AP Statistics

mối quan hệ thuận

positive relationship

Mối quan hệ thuận (positive relationship) là liên hệ giữa hai biến định lượng: biến này tăng thì biến kia có xu hướng tăng theo.

Khi khảo sát hai biến định lượng cùng lúc, ta thường dùng đồ thị phân tán (scatterplot) để nhìn nhận xu hướng chung. Mối quan hệ thuận xuất hiện khi các điểm dữ liệu dồn về một đường hoặc một dải đi di lên từ góc trái dưới sang góc phải trên. Điều đó có nghĩa là các cá thể có giá trị lớn ở biến giải thích thường mang giá trị lớn ở biến phản hồi, và ngược lại, các cá thể có giá trị nhỏ ở biến giải thích cũng thường có giá trị nhỏ ở biến phản hồi.

Độ mạnh của mối quan hệ thuận được đo bằng hệ số tương quan mẫu $r$ , với $0 < r \le 1$ . Khi $r$ gần $1$ , các điểm nằm sát một đường thẳng đi lên, nghĩa là xu hướng tăng cùng nhau rất rõ ràng. Khi $r$ gần $0$ , mối liên hệ thuận vẫn có thể tồn tại nhưng rất yếu hoặc bị nhiễu bởi nhiều yếu tố khác. Công thức $r$ dựa trên hiệp phương sai chuẩn hóa của hai biến, do đó nó chỉ đánh giá quan hệ tuyến tính và nhạy cảm với giá trị ngoại lai (outlier).

Mối quan hệ thuận khác với mối quan hệ nghịch (negative relationship) ở chỗ biến phản hồi biến động cùng chiều với biến giải thích. Tuy nhiên, quan hệ thuận không đồng nghĩa với quan hệ nhân quả, vì hai biến có thể cùng chịu ảnh hưởng của một biến thứ ba hoặc chỉ tình cờ đi cùng nhau trong mẫu. Vì vậy, khi đọc đề thi AP Statistics, thí sinh cần phân biệt rõ "có xu hướng cùng tăng" với "tăng này gây ra tăng kia".

Ký hiệu

• $r$ : hệ số tương quan mẫu
• $b_1$ : hệ số góc của đường hồi quy tuyến tính, thường dương khi quan hệ thuận.

Đơn vịKhông có đơn vị riêng; hệ số tương quan $r$ là đại lượng không thứ nguyên.

Trực giác: Nếu bạn đi chợ mua nhiều táo hơn thì tổng tiền phải trả cũng cao hơn, đó là mối quan hệ thuận quen thuộc.

Công thức

r = \frac{\htmlClass{fp-0}{\sum \htmlClass{fp-1}{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}}{\htmlClass{fp-2}{\sqrt{\htmlClass{fp-3}{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}}}

Dùng khi cần đo cường độ và chiều của mối liên hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng; nếu r > 0 thì hai biến có mối quan hệ thuận (positive relationship).

Trong đó

r

hệ số tương quan (correlation coefficient), nằm trong khoảng [−1, 1]

x_i, y_i

giá trị quan sát thứ i của hai biến

\bar{x}, \bar{y}

trung bình mẫu của hai biến

\sum

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1888Francis GaltonKarl Pearson

Khái niệm mối quan hệ thuận ra đời từ công trình về tương quan (correlation) của Francis Galton cuối thế kỷ 19, khi ông tìm cách đo mức độ hai đặc điểm sinh học cùng tăng hoặc cùng giảm với nhau; Karl Pearson sau đó phát triển nó thành công cụ toán học.

Cuối thế kỷ 19, câu hỏi làm nhiều nhà khoa học bận tâm là: khi một đại lượng thay đổi thì đại lượng kia thay đổi theo cách nào, và thay đổi bao nhiêu. Năm 1886 Galton đưa ra hồi quy (regression), rồi đến năm 1888 ông mô tả tương quan như mối liên hệ giữa hai biến, tức là một cách nói gọn cho việc hai đặc điểm cùng lên hoặc cùng xuống. Từ năm 1889, Pearson bị cuốn hút bởi ý tưởng này vì thấy tương quan là phạm trù rộng hơn nhân quả, và ông bắt đầu xây dựng nền toán học cho nó nhằm phục vụ tâm lý học, nhân học, y học và xã hội học. Nhờ đó, việc phân biệt chiều của mối liên hệ trở thành thao tác thường quy.

Thử nghiệm tương tác

Kéo điểm sang góc đối diện — nhìn dấu của r lật theo

Hay hiểu sai

Quan hệ thuận không chứng minh biến này gây ra biến kia.

