Đang tải bài học…

AP Statistics

mối liên hệ âm

negatively associated

Mối liên hệ âm là mối quan hệ giữa hai biến định lượng trong đó giá trị lớn của biến này đi kèm giá trị nhỏ của biến kia.

Khi khảo sát hai biến định lượng, ta thường muốn biết chúng biến đổi cùng chiều hay ngược chiều. Nếu giá trị lớn của biến này có xu hướng đi kèm giá trị nhỏ của biến kia, ta nói hai biến đó có mối liên hệ âm. Ngược lại, khi cả hai cùng tăng hoặc cùng giảm, ta có mối liên hệ dương. Việc xác định chiều của mối quan hệ là bước đầu tiên trước khi đo độ mạnh yếu của nó.

Trên đồ thị phân tán (scatterplot), mối liên hệ âm thể hiện qua xu hướng các điểm dữ liệu đi từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải. Hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ nhận giá trị âm, càng gần $-1$ thì các điểm càng bám sát một đường thẳng đi xuống. Do đó, dấu của $r$ cho biết chiều liên hệ, còn độ lớn tuyệt đối $|r|$ cho biết mức độ chặt chẽ của mối liên hệ tuyến tính.

Tuy nhiên, cần nhớ rằng mối liên hệ giữa hai biến không đồng nghĩa với quan hệ nhân quả. Hơn nữa, dù xu hướng chung là nghịch biến, với bất kỳ hai điểm dữ liệu riêng lẻ nào, điểm có giá trị $x$ lớn hơn vẫn có thể mang giá trị $y$ lớn hơn. Vì vậy, mối liên hệ âm mô tả xu hướng tổng thể của cả tập dữ liệu, không phải quy tắc áp dụng cho từng cặp điểm.

Ký hiệur < 0

Trực giác: Càng chạy bộ nhiều thì cân nặng càng giảm — hai đại lượng kéo ngược chiều nhau như hai đầu bập bênh.

Thử nghiệm tương tác

Kéo các điểm cho đám mây lật chiều — nhìn dấu của r đổi theo

Hay hiểu sai

Mối liên hệ âm không có nghĩa là mối liên hệ yếu.

Liên hệ âm là xu hướng chung, không đòi hỏi mọi điểm đều đi xuống.

Mối liên hệ âm không chứng minh biến này làm biến kia giảm.

Hệ số tương quan gần 0 vẫn có thể đi kèm một quan hệ rõ rệt.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên muốn tìm hiểu xem thời gian học sinh dành cho trò chơi điện tử có liên quan thế nào đến kết quả học tập. Cô chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong lớp, ghi lại số giờ chơi game mỗi tuần (x) và điểm bài kiểm tra Toán cuối kỳ (y) của từng em. Số liệu thu được như sau: (2; 90), (4; 84), (5; 80), (8; 72), (10; 68), (13; 62).

aVẽ phác biểu đồ phân tán trong đầu và mô tả hướng của mối liên hệ giữa hai biến. Đây là mối liên hệ dương hay âm?
bTính hệ số tương quan r và giải thích ý nghĩa của dấu cũng như độ lớn của nó.
cTìm hệ số góc của đường hồi quy bình phương tối thiểu, diễn giải hệ số góc đó trong ngữ cảnh, và cho biết có thể kết luận rằng chơi game làm điểm giảm hay không.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Đồ thị quan hệ hai biến định lượng (scatterplot)” — khoá AP Statistics

Cần trướcmối liên hệ

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mối quan hệ âm (negative relationship)negative relationship

Khác nhau ở đâuMối liên hệ âm mô tả xu hướng chung giữa hai biến, còn mối quan hệ âm thường hàm ý có mô hình tuyến tính xác định hơn

Hay nhầm khiđề hỏi về scatterplot không tuyến tính nhưng vẫn có chiều giảm — thí sinh dùng nhầm thuật ngữ

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 169–170.

