Đang tải bài học…

AP Statistics

mối quan hệ âm

negative relationship

Mối quan hệ âm là mối liên hệ giữa hai biến định lượng sao cho khi một biến tăng, biến còn lại có xu hướng giảm, và ngược lại.

Khi phân tích biểu đồ phân tán (scatterplot), người ta quan sát hướng đám mây điểm để xác định bản chất của mối quan hệ. Nếu các điểm có xu hướng chạy từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải, hai biến đang biểu hiện một mối quan hệ âm: giá trị lớn của biến này đi kèm với giá trị nhỏ của biến kia. Đây là một trong hai hướng cơ bản mà hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ có thể mang, và mối quan hệ âm ứng với $r < 0$ .

Cường độ của mối quan hệ âm được phản ánh qua mức độ gần $-1$ của $r$ . Khi $r = -1$ , toàn bộ các điểm nằm chính xác trên một đường thẳng dốc xuống — đây là trường hợp tương quan âm hoàn hảo, hiếm gặp trong dữ liệu thực tế. Ngược lại, khi $r$ chỉ xấp xỉ $-0{,}3$ , đám mây điểm phân tán rộng và xu hướng giảm chỉ mờ nhạt. Do đó, để đánh giá một mối quan hệ âm, cần nêu cả hướng (âm) lẫn cường độ (yếu, vừa, mạnh).

Trong mô hình hồi quy tuyến tính, mối quan hệ âm thể hiện ở hệ số góc $b_1 < 0$ trong phương trình $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ , nghĩa là mỗi đơn vị tăng thêm của $x$ dự đoán một sự giảm tương ứng trong $\hat{y}$ . Tuy nhiên, cần lưu ý rằng mối quan hệ âm mô tả xu hướng thống kê, không phải quan hệ nhân quả; hai biến có thể cùng chịu ảnh hưởng của một biến thứ ba ẩn mà không trực tiếp tác động lên nhau.

Ký hiệu

• $r < 0$
• $b_1 < 0$ trong $\hat{y} = b_0 + b_1 x$

Trực giác: Giống như tốc độ lái xe và thời gian đến đích: đi càng nhanh thì thời gian đến càng ngắn — một bên tăng thì bên kia có xu hướng giảm, dù tổng của hai bên không bị ràng buộc cố định.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 19Francis Galton

Ý tưởng đo mối liên hệ giữa hai đại lượng được Sir Francis Galton đưa ra từ thế kỷ 19; "âm" là tên gọi dành cho trường hợp hai biến chuyển động ngược chiều nhau.

Khi các nhà nghiên cứu thế kỷ 19 muốn biết hai đặc điểm đo được có đi cùng nhau hay không, họ cần một con số duy nhất thay cho lời mô tả cảm tính. Galton là người đầu tiên đặt nền cho phép đo ấy, và về sau nó được chuẩn hóa thành hệ số tương quan (correlation coefficient) ký hiệu $r$ , nhận giá trị trong khoảng từ $-1$ đến $+1$ . Nhờ vậy, hướng của mối liên hệ được đọc ngay từ dấu của $r$ . Khi $r$ mang dấu âm, hai biến di chuyển ngược chiều: đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm, như độ cao so với áp suất không khí, hay giá so với lượng cầu.

Thử nghiệm tương tác

Kéo đám điểm đi xuống thành đi lên — nhìn dấu của r lật theo

Hay hiểu sai

Mối quan hệ âm không có nghĩa là mối quan hệ yếu.

Quan hệ âm không cho phép kết luận biến này làm biến kia giảm.

Lấy căn bậc hai của $R^2$ không tự động cho ra số dương.

Đám điểm đi xuống chưa chắc đã là quan hệ âm tuyến tính.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một cửa hàng xe cũ ghi lại tuổi xe (tính bằng năm kể từ lúc đăng ký) và giá bán (triệu đồng) của 5 chiếc thuộc cùng một dòng xe, cùng tình trạng bảo dưỡng: (1; 520), (2; 460), (3; 450), (4; 380), (5; 340). Người quản lý muốn dùng dữ liệu này để mô tả xu hướng giá theo tuổi xe.

aMô tả hướng, dạng và độ mạnh của mối liên hệ giữa tuổi xe và giá bán, sau đó tính hệ số tương quan và giải thích dấu của nó.
bViết phương trình đường hồi quy bình phương nhỏ nhất và diễn giải hệ số góc trong ngữ cảnh bài toán.
cCửa hàng muốn dùng mô hình trên để dự đoán giá một chiếc xe 10 năm tuổi. Việc này có hợp lý không?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Đồ thị quan hệ hai biến định lượng (scatterplot)” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiểu đồ phân tán

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mối liên hệ âmnegatively associated

Khác nhau ở đâuMối liên hệ âm mô tả xu hướng chung trong dữ liệu phân loại hoặc định lượng, còn mối quan hệ âm thường gắn với ngữ cảnh định lượng và hàm ý có thể đo bằng hệ số tương quan