Thuận là nói về hướng, không nói về độ mạnh.

Thuận là xu hướng chung, không đòi hỏi mọi điểm đều tăng.

Hệ số tương quan chỉ đo quan hệ tuyến tính, nên có thể che giấu quan hệ thuận dạng cong.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một chuỗi cửa hàng đồ uống muốn tìm hiểu xem tiền chi cho quảng cáo trực tuyến có đi cùng với doanh thu hay không. Người quản lý chọn 8 cửa hàng có quy mô tương đương, ghi lại chi phí quảng cáo trong tháng (biến

x

, đơn vị triệu đồng) và doanh thu của chính tháng đó (biến

y

, đơn vị triệu đồng). Kết quả thu được như sau:

x = 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16

và tương ứng

y = 25,\ 30,\ 41,\ 43,\ 52,\ 54,\ 63,\ 68

aMô tả mối liên hệ giữa chi phí quảng cáo và doanh thu theo ba phương diện: hướng, dạng và độ mạnh.
bTính hệ số tương quan và giải thích dấu của nó nói lên điều gì.
cViết phương trình đường hồi quy của $y$ theo $x$ và diễn giải hệ số góc trong ngữ cảnh bài toán.
d

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Đồ thị quan hệ hai biến định lượng (scatterplot)” — khoá AP Statistics

Cần trướcdữ liệu hai biến biểu đồ phân tán

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mối quan hệ âmnegative relationship

Khác nhau ở đâuHai biến tăng cùng chiều là mối quan hệ thuận, còn một biến tăng khi biến kia giảm là mối quan hệ âm.

Hay nhầm khiThí sinh hay nhầm khi đọc đề chỉ dựa vào độ lớn của hệ số tương quan mà quên xem dấu âm hay dương.

1Bước 1: Trước khi tính toán, hãy nhìn dữ liệu như một đám điểm trên biểu đồ phân tán (scatterplot). Khi

x

đi từ 2 lên 16 thì

y

đi từ 25 lên 68 mà không có lần nào tụt xuống đáng kể, nghĩa là hai biến cùng tăng. Các điểm lại nằm sát một đường thẳng chứ không cong lên hay gãy khúc. Do đó câu trả lời cho ý (a) gồm ba phần: hướng thuận, dạng tuyến tính, độ mạnh rất mạnh — và ta sẽ xác nhận độ mạnh bằng con số ở bước sau.

2Bước 2: Tính hai trung bình rồi lập các độ lệch. Ta có

\bar x = \dfrac{2+4+\cdots+16}{8} = 9

và

\bar y = \dfrac{25+30+\cdots+68}{8} = \dfrac{376}{8} = 47

. Các độ lệch của

x

là

-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7

; các độ lệch của

y

là

-22, -17, -6, -4, 5, 7, 16, 21

. Điều đáng chú ý là mỗi cặp độ lệch đều cùng dấu, và chính sự cùng dấu này mới là bản chất của một mối quan hệ thuận.

3Bước 3: Cộng các tích chéo và các bình phương:

\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 514

\sum (x_i-\bar x)^2 = 168

\sum (y_i-\bar y)^2 = 1596

. Thay vào công thức của hệ số tương quan (correlation coefficient)

r=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\;\sum (y_i-\bar y)^2}}=\frac{514}{\sqrt{168\cdot 1596}}=\frac{514}{517{,}8}\approx 0{,}993.

Công thức này đo xem các cặp độ lệch cùng dấu đến mức nào, sau khi đã chia cho độ lớn của từng biến để kết quả không phụ thuộc đơn vị. Vì mọi tích chéo đều dương nên tử số dương, kéo theo

r > 0

; giá trị

0{,}993

rất gần

1

nên quan hệ thuận ở đây vừa rõ hướng vừa gần như thẳng hoàn hảo.

4Bước 4: Hệ số góc của đường hồi quy dùng lại đúng hai tổng đã có:

b=\dfrac{514}{168}\approx 3{,}06

và

a=\bar y - b\bar x = 47 - 3{,}06\cdot 9 \approx 19{,}46

, nên

\hat y = 19{,}46 + 3{,}06x

. Dấu dương của

b

trùng dấu với

r

, và điều đó luôn đúng chứ không phải ngẫu nhiên. Diễn giải trong ngữ cảnh: mỗi khi chi phí quảng cáo tăng thêm 1 triệu đồng, mô hình dự đoán doanh thu tháng tăng thêm khoảng 3,06 triệu đồng. Chẳng hạn với

x = 11

thì

\hat y = 19{,}46 + 3{,}06\cdot 11 \approx 53{,}1

triệu đồng.