Kéo các điểm cho đám mây lật chiều — nhìn dấu của r đổi theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mô tả biểu đồ phân tán phải đủ bốn phần: hướng, dạng, độ mạnh và bối cảnh.

Dấu của hệ số tương quan và dấu của hệ số góc đường hồi quy (slope) luôn giống nhau.

Với hai biến phân loại, hãy nói "association", đừng nói "correlation".

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Trước hết hãy quan sát xu hướng của số liệu theo thứ tự tăng dần của x. Khi số giờ chơi game tăng từ 2 lên 13, điểm kiểm tra lại giảm đều từ 90 xuống 62, không có một lần đảo chiều nào. Trên biểu đồ phân tán (scatterplot), các điểm vì vậy sẽ đi từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải. Đó chính là dấu hiệu của mối liên hệ âm: giá trị lớn hơn của biến này đi kèm giá trị nhỏ hơn của biến kia.

2Bước 2: Để lượng hóa nhận xét trên, ta bắt đầu bằng hai giá trị trung bình. Ta có

\bar{x} = (2+4+5+8+10+13)/6 = 42/6 = 7

và

\bar{y} = (90+84+80+72+68+62)/6 = 456/6 = 76

. Hai con số này là tâm của đám mây điểm, và mọi phép tính về sau đều đo độ lệch so với tâm đó.

3Bước 3: Tiếp theo ta lập bảng độ lệch. Các giá trị

x_i - \bar{x}

lần lượt là

-5,\ -3,\ -2,\ 1,\ 3,\ 6

, còn các giá trị

y_i - \bar{y}

lần lượt là

14,\ 8,\ 4,\ -4,\ -8,\ -14

. Điều đáng chú ý là hai cột luôn trái dấu nhau: em nào chơi ít giờ hơn mức trung bình thì điểm cao hơn mức trung bình, và ngược lại. Chính sự trái dấu có hệ thống này khiến tổng các tích trở nên âm.

4Bước 4: Bây giờ tính ba tổng cần thiết. Tổng các tích là

\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = (-70)+(-24)+(-8)+(-4)+(-24)+(-84) = -214

. Hai tổng bình phương là

\sum (x_i-\bar{x})^2 = 25+9+4+1+9+36 = 84

và

\sum (y_i-\bar{y})^2 = 196+64+16+16+64+196 = 552

. Ba con số này đủ để thay vào công thức hệ số tương quan (correlation coefficient).

5Bước 5: Thay vào công thức, ta được

r = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum (y_i-\bar{y})^2}} = \frac{-214}{\sqrt{84 \cdot 552}} = \frac{-214}{\sqrt{46368}} \approx \frac{-214}{215.33} \approx -0.994.

Tử số âm nên

r

âm, và vì

|r|

rất gần 1 nên các điểm nằm gần như sát một đường thẳng đi xuống. Nói gọn: mối liên hệ tuyến tính giữa số giờ chơi game và điểm kiểm tra là âm và rất mạnh.

6Bước 6: Hệ số góc của đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) tính được ngay từ các tổng ở Bước 4:

b = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2} = \frac{-214}{84} \approx -2.55

. Hệ số góc âm cùng dấu với

r

, điều này luôn đúng chứ không phải trùng hợp. Diễn giải trong ngữ cảnh: mỗi giờ chơi game thêm trong tuần, mô hình dự đoán điểm kiểm tra giảm khoảng

2.55

điểm.

7Bước 7: Cuối cùng phải trả lời phần cảnh báo, vì đề AP gần như luôn gài ý này. Đây là dữ liệu quan sát chứ không phải thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên, nên dù mối liên hệ âm rất mạnh ta vẫn không được kết luận về quan hệ nhân quả (causation). Hoàn toàn có thể tồn tại biến gây nhiễu, chẳng hạn thời gian ngủ hoặc mức độ hứng thú với môn học, tác động đồng thời lên cả số giờ chơi game lẫn điểm số.