Hay nhầm khiđề cho bảng hai chiều hoặc biểu đồ khảm, thí sinh dùng nhầm "mối quan hệ âm" thay vì "mối liên hệ âm" vì hai cụm từ gần giống nhau

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "tương quan" trong tiếng Anh bắt nguồn từ tiếng Latin "cor-relationem", nghĩa là một mối nối qua lại giữa hai bên — đúng với ý tưởng hai đại lượng cùng biến thiên chứ không đại lượng nào quyết định đại lượng nào. Tính từ "âm" thì không đến từ nghĩa "xấu" hay "yếu", mà đến thẳng từ dấu toán học: hệ số nằm dưới $0$ thì gọi là âm, hệ số trên $0$ thì gọi là dương. Đây là chỗ dễ nhầm nhất, vì $r$ càng gần $-1$ thì liên hệ càng chặt chứ không hề càng lỏng; trường hợp thật sự không có liên hệ tuyến tính ứng với $r \approx 0$ . Vì lý do đó, nhiều tài liệu dùng thêm cách gọi liên hệ nghịch (negative association) khi mô tả dáng đi xuống của đám điểm trên biểu đồ phân tán (scatterplot).

Kéo đám điểm đi xuống thành đi lên — nhìn dấu của r lật theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mô tả biểu đồ tán xạ (scatterplot) phải đủ bốn phần: hướng, dạng, độ mạnh và ngữ cảnh.

Diễn giải hệ số góc âm phải có chữ "dự đoán" và "trung bình".

Kiểm tra dấu trước khi nộp bài hồi quy.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết ta xác định hai giá trị trung bình để làm mốc so sánh. Tuổi xe có

\bar{x} = (1+2+3+4+5)/5 = 3

năm, còn giá bán có

\bar{y} = (520+460+450+380+340)/5 = 2150/5 = 430

triệu đồng. Khi vẽ các điểm lên biểu đồ phân tán (scatterplot), các điểm đi xuống từ trái sang phải và nằm khá sát một đường thẳng. Đó là dấu hiệu đầu tiên của một mối quan hệ âm: xe càng nhiều tuổi thì giá bán càng thấp.

2Bước 2: Tiếp theo ta lập các độ lệch so với trung bình. Với

x

, các độ lệch là

-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2

; với

y

, các độ lệch lần lượt là

90,\ 30,\ 20,\ -50,\ -90

. Hãy để ý rằng khi độ lệch của

x

âm thì độ lệch của

y

thường dương và ngược lại, nên mỗi tích

(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})

hầu hết đều âm. Cộng lại ta được

\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = -180-30+0-50-180 = -440

, đồng thời

\sum (x_i-\bar{x})^2 = 10

và

\sum (y_i-\bar{y})^2 = 8100+900+400+2500+8100 = 20000

3Bước 3: Thay vào công thức hệ số tương quan (correlation coefficient):

r=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\;\sum (y_i-\bar y)^2}}=\frac{-440}{\sqrt{10\cdot 20000}}=\frac{-440}{447{,}21}\approx -0{,}984.

Công thức này đo mức độ các điểm bám sát một đường thẳng, còn dấu của nó chính là dấu của tử số. Vì tử số âm nên

r

âm, và giá trị

-0{,}984

rất gần

-1

cho thấy quan hệ tuyến tính nghịch biến rất mạnh. Trả lời ý (a): dạng tuyến tính, hướng âm, độ mạnh rất mạnh, không có điểm nào tách hẳn khỏi xu hướng chung.

4Bước 4: Hệ số góc của đường hồi quy được tính từ chính hai tổng đã có:

b = \dfrac{-440}{10} = -44

, rồi

a = \bar{y} - b\bar{x} = 430 - (-44)(3) = 562

. Vậy

\hat{y} = 562 - 44x

, trong đó

\hat{y}

là giá bán dự đoán (triệu đồng) và

x

là tuổi xe (năm). Dấu âm của hệ số góc nói lên điều mà

r

đã báo trước: trung bình mỗi năm tuổi tăng thêm, giá bán dự đoán của xe giảm khoảng 44 triệu đồng. Đây là câu trả lời cho ý (b), và cần nhớ rằng

r

với hệ số góc luôn cùng dấu vì

b = r\,s_y/s_x

mà

s_x, s_y

đều dương.

5Bước 5: Với ý (c), thay

x = 10

ta được

\hat{y} = 562 - 44(10) = 122

triệu đồng. Con số này có vẻ hợp lý về mặt số học, nhưng dữ liệu chỉ trải từ 1 đến 5 năm tuổi nên

x = 10

nằm ngoài phạm vi quan sát. Dự đoán như vậy là ngoại suy (extrapolation): ta không có bằng chứng nào cho thấy giá vẫn tiếp tục giảm đều 44 triệu mỗi năm sau mốc 5 năm, và trên thực tế đà giảm thường chậm lại khi xe đã cũ. Do đó không nên dùng mô hình để dự đoán ở mốc 10 năm tuổi.