5Bước 5: Đến ý (d) thì phải phanh lại. Dữ liệu này đến từ một nghiên cứu quan sát: người quản lý chỉ ghi lại những gì các cửa hàng vốn đã làm, không hề bốc thăm phân chia mức quảng cáo cho từng cửa hàng. Vì vậy mối quan hệ thuận rất mạnh vẫn không đủ để khẳng định quan hệ nhân quả (causation), bởi một biến gây nhiễu (confounding variable) như vị trí cửa hàng hoặc lượng khách qua lại có thể vừa khiến cửa hàng mạnh tay quảng cáo, vừa tự nó đẩy doanh thu lên. Muốn kết luận nhân quả thì phải làm thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên.

2Ví dụ 2/2

Một nhóm học sinh nuôi cấy vi khuẩn và đếm số khuẩn lạc trên đĩa petri vào cuối mỗi ngày. Gọi

x

là số ngày kể từ lúc bắt đầu và

y

là số khuẩn lạc đếm được. Số liệu 6 ngày đầu là:

x = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6

và tương ứng

y = 2,\ 4,\ 9,\ 17,\ 30,\ 55

aMối liên hệ giữa số ngày và số khuẩn lạc là thuận hay nghịch? Giải thích.
bHệ số tương quan tính được là $r \approx 0{,}930$ . Có thể dựa vào con số này để kết luận mô hình tuyến tính là phù hợp không?

1Bước 1: Xét hướng trước. Số khuẩn lạc đi từ 2 lên 4, 9, 17, 30 rồi 55, tức là mỗi ngày trôi qua giá trị của

y

lại lớn hơn ngày trước, không có một lần giảm nào. Khi

x

tăng mà

y

cũng tăng thì đó đúng là mối quan hệ thuận, và hệ số tương quan dương

r \approx 0{,}930

chỉ khẳng định lại điều mắt đã thấy. Cần nhớ rằng từ "thuận" chỉ mô tả hướng đi lên, nó không hứa hẹn gì về việc các điểm có nằm trên một đường thẳng hay không.

2Bước 2: Muốn kiểm tra dạng, ta khớp đường thẳng rồi xem nó lệch ra sao. Với

\bar x = 3{,}5

và

\bar y = \dfrac{117}{6} = 19{,}5

, ta tính được

\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 175{,}5

và

\sum (x_i-\bar x)^2 = 17{,}5

, do đó

b = \dfrac{175{,}5}{17{,}5} \approx 10{,}03

và

a = 19{,}5 - 10{,}03\cdot 3{,}5 = -15{,}6

. Phương trình đường thẳng khớp tốt nhất là

\hat y = -15{,}6 + 10{,}03x

3Bước 3: Lấy giá trị thật trừ giá trị dự đoán để có phần dư (residual), lần lượt theo sáu ngày:

+7{,}6;\ -0{,}5;\ -5{,}5;\ -7{,}5;\ -4{,}5;\ +10{,}4

. Dãy dấu là dương, rồi âm liên tiếp bốn lần, rồi lại dương — biểu đồ phần dư (residual plot) vì thế có hình chữ U rõ rệt chứ không phân tán ngẫu nhiên quanh trục hoành. Thêm một dấu hiệu nữa: tại

x = 1

mô hình dự đoán

\hat y = -5{,}6

khuẩn lạc, một con số vô nghĩa về mặt sinh học. Vậy dù

r

khá lớn, đường thẳng vẫn không mô tả đúng dạng của dữ liệu.

4Bước 4: Bài học rút ra là hai câu hỏi "hướng nào" và "dạng gì" phải được trả lời riêng. Hướng thuận được xác nhận bởi dấu dương của

r

và bởi việc

y

luôn tăng theo

x

. Ngược lại, độ phù hợp của đường thẳng chỉ có thể phán xét qua biểu đồ phân tán và biểu đồ phần dư, chứ một giá trị

r

gần

1

không tự nó bảo đảm điều đó. Ở đây dữ liệu tăng theo kiểu nhân lên gấp bội, nên cần một phép biến đổi, chẳng hạn hồi quy

\log y

theo

x

Mối liên hệ giữa số ngày và số khuẩn lạc là quan hệ thuận vì $y$ tăng đều đặn khi $x$ tăng và $r \approx 0{,}930 > 0$ . Tuy nhiên không thể kết luận mô hình tuyến tính phù hợp: biểu đồ phần dư có dạng chữ U và mô hình còn dự đoán số khuẩn lạc âm ở ngày thứ nhất, cho thấy quan hệ tuy thuận nhưng cong, cần biến đổi dữ liệu trước khi hồi quy.