta dùng kiểm định

t

hai mẫu cho

H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0

. Việc hai nhóm tình cờ cùng cỡ 30 không biến chúng thành dữ liệu ghép cặp; cái quyết định là có mối ghép thật hay không.

4Bước 4: Xét Nghiên cứu III. Hai người trong cùng một cặp song sinh chia sẻ gần như toàn bộ nền di truyền, và chính nhà nghiên cứu đã cố ý dùng mối liên hệ đó để loại bớt nhiễu. Do đó 25 cặp cho ta 25 hiệu số cân nặng và dữ liệu là phụ thuộc theo kiểu ghép cặp tương đồng, dù hai chế độ ăn được áp lên hai con người khác nhau. Thủ tục phù hợp lại là kiểm định

t

một mẫu trên các hiệu số với

df = 24

Nghiên cứu I và Nghiên cứu III cho các mẫu phụ thuộc — một bên vì đo hai lần trên cùng cá thể, một bên vì ghép cặp song sinh — nên cả hai đều được phân tích bằng kiểm định $t$ một mẫu trên cột hiệu số. Riêng Nghiên cứu II cho hai mẫu độc lập nên dùng kiểm định $t$ hai mẫu. Điểm mấu chốt cần nhớ khi làm bài thi là hãy hỏi "mỗi số ở nhóm này có bạn đồng hành xác định ở nhóm kia không", chứ đừng nhìn vào việc hai nhóm có bằng cỡ hay không.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.