Giữa tuổi xe và giá bán tồn tại mối quan hệ âm, tuyến tính và rất mạnh với $r \approx -0{,}984$ : xe càng cũ thì giá càng thấp. Đường hồi quy $\hat{y} = 562 - 44x$ cho biết cứ thêm một năm tuổi, giá bán dự đoán giảm trung bình khoảng 44 triệu đồng. Tuy nhiên mô hình chỉ đáng tin trong khoảng 1 đến 5 năm tuổi, nên việc dự đoán giá cho chiếc xe 10 năm tuổi là ngoại suy và không nên thực hiện.

2Ví dụ 2/2

Một nghiên cứu khảo sát 250 học sinh trung học phổ thông, ghi lại số giờ dùng mạng xã hội mỗi ngày và điểm trung bình học kỳ của từng em. Biểu đồ phân tán cho thấy dạng tuyến tính, không có giá trị ngoại lai (outlier) đáng kể, và hệ số tương quan tính được là

r = -0{,}62

. Trên báo, một bài viết giật tít: "Mạng xã hội đang kéo điểm số của học sinh đi xuống".

aDiễn giải ý nghĩa của giá trị $r = -0{,}62$ trong ngữ cảnh nghiên cứu.
bTính và diễn giải $r^2$ .
cKết luận của bài báo có được dữ liệu này ủng hộ không? Giải thích.

1Bước 1: Khi đề đã cho sẵn

r

, việc của thí sinh là đọc ba thông tin mà con số đó chứa: hướng, độ mạnh và dạng. Dấu âm cho biết hướng của mối liên hệ là nghịch: những học sinh dùng mạng xã hội nhiều giờ hơn có xu hướng đạt điểm trung bình thấp hơn. Độ lớn

|r| = 0{,}62

nằm ở mức trung bình khá, nên các điểm bám quanh một đường thẳng nhưng còn phân tán khá rộng, chứ không xếp thành một dải hẹp. Vì vậy câu trả lời cho ý (a) phải là một câu trọn vẹn có ngữ cảnh: giữa số giờ dùng mạng xã hội và điểm trung bình có mối quan hệ tuyến tính âm, độ mạnh trung bình.

2Bước 2: Với ý (b), ta bình phương hệ số tương quan để có hệ số xác định (coefficient of determination):

r^2 = (-0{,}62)^2 = 0{,}3844.

Phép bình phương làm mất dấu âm, nên

r^2

không còn nói gì về hướng mà chỉ nói về mức độ giải thích. Cụ thể, khoảng

38{,}4\%

biến thiên của điểm trung bình được giải thích bởi mô hình hồi quy tuyến tính theo số giờ dùng mạng xã hội. Phần còn lại, hơn

61\%

, đến từ những yếu tố khác mà nghiên cứu chưa đưa vào.

3Bước 3: Đến ý (c), điều quyết định không nằm ở giá trị của

r

mà ở cách thu thập dữ liệu. Đây là một nghiên cứu quan sát: người khảo sát chỉ ghi lại thói quen sẵn có của học sinh chứ không phân bổ ngẫu nhiên số giờ dùng mạng xã hội cho từng em. Trong hoàn cảnh đó luôn có thể tồn tại biến gây nhiễu (confounding variable) như thời gian ngủ, mức độ quan tâm của gia đình hay động lực học tập, vừa kéo thời gian dùng mạng xã hội lên vừa kéo điểm số xuống. Do đó mối quan hệ âm quan sát được không đủ để khẳng định mạng xã hội là nguyên nhân làm giảm điểm.

4Bước 4: Cũng nên nhớ một điểm mà đề hay gài: mối quan hệ âm không có nghĩa là "quan hệ yếu". Dấu và độ mạnh là hai thông tin tách rời, nên

r = -0{,}62

mô tả liên hệ chặt hơn

r = 0{,}30

dù một bên âm một bên dương. Muốn kết luận nhân quả, người ta phải làm thí nghiệm có phân bổ ngẫu nhiên, chẳng hạn yêu cầu một nhóm giới hạn thời gian dùng mạng xã hội và so sánh với nhóm đối chứng.

Giá trị $r = -0{,}62$ cho thấy giữa số giờ dùng mạng xã hội và điểm trung bình có mối quan hệ tuyến tính âm ở mức trung bình: dùng càng nhiều thì điểm có xu hướng càng thấp. Hệ số $r^2 = 0{,}3844$ nghĩa là khoảng $38{,}4\%$ biến thiên của điểm trung bình được giải thích bởi số giờ dùng mạng xã hội. Tuy nhiên, vì đây là nghiên cứu quan sát và có thể tồn tại biến gây nhiễu, dữ liệu không ủng hộ kết luận nhân quả của bài báo.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.