Hai biến có mối liên hệ âm: số giờ chơi game càng nhiều thì điểm kiểm tra càng thấp. Hệ số tương quan $r \approx -0.994$ cho thấy mối liên hệ tuyến tính âm rất mạnh, và hệ số góc $b \approx -2.55$ nghĩa là cứ thêm một giờ chơi game mỗi tuần, điểm kiểm tra dự đoán giảm khoảng 2.55 điểm. Tuy nhiên, vì đây là nghiên cứu quan sát nên chỉ được kết luận có mối liên hệ, không được kết luận rằng chơi game là nguyên nhân làm điểm giảm.

2Ví dụ 2/2

Một nghiên cứu trên 400 học sinh trung học ghi nhận hệ số tương quan giữa số ngày vắng mặt trong năm học và điểm trung bình cuối năm là

r = -0.82

. Trong cùng bộ dữ liệu đó, hai học sinh được lấy ra làm ví dụ: bạn An vắng 3 ngày và có điểm trung bình 7.5, còn bạn Bình vắng 9 ngày nhưng có điểm trung bình 8.4.

aMột học sinh khẳng định: "Trường hợp của An và Bình chứng tỏ giá trị $r = -0.82$ đã bị tính sai, vì hai biến không thể có mối liên hệ âm." Hãy nhận xét khẳng định này.
bMột nghiên cứu khác trên cùng nhóm học sinh cho hệ số tương quan giữa số giờ tự học mỗi tuần và điểm trung bình là $r = 0.62$ . So sánh độ mạnh của hai mối liên hệ.

1Bước 1: Trước tiên cần hiểu đúng mối liên hệ âm nói về cái gì. Nó mô tả xu hướng chung của toàn bộ đám mây điểm chứ không phải một quy luật bắt buộc áp cho từng cặp cá thể. Do đó, khi hai biến liên hệ âm, ta vẫn có thể tìm được hai cá nhân mà người có giá trị

x

lớn hơn lại có giá trị

y

lớn hơn.

2Bước 2: Áp dụng vào trường hợp An và Bình, cặp này chỉ là hai điểm nằm lệch khỏi xu hướng chung, hoàn toàn bình thường khi

|r| = 0.82 < 1

. Nếu

r

bằng đúng

-1

thì mọi điểm mới nằm chính xác trên một đường thẳng đi xuống và khi đó khẳng định của bạn học sinh mới có cơ sở. Vì vậy khẳng định đó sai: một cặp điểm ngược xu hướng không hề bác bỏ được giá trị

r

tính từ 400 quan sát.

3Bước 3: Sang phần so sánh, hãy tách bạch hai thông tin mà

r

mang theo. Dấu cho biết hướng, còn

|r|

cho biết độ mạnh của mối liên hệ tuyến tính, tức là các điểm bám sát đường thẳng đến mức nào. Ta có

|-0.82| = 0.82

và

|0.62| = 0.62

, mà

0.82 > 0.62

4Bước 4: Từ đó rút ra kết luận đúng về mặt thống kê. Mối liên hệ giữa số ngày vắng mặt và điểm trung bình là âm và mạnh hơn, còn mối liên hệ giữa số giờ tự học và điểm trung bình là dương (positively associated) nhưng yếu hơn. Sai lầm thường gặp là cho rằng

0.62

lớn hơn

-0.82

nên mối liên hệ thứ hai mạnh hơn; dấu âm không làm mối liên hệ yếu đi mà chỉ đổi hướng của nó.

Khẳng định của học sinh ở phần (a) là sai, vì mối liên hệ âm chỉ mô tả xu hướng chung của cả bộ dữ liệu chứ không buộc mọi cặp cá thể phải tuân theo; với $r = -0.82$ , việc tồn tại một học sinh vắng nhiều hơn mà điểm cao hơn là hoàn toàn bình thường. Ở phần (b), vì $|-0.82| > |0.62|$ nên mối liên hệ âm giữa số ngày vắng mặt và điểm trung bình mạnh hơn mối liên hệ dương giữa số giờ tự học và điểm trung bình.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.